Свойства преобразования Фурье

Содержание

Свойство линейности

Свойство временного сдвига

Преобразование Фурье свертки сигналов

Преобразование Фурье произведения сигналов

Масштабирование и инверсия во времени

Преобразование Фурье производной исходного сигнала

Свойство интегрирования исходного сигнала

Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала

Амплитудно- и фазочастотная характеристики сигнала

Двойственность преобразования Фурье

Убывание спектральной плотности сигнала по частоте

Выводы

Примечания

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Свойство линейности

Пусть даны непериодические сигналы a(t) и b(t) , а также их спектральные плотности $A(\omega)$ и $B(\omega)$ соответственно. Везде далее мы будем предполагать, что a(t) и b(t) — абсолютно интегрируемые сигналы, тогда преобразование Фурье сигнала s(t) = a(t) + b(t) равно

(1)

Следствием является свойство умножения на константу $\alpha$ :

(2)

Свойство временного сдвига

Рассмотрим сигнал $s(t) = a(t - \tau)$ как результат временного сдвига исходного сигнала a(t) на произвольную величину $\tau$ . Тогда преобразование Фурье сигнала s(t) имеет вид:

(3)

Введем замену переменной $\xi = t - \tau$ , тогда $t = \xi + \tau$ и $dt = d \tau$ . При любом конечном $\tau$ пределы интегрирования не меняются и спектральная плотность $S(\omega)$ равна:

(4)

Таким образом, задержка сигнала во времени приводит к изменению фазы его спектральной плотности без изменения амплитуды.

Преобразование Фурье свертки сигналов

Пусть сигнал s(t) представляет собой свертку сигналов a(t) и b(t) :

(5)

Тогда спектральная плотность сигнала s(t)

равна:

(6)

Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:

(7)

Таким образом, спектральная плотность $S(\omega)$ свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.

Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.

Преобразование Фурье произведения сигналов

Пусть сигнал s(t) = a(t) b(t) представляет собой произведение сигналов a(t) и b(t) . Преобразование Фурье сигнала s(t) равно:

(8)

Подставим в (8) вместо сигнала a(t)

обратное преобразование Фурье его спектральной плотности $A(\omega)$ :

(9)

Поменяем в (9) операции интегрирования и получим:

(10)

Тогда окончательно преобразование Фурье произведения сигналов

(11)

пропорционально свертке спектральных плотностей этих сигналов.

Масштабирование и инверсия во времени

Пусть сигнал $s(t) = a(\alpha t)$ представляет собой масштабированный во времени сигнал a(t) , $\alpha$ — вещественная константа, отличная от нуля.

Тогда преобразование Фурье сигнала s(t) равно:

(12)

Введем в выражении (12) замену переменной $\alpha t = \xi$ , тогда $t = \frac{\xi}{\alpha}$ , $dt = \frac{d\xi}{\alpha}$ . При этом пределы интегрирования при положительном $\alpha$ не меняются: $\frac{\xi}{\alpha} = \infty$ , откуда $\xi = \infty$ , и аналогично $\frac{\xi}{\alpha} = -\infty \Rightarrow \xi = -\infty$ . Тогда (12) принимает вид:

(13)

При отрицательном $\alpha < 0$ , помимо масштабирования имеет место инверсия сигнала во времени. Тогда вводя замену переменной в (12), пределы интегрирования при $\alpha<0$ также меняются: $\frac{\xi}{\alpha} = \infty$ , $\xi = -\infty$ , и аналогично $\frac{\xi}{\alpha} = -\infty$ , откуда $\xi = \infty$ . В результате при $\alpha<0$ получаем:

(14)

Знак минус в выражении (14) появился в результате перестановки нижнего и верхнего пределов интегрирования. Объединяя выражения (13) и (14), для любого вещественного $\alpha \neq 0$ можно записать:

(15)

Следствием (15) является свойство преобразования Фурье инверсного во времени сигнала при $\alpha = -1$ :

(16)

Временна́я инверсия сигнала приводит к частотной инверсии его спектральной плотности.

