Дискретно-временное преобразование Фурье

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Вводные замечания

При рассмотрении дискретных сигналов мы уже говорили, что преобразование Фурье дискретного сигнала возвращает спектр S_д(\omega), который является периодической функцией непрерывной частоты \omega, и получается как результат бесконечного копирования по частоте, масштабированной спектральной плотности S(\omega) исходного сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим как рассчитать периодический спектр S_д(\omega) по имеющимся отсчетам дискретного сигнала s(n) (прямое дискретно-временное преобразование Фурье), а также как восстановить отсчеты s(n) исходного сигнала по имеющемуся спектру S_д(\omega) (обратное дискретно-временное преобразование).

Результаты данного раздела крайне важны для перехода к дискретному преобразованию Фурье, оперирующему с дискретными отсчетами как самого сигнала, так и его спектра.

В англоязычной литературе [1] данные преобразование носит название Discrete-Time Fourier Trasform (DTFT) и Inverse Discrete-Time Fourier Transform (IDTFT). В русскоязычной литературе данные преобразования также называются дискретным рядом Фурье [2, стр. 35].

Прямое дискретно-временное преобразование Фурье

Рассмотрим дискретный сигнал s_{\text{д}} (t) как результат умножения непрерывного сигнала s(t) на решетчатую функцию ш_T(t):

equation 1
(1)
где \delta(t) –– дельта-функция Дирака, T — интервал дискретизации.

Вычислим преобразование Фурье дискретного сигнала s_{\textrm{д}}(t), для этого подставим (1) в выражение для преобразования Фурье  eqref: fourier_transform:eq8:

equation 2
(2)
Поменяем местами операции суммирования и интегрирования:

equation 3
(3)
Используем в (3) фильтрующее свойство дельта-функции и получим:

equation 4
(4)
Таким образом, мы избавились от интегрирования в бесконечных пределах, заменив его суммированием комплексных экспонент, которые являются периодическими функциями с периодом:

equation 5
(5)
где F_{\rm{s}} = 1/T — частота дискретизации сигнала (Гц).

Необходимо отметить, что n=0 исключено из выражения  (5), так как при n=0 комплексная экспонента равна единице.

Максимальный период повторения спектральной плотности S_{\textrm{д}}(\omega) будет при n=1, в этом случае он равен циклической частоте дискретизации:

equation 6
(6)
Таким образом, спектр S_{\textrm{д}}(\omega) дискретного сигнала s_{\textrm{д}}(t), есть \Omega-периодическая функция циклической частоты \omega, определенная как (4).

Если задать частоту дискретизации F_{\textrm{s}} = 1 Гц, то (4) переходит к выражению дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ).

equation 7
(7)
ДВПФ использует только индексы отсчетов входного сигнала s(n) при частоте дискретизации F_{\textrm{s}} = 1 Гц. В результате ДВПФ мы получим 2\pi-периодический спектр S_{\textrm{д}}(\omega).

Обратное дискретно-временное преобразование Фурье

ДВПФ ставит в соответствие дискретному сигналу s_{\text{д}}(t)\Omega-периодический спектр S_{\text{д}}(\omega), который можно разложить в ряд Фурье:

equation 8
(8)
где \xi_m = \frac{2\pi}{\Omega}m = mT имеет смысл временны́х моментов, потому что мы раскладываем в ряд Фурье функцию частоты \omega. Коэффициенты ряда Фурье p(\xi_m) = p(mT) равны:
equation 9
(9)
Подставим в (9) выражение (4) для S_\text{д}(\omega) и получим:
equation 10
(10)
Поменяем местами операторы интегрирования и суммирования и объединим показатели экспонент:
equation 11
(11)
Можно заметить, что интеграл в (11) включает целое число периодов комплексной экспоненты. Это значит, что:
equation 12
(12)
Таким образом, от суммы (11) останется только одно слагаемое при n = -m и p(mT) = s(-mT), или можно также записать[1] s(nT) = p(-nT). Тогда из выражения (9) можно получить обратное дискретно-временное преобразование Фурье (ОДВПФ):
equation 13
(13)
При оперировании только индексами отсчетов входного сигнала при T = 1 c, получим \Omega = 2\pi и выражение для ОДВПФ имеет вид:
equation 14
(14)

Ограничение выборки входного сигнала

Обратим внимание, что в выражениях (4) и (7), индексация n производится от минус бесконечности до бесконечности. Таким образом, ДВПФ, в общем случае, справедливо для бесконечных во времени дискретных сигналов. Если выборка сигнала ограничена N отсчетами, то задав s(n) = 0 при n<0 и n \geq N выражение для ДВПФ принимает вид:

equation 15
(15)
Выражение для ОДВПФ при ограничении выборки входного сигнала не меняется. Но при расчете s(n) с индексами n<0 или n \geq N результат интегрирования будет равен нулю.

В прикладных задачах мы не можем работать с выборками сигнала бесконечной длины, поэтому выражение (15) имеет большое практическое значение.

В качестве примера на рисунке 1а приведен ограниченный по времени дискретный сигнал, содержащий N=5 ненулевых отсчетов.

ДВПФ ограниченного во времени дискретного сигнала:  a — отсчеты сигнала; б — амплитудный спектр
Рисунок 1. ДВПФ ограниченного во времени дискретного сигнала:
a — отсчеты сигнала; б — амплитудный спектр

Результат ДВПФ является комплексной функцией, на рисунке 1б показан амплитудный спектр |S_{\text{д}}(\omega)|.

Выводы

Итак мы рассмотрели дискретно-временное преобразование Фурье и получили выражения для прямого и обратного ДВПФ. В следующем разделе мы сделаем еще один переход к дискретному преобразованию Фурье дискретного сигнала, ограниченного по времени (имеющего конечное число ненулевых отсчетов).

странице обсуждения статьи

Примечания

[1] Полученное выражение полностью повторяет свойство двойственности преобразования Фурье, рассмотренное в параграфе ref: fourier_transform:sec_duality

Список литературы
[1] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

[2] Рабинер, Л., Гоулд, Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Москва, Мир, 1978. 848 с.

[3] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[4] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:15:39)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14