Дискретное преобразование Фурье
Дискретно-временное преобразование Фурье, рассмотренное
в предыдущем параграфе,
позволяет рассчитать спектр дискретного сигнала
. При этом
представляет собой
-периодическую функцию частоты, где
— циклическая частота дискретизации сигнала (рад/c),
— интервал взятия отсчетов сигнала во времени в единицах секунд.
Однако для задач цифровой обработки гораздо удобнее было бы иметь как дискретный сигнал, так и дискретный спектр данного сигнала, который можно сохранить в памяти цифрового устройства.
В данном разделе мы произведем переход к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ) — одного из распространенных инструментов спектрального анализа сигналов, широко применяемого в самых разных отраслях науки и техники.
Пусть исходный дискретный сигнал ограничен во времени и содержит
ненулевых отсчетов, взятых с интервалом дискретизации
с.
Данное предположение на практике всегда выполняется, потому что мы не можем получить бесконечное число отсчетов сигнала. Тогда длительность дискретного сигнала равна
cекунд, и
можно записать как:


Известно что дискретным, или, как еще говорят, линейчатым спектром, обладают периодические сигналы.
При этом дискретный спектр получается путем
разложения в ряд Фурье
периодического сигнала.
Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим
путем повторения данного сигнала во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом , кратным интервалу дискретизации
.
Мы можем осуществить такое периодическое повторение сигнала (1), потому что его длительность конечна.
Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 1.


Повторять сигнал можно с различным периодом ,
однако необходимо, чтобы период повторения был больше или равен длительности сигнала
, чтобы сигнал и его периодические повторения не перекрывались во времени.
При этом минимальный период повторения сигнала, при котором сигнал и его повторения не накладываются друг на друга, равен секунд.
Повторение сигнала с минимальным периодом показано на рисунке 2.


При разложении периодически повторенного сигнала (1) в ряд Фурье получим дискретный спектр , состоящий из гармоник кратных
рад/с,
— произвольное целое число. Тогда коэффициенты разложения в ряд Фурье
равны:










Выражение (5) справедливо для любого целого , однако вспомним, что исходный сигнал
был дискретным, поэтому спектр
является периодическим и повторяется каждые
отсчетов. Это очень легко проверить если подставить в (5) вместо
, например
, тогда:





Выражение (5) является дискретным преобразованием, которое ставит в соответствие отсчетам исходного дискретного сигнала
,
спектральных отсчетов
на одном периоде повторения спектра.
Заметим, что (5) является именно спектром, а не спектральной плотностью, потому что мы получили как результат разложения в ряд Фурье. Это означает, что единицы измерения
совпадают с единицами измерения исходного сигнала.
Если мы будем оперировать только с индексами входного сигнала и спектральных отсчетов (положив ), то получим выражение дискретного преобразования Фурье:



При рассмотрении обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) применим тот же прием, что мы использовали в предыдущем разделе при выводе формулы
обратного дискретно-временного преобразования Фурье.
Учтем, что ДПФ возвращает один период дискретного периодического спектра , где
. Тогда дискретный спектр ДПФ на одном периоде можно записать используя дельта-функцию:

Спектр является
-периодической функцией и может быть разложен в ряд Фурье вида:




Подставим в (10) выражение (8):










Используя формулу суммы первых членов геометрической прогрессии [4, стр. 35] получим для
:













Важно отметить, что на практике гораздо чаще требуется рассчитывать прямое ДПФ, чем обратное. Поэтому принято нормировочный множитель учитывать в обратном преобразовании, а не в прямом. Тогда пару ДПФ можно переписать в виде:

В данном разделе мы получили выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье. Было показано, что прямое ДПФ получается в результате разложения в ряд Фурье периодического дискретного сигнала. При этом периодичность сигнала получается в результате копирования во времени исходного сигнала конечной длительности.
Таким образом, ДПФ ставит в соответствие отсчетам дискретного сигнала,
отсчетов дискретного спектра.
Спектр сигнала при этом является периодическим (потому что исходный сигнал дискретный), и является дискретным (потому что исходный сигнал периодический)
В следующих разделах мы рассмотрим:
Индексация и перестановка спектральных отсчетов ДПф
Свойства ДПФ
Представление периодических сигналов рядом Фурье
Дельта-функция Дирака и ее свойства
Дискретно-временное преобразование Фурье