Дискретно-временное преобразование Фурье
![]() DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
|

1768–1830



В данном разделе мы рассмотрим как рассчитать периодический спектр по имеющимся отсчетам дискретного сигнала
(прямое дискретно-временное преобразование Фурье), а также как восстановить отсчеты
исходного сигнала по имеющемуся спектру
(обратное дискретно-временное преобразование).
Результаты данного раздела крайне важны для перехода к дискретному преобразованию Фурье, оперирующему с дискретными отсчетами как самого сигнала, так и его спектра.
В англоязычной литературе [1] данные преобразование носит название Discrete-Time Fourier Trasform (DTFT) и Inverse Discrete-Time Fourier Transform (IDTFT). В русскоязычной литературе данные преобразования также называются дискретным рядом Фурье [2, стр. 35].
Рассмотрим дискретный сигнал как результат умножения непрерывного сигнала
на
решетчатую функцию
:



Вычислим
преобразование Фурье
дискретного сигнала ,
для этого подставим (1)
в выражение для преобразования Фурье:

1902–1984





Необходимо отметить, что исключено из выражения (5), так как при
комплексная экспонента равна единице.
Максимальный период повторения спектральной плотности будет при
,
в этом случае он равен циклической частоте дискретизации:





Если задать частоту дискретизации Гц,
то (4) переходит к выражению дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ).





ДВПФ ставит в соответствие дискретному сигналу ,
-периодический спектр
, который можно
разложить в ряд Фурье:
















Обратим внимание, что в выражениях (4) и (7), индексация производится от минус бесконечности до бесконечности. Таким образом, ДВПФ, в общем случае, справедливо для бесконечных во времени дискретных сигналов. Если выборка сигнала ограничена
отсчетами, то задав
при
и
выражение для ДВПФ принимает вид:




В прикладных задачах мы не можем работать с выборками сигнала бесконечной длины, поэтому выражение (15) имеет большое практическое значение.
В качестве примера на рисунке 1а приведен ограниченный по времени дискретный сигнал, содержащий ненулевых отсчетов.

a — отсчеты сигнала; б — амплитудный спектр
Результат ДВПФ является комплексной функцией, на рисунке 1б показан амплитудный спектр .
Итак мы рассмотрели дискретно-временное преобразование Фурье и получили выражения для прямого и обратного ДВПФ. В следующем разделе мы сделаем еще один переход к дискретному преобразованию Фурье дискретного сигнала, ограниченного по времени (имеющего конечное число ненулевых отсчетов).
[1] Полученное выражение полностью повторяет свойство двойственности преобразования Фурье.