Дискретное преобразование Фурье
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge |
Дискретно-временное преобразование Фурье, рассмотренное в предыдущем параграфе, позволяет рассчитать спектр дискретного сигнала . При этом представляет собой -периодическую функцию частоты, где — циклическая частота дискретизации сигнала (рад/c), — интервал взятия отсчетов сигнала во времени в единицах секунд.
Однако для задач цифровой обработки гораздо удобнее было бы иметь как дискретный сигнал, так и дискретный спектр данного сигнала, который можно сохранить в памяти цифрового устройства.
В данном разделе мы произведем переход к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ) — одного из распространенных инструментов спектрального анализа сигналов, широко применяемого в самых разных отраслях науки и техники.
Пусть исходный дискретный сигнал ограничен во времени и содержит ненулевых отсчетов, взятых с интервалом дискретизации с. Данное предположение на практике всегда выполняется, потому что мы не можем получить бесконечное число отсчетов сигнала. Тогда длительность дискретного сигнала равна cекунд, и можно записать как:
Известно что дискретным, или, как еще говорят, линейчатым спектром, обладают периодические сигналы. При этом дискретный спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим путем повторения данного сигнала во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом , кратным интервалу дискретизации . Мы можем осуществить такое периодическое повторение сигнала (1), потому что его длительность конечна.
Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 1.
Повторять сигнал можно с различным периодом , однако необходимо, чтобы период повторения был больше или равен длительности сигнала , чтобы сигнал и его периодические повторения не перекрывались во времени.
При этом минимальный период повторения сигнала, при котором сигнал и его повторения не накладываются друг на друга, равен секунд.
Повторение сигнала с минимальным периодом показано на рисунке 2.
При разложении периодически повторенного сигнала (1) в ряд Фурье получим дискретный спектр , состоящий из гармоник кратных рад/с, — произвольное целое число. Тогда коэффициенты разложения в ряд Фурье равны:
Выражение (5) справедливо для любого целого , однако вспомним, что исходный сигнал был дискретным, поэтому спектр является периодическим и повторяется каждые отсчетов. Это очень легко проверить если подставить в (5) вместо , например , тогда:
Выражение (5) является дискретным преобразованием, которое ставит в соответствие отсчетам исходного дискретного сигнала , спектральных отсчетов на одном периоде повторения спектра.
Заметим, что (5) является именно спектром, а не спектральной плотностью, потому что мы получили как результат разложения в ряд Фурье. Это означает, что единицы измерения совпадают с единицами измерения исходного сигнала.
Если мы будем оперировать только с индексами входного сигнала и спектральных отсчетов (положив ), то получим выражение дискретного преобразования Фурье:
При рассмотрении обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) применим тот же прием, что мы использовали в предыдущем разделе при выводе формулы обратного дискретно-временного преобразования Фурье. Учтем, что ДПФ возвращает один период дискретного периодического спектра , где . Тогда дискретный спектр ДПФ на одном периоде можно записать используя дельта-функцию:
Спектр является -периодической функцией и может быть разложен в ряд Фурье вида:
Подставим в (10) выражение (8):
Используя формулу суммы первых членов геометрической прогрессии [4, стр. 35] получим для :
Важно отметить, что на практике гораздо чаще требуется рассчитывать прямое ДПФ, чем обратное. Поэтому принято нормировочный множитель учитывать в обратном преобразовании, а не в прямом. Тогда пару ДПФ можно переписать в виде:
В данном разделе мы получили выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье. Было показано, что прямое ДПФ получается в результате разложения в ряд Фурье периодического дискретного сигнала. При этом периодичность сигнала получается в результате копирования во времени исходного сигнала конечной длительности.
Таким образом, ДПФ ставит в соответствие отсчетам дискретного сигнала, отсчетов дискретного спектра.
Спектр сигнала при этом является периодическим (потому что исходный сигнал дискретный), и является дискретным (потому что исходный сигнал периодический)
В следующих разделах мы рассмотрим:
Индексация и перестановка спектральных отсчетов ДПф
Свойства ДПФ
Представление периодических сигналов рядом Фурье
Дельта-функция Дирака и ее свойства
Дискретно-временное преобразование Фурье