Дискретное преобразование Фурье

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Вводные замечания

Дискретно-временное преобразование Фурье, рассмотренное в предыдущем параграфе, позволяет рассчитать спектр S_{\text{д}}(\omega) дискретного сигнала s_{\text{д}}(t). При этом S_{\text{д}}(\omega) представляет собой \Omega-периодическую функцию частоты, где \Omega = 2\pi / T — циклическая частота дискретизации сигнала (рад/c), T — интервал взятия отсчетов сигнала во времени в единицах секунд.

Однако для задач цифровой обработки гораздо удобнее было бы иметь как дискретный сигнал, так и дискретный спектр данного сигнала, который можно сохранить в памяти цифрового устройства.

В данном разделе мы произведем переход к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ) — одного из распространенных инструментов спектрального анализа сигналов, широко применяемого в самых разных отраслях науки и техники.

Повторение сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурье

Пусть исходный дискретный сигнал s_{\text{д}}(t) ограничен во времени и содержит N ненулевых отсчетов, взятых с интервалом дискретизации T с. Данное предположение на практике всегда выполняется, потому что мы не можем получить бесконечное число отсчетов сигнала. Тогда длительность дискретного сигнала равна NT cекунд, и s_{\text{д}}(t) можно записать как:

equation 1
(1)
где \delta(t) — дельта-функция Дирака.

Известно что дискретным, или, как еще говорят, линейчатым спектром, обладают периодические сигналы. При этом дискретный спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим путем повторения данного сигнала во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом P, кратным интервалу дискретизации T. Мы можем осуществить такое периодическое повторение сигнала (1), потому что его длительность конечна.

Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 1.

Повторение сигнала во времени с периодом
Рисунок 1. Повторение сигнала во времени с периодом P

Повторять сигнал можно с различным периодом P, однако необходимо, чтобы период повторения был больше или равен длительности сигнала P \ge N T, чтобы сигнал и его периодические повторения не перекрывались во времени.

При этом минимальный период повторения сигнала, при котором сигнал и его повторения не накладываются друг на друга, равен P_{\text{min}} = NT секунд.

Повторение сигнала с минимальным периодом P_{\text{min}} = N  T показано на рисунке 2.

Повторение сигнала с минимальным периодом
Рисунок 2. Повторение сигнала с минимальным периодом P_{\text{min}} = N  T

Дискретное преобразование Фурье

При разложении периодически повторенного сигнала (1) в ряд Фурье получим дискретный спектр S(k \Delta \omega), состоящий из гармоник кратных \Delta\omega = 2\pi/P_{\text{min}} = 2\pi/(NT) рад/с, k — произвольное целое число. Тогда коэффициенты разложения в ряд Фурье S(k \Delta \omega) равны:

equation 2
(2)
Подставим (1) в (2):

equation 3
(3)
поменяем местами операции суммирования и интегрирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:
equation 4
(4)
Учтем, что \Delta \omega T = 2\pi / N, тогда окончательно можно записать:

equation 5
(5)
Заметим, что показатели комплексных экспонент в выражении (5) не зависят от интервала дискретизации T, а только от индексов n и k, указывающих порядковый номер временно́го и спектрального отсчета. Это очень полезное свойство, которое позволяет реализовать универсальную программу расчета для любой частоты дискретизации, используя лишь индексы n и k.

Выражение (5) справедливо для любого целого k, однако вспомним, что исходный сигнал s_{\text{д}}(t) был дискретным, поэтому спектр S(k \Delta \omega) является периодическим и повторяется каждые N отсчетов. Это очень легко проверить если подставить в (5) вместо k, например k+N, тогда:

equation 6
(6)
Таким образом, нет необходимости рассчитывать спектральные отсчеты для всех индексов k, а достаточно рассчитать лишь N спектральных отсчетов S (k \Delta \omega), k = 0\ldots N-1.

Выражение (5) является дискретным преобразованием, которое ставит в соответствие N отсчетам исходного дискретного сигнала s(nT), N спектральных отсчетов S(k \Delta \omega) на одном периоде повторения спектра.

