Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Вводные понятия

Аналоговый, дискретный и цифровой сигналы
Рисунок 1. Аналоговый, дискретный и цифровой сигналы

Сигнал s(t) называют аналоговым, если он определен на непрерывной оси времени t, и в каждый момент может принимать произвольные значения. Аналоговый сигнал может быть представлен непрерывной, или кусочно-непрерывной функции переменной t. Пример аналогового сигнала показан на рисунке 1.

Если сигнал s_д(t) принимает произвольные значения только в фиксированные моменты времени t_n, n — целое число, то такой сигнал называется дискретным. Наиболее широкое распространение получили дискретные сигналы, определенные на равноотстоящей сетке t_n = n T, где T — интервал дискретизации. При этом в моменты дискретизации t_n дискретный сигнал может принимать произвольные значения. Если значения дискретного сигнала s_д(t) также берутся на фиксированной сетке значений, и при этом сами значения могут быть представлены числом конечной разрядности в одной из систем счисления, то такой дискретный сигнал называется цифровым s_ц(t). Часто говорят, что цифровой сигнал представляет собой квантованный по уровню дискретный сигнал. Примеры дискретного и цифрового сигналов также показаны на рисунке 1. Тонкая разница между дискретными и цифровыми сигналами дает возможность их отождествлять практически во всех прикладных задачах. Аналоговый сигнал может быть описан функцией времени, в то время как дискретный и цифровой сигналы могут быть заданы вектором отсчетов \mathbf{s} :

equation 1
(1)
Вектор \mathbf{s} отсчетов цифрового сигнала может быть помещен в память вычислительного устройства с возможность многократной перезаписи и копирования без потери точности, в то время как перезапись и копирование аналоговых сигналов неизбежно сопровождается потерей части информации. Кроме того, обработка цифровых сигналов позволяет добиться потенциально-возможных характеристик устройств, ввиду возможности выполнения вычислительных операций без потерь, или с пренебрежимо малыми потерями качества.

Указанные преимущества определили повсеместное распространение цифровых систем хранения и обработки сигналов. Но цифровые сигналы также имеют и недостатки по сравнению с аналоговыми.

Во-первых нет возможности передавать цифровые сигналы «как есть», поскольку передача сигналов чаще всего происходит при использовании электромагнитных и акустических волн, которые являются непрерывными во времени. Поэтому для передачи цифровых сигналов требуются дополнительные методы цифровой модуляции, а также цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП).

Другим недостатком цифровых сигналов является меньший динамический диапазон сигнала (т.е. отношение самого большого значения к самому маленькому), из-за квантования сигнала на фиксированной сетке значений.

Дискретизация аналоговых сигналов. Математическая модель дискретного сигнала

В данном параграфе мы рассмотрим способ выборки дискретных значений аналогового сигнала. Структурная схема устройства дискретизации показана на рисунке 2. Данное устройство называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП), потому что оно преобразует аналоговый сигнал s(t) в набор оценок дискретных значений \hat s(nT), где n — целое число, взятых через равноотстоящие промежутки времени T.

Структурная схема аналого-цифрового преобразователя
Рисунок 2. Структурная схема аналого-цифрового преобразователя

Временны́е осциллограммы, поясняющие принцип работы устройства показаны на рисунке 3 (см. [1, стр. 475–476], или [2, стр. 438]).

 Временны́е осциллограммы АЦП
Рисунок 3. Временны́е осциллограммы АЦП

На входе АЦП имеется аналоговый сигнал s(t). Генератор импульсов формирует равноотстоящие стробирующие импульсы v(t), которые управляют ключом, в результате чего на вход усилителя подаются короткие выборки сигнала длительности \tau, взятые через интервал дискретизации T.

Оценка дискретного сигнала \hat s_д(t) может быть представлена в виде

equation 2
(2)
где п_{\tau}(t) — прямоугольный импульс длительности \tau единичной амплитуды, который мы уже рассматривали в предыдущих разделах.

