Дискретно-временное преобразование Фурье

Содержание

Вводные замечания

Прямое дискретно-временное преобразование Фурье

Обратное дискретно-временное преобразование Фурье

Ограничение выборки входного сигнала

Выводы

Примечания

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Вводные замечания

Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830

При рассмотрении дискретных сигналов мы уже говорили, что преобразование Фурье дискретного сигнала возвращает спектр $S_д(\omega)$ , который является периодической функцией непрерывной частоты $\omega$ , и получается как результат бесконечного копирования по частоте, масштабированной спектральной плотности $S(\omega)$ исходного сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим как рассчитать периодический спектр $S_д(\omega)$ по имеющимся отсчетам дискретного сигнала s(n) (прямое дискретно-временное преобразование Фурье), а также как восстановить отсчеты s(n) исходного сигнала по имеющемуся спектру $S_д(\omega)$ (обратное дискретно-временное преобразование).

Результаты данного раздела крайне важны для перехода к дискретному преобразованию Фурье, оперирующему с дискретными отсчетами как самого сигнала, так и его спектра.

В англоязычной литературе [1] данные преобразование носит название Discrete-Time Fourier Trasform (DTFT) и Inverse Discrete-Time Fourier Transform (IDTFT). В русскоязычной литературе данные преобразования также называются дискретным рядом Фурье [2, стр. 35].

Прямое дискретно-временное преобразование Фурье

Рассмотрим дискретный сигнал $s_{\text{д}} (t)$ как результат умножения непрерывного сигнала s(t) на решетчатую функцию ш_T(t) :

(1)

где $\delta(t)$ –– дельта-функция Дирака,

— интервал дискретизации.

Вычислим преобразование Фурье дискретного сигнала $s_{\textrm{д}}(t)$ , для этого подставим (1) в выражение для преобразования Фурье:

Поль Адриен Морис Дирак
1902–1984

(2)

Поменяем местами операции суммирования и интегрирования:

(3)

Используем в (3) фильтрующее свойство дельта-функции и получим:

(4)

Таким образом, мы избавились от интегрирования в бесконечных пределах, заменив его суммированием комплексных экспонент, которые являются периодическими функциями с периодом:

(5)

где $F_{\rm{s}} = 1/T$ — частота дискретизации сигнала (Гц).

Необходимо отметить, что n=0 исключено из выражения (5), так как при n=0 комплексная экспонента равна единице.

Максимальный период повторения спектральной плотности $S_{\textrm{д}}(\omega)$ будет при n=1 , в этом случае он равен циклической частоте дискретизации:

(6)

Таким образом, спектр $S_{\textrm{д}}(\omega)$ дискретного сигнала $s_{\textrm{д}}(t)$ , есть $\Omega$ -периодическая функция циклической частоты $\omega$ , определенная как (4).

Если задать частоту дискретизации $F_{\textrm{s}} = 1$ Гц, то (4) переходит к выражению дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ).

(7)

ДВПФ использует только индексы отсчетов входного сигнала s(n)

при частоте дискретизации $F_{\textrm{s}} = 1$ Гц. В результате ДВПФ мы получим $2\pi$ -периодический спектр $S_{\textrm{д}}(\omega)$ .

Обратное дискретно-временное преобразование Фурье

ДВПФ ставит в соответствие дискретному сигналу $s_{\text{д}}(t)$ , $\Omega$ -периодический спектр $S_{\text{д}}(\omega)$ , который можно разложить в ряд Фурье:

(8)

где $\xi_m = \frac{2\pi}{\Omega}m = mT$ имеет смысл временны́х моментов, потому что мы раскладываем в ряд Фурье функцию частоты $\omega$ . Коэффициенты ряда Фурье $p(\xi_m) = p(mT)$ равны:

(9)

Подставим в (9) выражение (4) для $S_\text{д}(\omega)$ и получим:

(10)

Поменяем местами операторы интегрирования и суммирования и объединим показатели экспонент:

(11)

Можно заметить, что интеграл в (11) включает целое число периодов комплексной экспоненты. Это значит, что:

(12)

Таким образом, от суммы (11) останется только одно слагаемое при n = -m

, или можно также записать[1] s(nT) = p(-nT)

. Тогда из выражения (9) можно получить обратное дискретно-временное преобразование Фурье (ОДВПФ):

(13)

При оперировании только индексами отсчетов входного сигнала при T = 1

c, получим $\Omega = 2\pi$ и выражение для ОДВПФ имеет вид:

(14)

Ограничение выборки входного сигнала

Обратим внимание, что в выражениях (4) и (7), индексация производится от минус бесконечности до бесконечности. Таким образом, ДВПФ, в общем случае, справедливо для бесконечных во времени дискретных сигналов. Если выборка сигнала ограничена отсчетами, то задав s(n) = 0 при n<0 и $n \geq N$ выражение для ДВПФ принимает вид:

(15)

Выражение для ОДВПФ при ограничении выборки входного сигнала не меняется. Но при расчете s(n)

с индексами n<0

или $n \geq N$ результат интегрирования будет равен нулю.

В прикладных задачах мы не можем работать с выборками сигнала бесконечной длины, поэтому выражение (15) имеет большое практическое значение.

В качестве примера на рисунке 1а приведен ограниченный по времени дискретный сигнал, содержащий N=5 ненулевых отсчетов.

Рисунок 1. ДВПФ ограниченного во времени дискретного сигнала:
a — отсчеты сигнала; б — амплитудный спектр

Результат ДВПФ является комплексной функцией, на рисунке 1б показан амплитудный спектр $|S_{\text{д}}(\omega)|$ .

Выводы

Итак мы рассмотрели дискретно-временное преобразование Фурье и получили выражения для прямого и обратного ДВПФ. В следующем разделе мы сделаем еще один переход к дискретному преобразованию Фурье дискретного сигнала, ограниченного по времени (имеющего конечное число ненулевых отсчетов).

Примечания

[1] Полученное выражение полностью повторяет свойство двойственности преобразования Фурье.

Список литературы

[1] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

[2] Рабинер, Л., Гоулд, Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Москва, Мир, 1978. 848 с.

[3] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[4] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:41:44)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14