Заметим, что (5) является именно спектром, а не спектральной плотностью, потому что мы получили S(k \Delta \omega) как результат разложения в ряд Фурье. Это означает, что единицы измерения S(k \Delta \omega) совпадают с единицами измерения исходного сигнала.

Если мы будем оперировать только с индексами входного сигнала и спектральных отсчетов (положив T = 1), то получим выражение дискретного преобразования Фурье:

equation 7
(7)
Сделаем замечание. В литературе [1, 2, 3] выражение прямого ДПФ не содержит множителя 1/N, в отличии от (7). Забегая вперед, скажем, что мы тоже перенесем этот множитель 1/N в выражение обратного дискретного преобразования Фурье.

Обратное дискретное преобразование Фурье

При рассмотрении обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) применим тот же прием, что мы использовали в предыдущем разделе при выводе формулы обратного дискретно-временного преобразования Фурье. Учтем, что ДПФ возвращает один период дискретного периодического спектра S( k \Delta \omega \big), где  k  = 0\ldots N-1. Тогда дискретный спектр ДПФ на одном периоде можно записать используя дельта-функцию:

equation 8
(8)

Спектр S_{\text{дпф}}(\omega) является \Omega-периодической функцией и может быть разложен в ряд Фурье вида:

equation 9
(9)
где \xi_m = 2\pi m / \Omega = mT имеет смысл временны́х отчетов, так как мы раскладываем в ряд функцию частоты, а p(\xi_m) — коэффициенты разложения в ряд Фурье:

equation 10
(10)

Подставим в (10) выражение (8):

equation 11
(11)
Поменяем местами операторы интегрирования и суммирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:
equation 12
(12)
Подставим в (12) выражение (5) для S( k \Delta \omega):

equation 13
(13)
Поменяем порядок суммирования и объединим показатели экспонент:

equation 14
(14)
Можно заметить, что сумма комплексных экспонент равна

equation 15
(15)
При n\neq -m, сумму комплексных экспонент можно рассматривать как сумму первых N членов геометрической прогрессии со знаменателем

equation 16
(16)
и начальным членом равным b_0 = 1.

Используя формулу суммы первых N членов геометрической прогрессии [4, стр. 35] получим для n\neq -m:

equation 17
(17)
Тогда от суммы (14), с учетом (15)–(17), остается лишь одно слагаемое при n = -m:
equation 18
(18)
Возвращаясь к выражению (12), с учетом (18) можно окончательно записать:
equation 19
(19)
Опустив \Delta \omega и приняв T = 1 можно перейти к паре дискретных преобразований Фурье, которые оперируют только с индексами входного дискретного сигнала s(n) и его спектра S(k):
equation 20
(20)
Заметим, что в (20) мы ограничили индексы n и k значением N-1. На самом деле этого можно не делать, но из-за периодического характера сигнала и спектра их значения будут повторятся с периодом N.

Важно отметить, что на практике гораздо чаще требуется рассчитывать прямое ДПФ, чем обратное. Поэтому принято нормировочный множитель \frac{1}{N} учитывать в обратном преобразовании, а не в прямом. Тогда пару ДПФ можно переписать в виде:

equation 21
(21)
Именно в виде (21) принято записывать выражения прямого и обратного ДПФ.

Выводы

В данном разделе мы получили выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье. Было показано, что прямое ДПФ получается в результате разложения в ряд Фурье периодического дискретного сигнала. При этом периодичность сигнала получается в результате копирования во времени исходного сигнала конечной длительности.

Таким образом, ДПФ ставит в соответствие N отсчетам дискретного сигнала, N отсчетов дискретного спектра.

Спектр сигнала при этом является периодическим (потому что исходный сигнал дискретный), и является дискретным (потому что исходный сигнал периодический)

В следующих разделах мы рассмотрим:
Индексация и перестановка спектральных отсчетов ДПф
Свойства ДПФ

странице обсуждения статьи

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Дельта-функция Дирака и ее свойства
Дискретно-временное преобразование Фурье

Список литературы
[1] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[2] Рабинер, Л., Гоулд, Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Москва, Мир, 1978. 848 с.

[3] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

[4] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва, Наука, 1970, 720 с.

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:14:21)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14