Дискретное преобразование Фурье

Вводные замечания Повторение сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье Обратное дискретное преобразование Фурье Выводы Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница библиотеки на GitHub

Дискретно-временное преобразование Фурье, рассмотренное в предыдущем параграфе, позволяет рассчитать спектр дискретного сигнала . При этом представляет собой -периодическую функцию частоты, где  — циклическая частота дискретизации сигнала (рад/c),  — интервал взятия отсчетов сигнала во времени в единицах секунд.

Однако для задач цифровой обработки гораздо удобнее было бы иметь как дискретный сигнал, так и дискретный спектр данного сигнала, который можно сохранить в памяти цифрового устройства.

В данном разделе мы произведем переход к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ) — одного из распространенных инструментов спектрального анализа сигналов, широко применяемого в самых разных отраслях науки и техники.

Пусть исходный дискретный сигнал ограничен во времени и содержит ненулевых отсчетов, взятых с интервалом дискретизации  с. Данное предположение на практике всегда выполняется, потому что мы не можем получить бесконечное число отсчетов сигнала. Тогда длительность дискретного сигнала равна  cекунд, и можно записать как:

где  — дельта-функция Дирака.

Известно что дискретным, или, как еще говорят, линейчатым спектром, обладают периодические сигналы. При этом дискретный спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим путем повторения данного сигнала во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом , кратным интервалу дискретизации . Мы можем осуществить такое периодическое повторение сигнала (1), потому что его длительность конечна.

Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 1.

Повторять сигнал можно с различным периодом , однако необходимо, чтобы период повторения был больше или равен длительности сигнала , чтобы сигнал и его периодические повторения не перекрывались во времени.

При этом минимальный период повторения сигнала, при котором сигнал и его повторения не накладываются друг на друга, равен  секунд.

Повторение сигнала с минимальным периодом  показано на рисунке 2.

При разложении периодически повторенного сигнала (1) в ряд Фурье получим дискретный спектр , состоящий из гармоник кратных  рад/с,  — произвольное целое число. Тогда коэффициенты разложения в ряд Фурье равны:

Подставим (1) в (2):

поменяем местами операции суммирования и интегрирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции: Учтем, что , тогда окончательно можно записать:

Заметим, что показатели комплексных экспонент в выражении (5) не зависят от интервала дискретизации , а только от индексов и , указывающих порядковый номер временно́го и спектрального отсчета. Это очень полезное свойство, которое позволяет реализовать универсальную программу расчета для любой частоты дискретизации, используя лишь индексы и .

Выражение (5) справедливо для любого целого , однако вспомним, что исходный сигнал был дискретным, поэтому спектр является периодическим и повторяется каждые отсчетов. Это очень легко проверить если подставить в (5) вместо , например , тогда:

Таким образом, нет необходимости рассчитывать спектральные отсчеты для всех индексов , а достаточно рассчитать лишь спектральных отсчетов , .

Выражение (5) является дискретным преобразованием, которое ставит в соответствие отсчетам исходного дискретного сигнала , спектральных отсчетов на одном периоде повторения спектра.

Заметим, что (5) является именно спектром, а не спектральной плотностью, потому что мы получили как результат разложения в ряд Фурье. Это означает, что единицы измерения совпадают с единицами измерения исходного сигнала.

Если мы будем оперировать только с индексами входного сигнала и спектральных отсчетов (положив ), то получим выражение дискретного преобразования Фурье:

Сделаем замечание. В литературе [1, 2, 3] выражение прямого ДПФ не содержит множителя , в отличии от (7). Забегая вперед, скажем, что мы тоже перенесем этот множитель в выражение обратного дискретного преобразования Фурье.

При рассмотрении обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) применим тот же прием, что мы использовали в предыдущем разделе при выводе формулы обратного дискретно-временного преобразования Фурье. Учтем, что ДПФ возвращает один период дискретного периодического спектра , где . Тогда дискретный спектр ДПФ на одном периоде можно записать используя дельта-функцию:

Спектр является -периодической функцией и может быть разложен в ряд Фурье вида:

где имеет смысл временны́х отчетов, так как мы раскладываем в ряд функцию частоты, а  — коэффициенты разложения в ряд Фурье:

Подставим в (10) выражение (8):

Поменяем местами операторы интегрирования и суммирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции: Подставим в (12) выражение (5) для : Поменяем порядок суммирования и объединим показатели экспонент: Можно заметить, что сумма комплексных экспонент равна При , сумму комплексных экспонент можно рассматривать как сумму первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и начальным членом равным .

Используя формулу суммы первых членов геометрической прогрессии [4, стр. 35] получим для :

Тогда от суммы (14), с учетом (15)–(17), остается лишь одно слагаемое при : Возвращаясь к выражению (12), с учетом (18) можно окончательно записать: Опустив и приняв можно перейти к паре дискретных преобразований Фурье, которые оперируют только с индексами входного дискретного сигнала и его спектра :

Заметим, что в (20) мы ограничили индексы и значением . На самом деле этого можно не делать, но из-за периодического характера сигнала и спектра их значения будут повторятся с периодом .

Важно отметить, что на практике гораздо чаще требуется рассчитывать прямое ДПФ, чем обратное. Поэтому принято нормировочный множитель учитывать в обратном преобразовании, а не в прямом. Тогда пару ДПФ можно переписать в виде:

Именно в виде (21) принято записывать выражения прямого и обратного ДПФ.

В данном разделе мы получили выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье. Было показано, что прямое ДПФ получается в результате разложения в ряд Фурье периодического дискретного сигнала. При этом периодичность сигнала получается в результате копирования во времени исходного сигнала конечной длительности.

Таким образом, ДПФ ставит в соответствие отсчетам дискретного сигнала, отсчетов дискретного спектра.

Спектр сигнала при этом является периодическим (потому что исходный сигнал дискретный), и является дискретным (потому что исходный сигнал периодический)

В следующих разделах мы рассмотрим:
Индексация и перестановка спектральных отсчетов ДПф
Свойства ДПФ

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Дельта-функция Дирака и ее свойства
Дискретно-временное преобразование Фурье