Интегрируя \hat s_д(t) на каждом интервале длительности стробирующего импульса получим оценку значения сигнала \hat s(nT) в момент времени t_n = nT. При конечной величине \tau мы можем говорить об оценке значения сигнала \hat s(t_n) в момент времени t_n с некоторой погрешностью, ввиду изменения сигнала s(t) на интервале \tau. Поэтому мы используем шапочку над обозначением \hat s_д(t), чтобы подчеркнуть приближенную оценку.

При уменьшении длительности \tau погрешность оценки будет уменьшаться, и в пределе мы можем получить дискретный сигнал как:

equation 3
(3)
где \delta(t -nT) — смещенная на nT дельта-функция Дирака, которую мы подробно рассматривали в одном из предыдущих разделов.

Бесконечная сумма смещенных дельта-функций называется решетчатой функцией и обозначается ш_T(t) [3, стр. 77]:

equation 4
(4)
где индекс T указывает временной интервал следования дельта-функций.

Тогда математической моделью дискретного сигнала будет произведение исходного аналогового сигнала s(t) на решетчатую функцию:

equation 5
(5)
Заметим, что (5) уже не является приближенной оценкой, а представляет собой истинную модель дискретного сигнала.

Графически модель дискретного сигнала s_д(t), с использованием решетчатой функции ш_T(t) показана на рисунке 4.

Модель дискретного сигнала    на основе решетчатой функции
Рисунок 4. Модель дискретного сигнала
на основе решетчатой функции

Для получения численных значений s_д(nT) дискретного сигнала необходимо проинтегрировать дискретный сигнал (5) в окрестности t_n = nT:

equation 6
(6)
где \varepsilon < T — конечный интервал интегрирования дискретного сигнала в окрестности t_n = nT.

В дальнейшем мы будем широко использовать данную модель дискретного сигнала для перехода от методов анализа и обработки аналоговых сигналов, к цифровым.

Размерность дискретного сигнала

Пусть исходный аналоговый сигнал s(t) описывает изменение напряжения во времени и имеет размерность вольт [В]. Вспомним, что дельта-функция Дирака имеет размерность, обратную размерности ее аргумента. Тогда решетчатая функция ш_{T}(t), согласно (4) имеет размерность [1/с], а размерность дискретного сигнала (5) будет [В/с].

Заметим, что значения s_д(nT) дискретного сигнала, полученные из (6) как результат интегрирования дискретного сигнала в окрестности момента времени nT, будут иметь размерность исходного сигнала [В].

Преобразование Фурье решетчатой функции

В данном разделе мы проанализируем спектральную плотность решетчатой функции ш_T(t). Для начала рассмотрим ш_T(t) как периодический сигнал. Тогда можно ш_T(t) представить в виде разложения в ряд Фурье:

equation 7
(7)
где \omega_n = \Omega n, \Omega=\frac{2\pi}{T} рад/с — частота дискретизации,

equation 8
(8)
Тогда (7) с учетом (8):

equation 9
(9)
Заметим, что знак аргумента комплексной экспоненты выражения (9) можно изменить, потому что суммирование ведется от минус бесконечности до бесконечности с положительными и отрицательными n. Тогда:

equation 10
(10)
Выражение (10) представляет ш_T(t) как бесконечную сумму комплексных экспонент.

Рассмотрим теперь преобразование Фурье решетчатой функции:

equation 11
(11)
Поменяем операции интегрирования и суммирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:

equation 12
(12)
Выражение (12) также представляет собой бесконечную сумму комплексных экспонент. Учтем, что T = \frac{2 \pi}{\Omega} и получим:

equation 13
(13)
Сравнивая (13) с (10) можно заключить, что:

equation 14
(14)
Таким образом, спектральная плотность решетчатой функции представляет собой также решетчатую функцию.

