Дискретно-временное преобразование Фурье
Содержание
|
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
|
Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите
Вводные замечания
При
рассмотрении дискретных сигналов
мы уже говорили, что
преобразование Фурье
дискретного сигнала возвращает спектр
, который является
периодической функцией непрерывной частоты
, и получается как результат бесконечного копирования по частоте, масштабированной спектральной плотности
исходного сигнала.
В данном разделе мы рассмотрим как рассчитать периодический спектр по имеющимся отсчетам дискретного сигнала (прямое дискретно-временное преобразование Фурье), а также как восстановить отсчеты исходного сигнала по имеющемуся спектру (обратное дискретно-временное преобразование).
Результаты данного раздела крайне важны для перехода к дискретному преобразованию Фурье, оперирующему с дискретными отсчетами как самого сигнала, так и его спектра.
В англоязычной литературе [1] данные преобразование носит название Discrete-Time Fourier Trasform (DTFT) и Inverse Discrete-Time Fourier Transform (IDTFT). В русскоязычной литературе данные преобразования также называются дискретным рядом Фурье [2, стр. 35].
Прямое дискретно-временное преобразование Фурье
Рассмотрим дискретный сигнал как результат умножения непрерывного сигнала
на
решетчатую функцию
:
(1)
где
––
дельта-функция Дирака,
— интервал дискретизации.
Вычислим
преобразование Фурье
дискретного сигнала ,
для этого подставим (1)
в выражение для преобразования Фурье:
(2)
Поменяем местами операции суммирования и интегрирования:
(3)
Используем в (3)
фильтрующее свойство дельта-функции и получим:
(4)
Таким образом, мы избавились от интегрирования в бесконечных пределах,
заменив его суммированием комплексных экспонент, которые являются
периодическими функциями с периодом:
(5)
где
— частота дискретизации сигнала (Гц).
Необходимо отметить, что исключено из выражения (5), так как при комплексная экспонента равна единице.
Максимальный период повторения спектральной плотности будет при ,
в этом случае он равен циклической частоте дискретизации:
(6)
Таким образом, спектр
дискретного сигнала
,
есть
-периодическая функция циклической частоты
, определенная как (4).
Если задать частоту дискретизации Гц,
то (4) переходит к выражению дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ).
(7)
ДВПФ использует только индексы отсчетов входного сигнала
при частоте дискретизации
Гц.
В результате ДВПФ мы получим
-периодический спектр
.
Обратное дискретно-временное преобразование Фурье
ДВПФ ставит в соответствие дискретному сигналу , -периодический спектр , который можно
разложить в ряд Фурье:
(8)
где
имеет смысл временны́х моментов, потому что мы раскладываем в ряд Фурье функцию частоты
. Коэффициенты ряда Фурье
равны:
(9)
Подставим в (9) выражение (4) для
и получим:
(10)
Поменяем местами операторы интегрирования и суммирования и объединим показатели экспонент:
(11)
Можно заметить, что интеграл в (11) включает целое число периодов комплексной экспоненты. Это значит, что:
(12)
Таким образом, от суммы (11) останется только одно слагаемое при
и
, или можно также записать
.
Тогда из выражения (9) можно получить обратное дискретно-временное преобразование Фурье (ОДВПФ):
(13)
При оперировании только индексами отсчетов входного сигнала при
c, получим
и выражение для ОДВПФ имеет вид:
(14)
Ограничение выборки входного сигнала
Обратим внимание, что в выражениях (4) и (7), индексация производится от минус бесконечности до бесконечности. Таким образом, ДВПФ, в общем случае, справедливо для бесконечных во времени дискретных сигналов. Если выборка сигнала ограничена отсчетами, то задав при и выражение для ДВПФ принимает вид:
(15)
Выражение для ОДВПФ при ограничении выборки входного сигнала не меняется. Но при расчете
с индексами
или
результат интегрирования будет равен нулю.
В прикладных задачах мы не можем работать с выборками сигнала бесконечной длины, поэтому выражение (15) имеет большое практическое значение.
В качестве примера на рисунке 1а приведен ограниченный по времени дискретный сигнал, содержащий ненулевых отсчетов.
Рисунок 1. ДВПФ ограниченного во времени дискретного сигнала:
a — отсчеты сигнала; б — амплитудный спектр
Результат ДВПФ является комплексной функцией, на рисунке 1б показан амплитудный спектр .
Выводы
Итак мы рассмотрели дискретно-временное преобразование Фурье и получили выражения для прямого и обратного ДВПФ.
В
следующем разделе
мы сделаем еще один переход к дискретному преобразованию Фурье дискретного сигнала, ограниченного по времени (имеющего конечное число ненулевых отсчетов).
Информация была полезна? Поделитесь с друзьями!
Facebook
Мой мир
Вконтакте
Одноклассники
Примечания
Полученное выражение полностью повторяет
свойство двойственности преобразования Фурье.
Список литературы
[1]
Bracewell R.
The Fourier Transform and Its Applications
McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6
[2]
Рабинер, Л., Гоулд, Б.
Теория и применение цифровой обработки сигналов.
Москва, Мир, 1978. 848 с.
[3]
Оппенгейм А., Шаффер Р.
Цифровая обработка сигналов.
Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5
[4]
Сергиенко А.Б.
Цифровая обработка сигналов
СПб, Питер, 2002.
Последнее изменение страницы: 20.01.2024 (19:20:55)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14