Период повторения дельта-функций в частотной области равен \Omega=\frac{2\pi}{T}, при этом дельта-функции масштабируются в \Omega раз, как это показно на рисунке 5.

Решетчатая функция:   а — временно́е представление; б — спектральная плотность
Рисунок 5. Решетчатая функция:
а — временно́е представление; б — спектральная плотность

Заметим, что умножение на \Omega в частотной области изменяет размерность спектральной плотности \Omega Ш_\Omega(\omega), в результате чего спектральная плотность переходит в безразмерный спектр (что не удивительно, потому что исходная решетчатая функция — периодическая).

Спектральная плотность дискретного сигнала

\label{discrete_introduction:ft_discrete} Пусть дан аналоговый сигнал s(t), спектральная плотность которого равна S(\omega). В данном параграфе мы рассмотрим процесс равноотстоящей дискретизации сигнала в частотной области.

Преобразование Фурье дискретного сигнала (5) равно:

equation 15
(15)
Применим свойство преобразования Фурье произведения сигналов, тогда S_д(\omega) представляет собой свертку спектральной плотности \Omega Ш_\Omega(\omega) решетчатой функции и спектральной плотности S(\omega) исходного сигнала s(t):

equation 16
(16)
Преобразуем (16), используя фильтрующее свойство дельта-функции:

equation 17
(17)
Уравнение (17) задает спектральную плотность S_д(\omega) дискретного сигнала как бесконечную сумму масштабированных копий спектральной плотности S(\omega), отстоящих друг от друга на \Omega рад/с по частоте, как это показано на рисунке 6.

Спектральная плотность дискретного сигнала
Рисунок 6. Спектральная плотность дискретного сигнала

Заметим, что мы не накладываем никаких ограничений ни на интервал дискретизации T, ни на сигнал s(t), ни на спектральную плотность S(\omega). Вне зависимости от частоты дискретизации \Omega = \frac{2\pi}{T} рад/с, и формы S(\omega), спектральная плотность S_д(\omega) дискретного сигнала s_д(t) всегда будет представлять собой сумму масштабированных копий S(\omega), отстоящих друг от друга на величину частоты дискретизации \Omega=\frac{2\pi}{T} рад/с.

Размерность спектра дискретного сигнала

Проанализируем выражение (17) на предмет размерности S_д(\omega), в предположении, что исходный аналоговый сигнал имеет размерность [В]:

equation 18
(18)
Таким образом, из (18) можно заключить, что при дискретизации сигнала, его спектральная плотность переходит в спектр, а размерность S_д(\omega) спектра дискретного сигнала совпадает с размерностью исходного аналогового сигнала s(t).

Если аналоговый сигнал описывает изменения напряжения во времени и измеряется в единицах вольт, то при дискретизации аналогового сигнала, получим дискретные отсчеты, также измеряемые в вольт, и спектр дискретного сигнала также будет измеряться в единицах вольт. Тогда функцию S_д(\omega) мы можем назвать спектром, а не спектральной плотностью.

Главный вывод: преобразование Фурье дискретного сигнала не изменяет размерности дискретных отсчетов сигнала, в отличии от преобразования Фурье аналогового сигнала, которое возвращает спектральную плотность S(\omega).

Выводы

В данном разделе мы ввели понятие дискретного и цифрового сигналов. Мы опеределили, что дискретный сигнал может быть представлен как результат произведения решетчатой функции и аналогового сигнала.

Были детально рассмотрены свойства решетчатой функции ш_T(t) и показано, что спектральная плотность решетчатой функции также представляет собой масштабированную по амплитуде решетчатую функцию.

В результате свойств решетчатой функци получили, что спектральная плотность дискретного сигнала представляется бесконечной суммой копий спектральных плотностей исходного сигнала, отставленных дург от друга на величину равную частоте дискретизации.

странице обсуждения статьи

Смотри также
Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы
[1] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[2] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[3] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:15:18)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14