Преобразование Фурье производной исходного сигнала

Пусть сигнал a(t) представляет собой непрерывный на всей числовой оси абсолютно интегрируемый сигнал, чья спектральная плотность равна $A(\omega)$ . Тогда сигнал $s(t) = \frac{d}{dt}a(t)$ также является абсолютно интегрируемым, и его преобразование Фурье равно:

(17)

Используем правило интегрирования по частям[1] [2, стр. 330]:

(18)

Учтем, что модуль комплексной экспоненты равен единице, а сигнал a(t)

является абсолютно интегрируемым, т.е. $a(\infty) = a(-\infty) = 0$ . Тогда два первых слагаемых выражения (18) равны нулю, и окончательно можно записать:

(19)

Таким образом, спектральная плотность производной сигнала a(t)

равна спектральной плотности этого сигнала, умноженной на $j\omega$ .

Как и в случае с периодическими сигналами, наличие множителя $j\omega$ приводит к тому, что $S(\omega)$ с ростом частоты $\omega$ затухает слабее чем спектральная плотность исходного сигнала $A(\omega)$ . Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным, тогда его спектральная плотность $A(\omega)$ будет затухать быстрее чем $\frac{1}{\omega}$ , и умножение на $j\omega$ не приведет к росту $S(\omega)$ с увеличением частоты, т.е. обеспечит сходимость (17).

Свойство интегрирования исходного сигнала

Пусть теперь a(t) представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектральная плотность $A(\omega)$ сигнала a(t) равна нулю при $\omega = 0$ .

Тогда сигнал s(t)

(20)

представляет собой выход интегратора при входном сигнале a(t)

Обратим внимание, что при A(0) = 0 , сигнал s(t) является абсолютно интегрируемым.

Рассмотрим спектральную плотность $S(\omega)$ сигнала s(t) . Для этого заметим, что сигнал $a(t) = \frac{d}{dt} s(t)$ ничто иное, как производная сигнала s(t) . Тогда используя свойство преобразования Фурье производной сигнала (19) можно записать:

(21)

При $\omega \neq 0$ , спектральная плотность $S(\omega)$ рассчитывается без особого труда. Однако на частоте $\omega = 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$ , раскрытие которой по правилу Лопиталя [2, стр. 257] по аналогии со свойством ряда Фурье

приводит к окончательному выражению вида:

(22)

Анализируя (22) можно заключить, что интегрирование сигнала устраняет разрывы и приводит к более быстрому затуханию спектральной плотности, ввиду наличия дополнительного множителя $\frac{1}{j\omega}$ .

Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала

Пусть исходный сигнал a(t) = i(t) + jq(t) представляет собой комплексный абсолютно интегрируемый сигнал, где $i(t) = \operatorname{Re}[a(t)]$ — синфазная и $q(t) = \operatorname{Im}[a(t)]$ — квадратурная компоненты. Рассмотрим преобразование Фурье $A(\omega) = \mathcal{F}[a(t)]$ , используя формулу Эйлера представления комплексных экспонент:

(23)

где $I_c(\omega)$ , $Q_s(\omega)$ , $Q_c(\omega)$ и $I_s(\omega)$ — соответствующее значение каждого из четырех интегралов. Заметим, что справедливы следующие равенства:

(24)

Рассмотрим теперь преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала s(t) = a^*(t) = i(t) - j q(t)

(25)

Учтем свойство (24), тогда:

(26)

и сравнивая с (23) можно заключить, что:

(27)

Таким образом, спектральная плотность комплексно-сопряженного сигнала равна инверсной по частоте комплексно-сопряженной спектральной плотности исходного сигнала.

Важным следствием (27) является свойство симметрии спектральной плотности вещественного сигнала.

Пусть имеется вещественный сигнал a(t) , чья спектральная плотность равна $A(\omega)$ . Поскольку сигнал a(t) вещественный, то комплексное сопряжение его не меняет, т.е. a(t) = a^*(t) . Перейдя в частотную область, с учетом (27) получаем равенство:

(28)

Таким образом, спектральная плотность вещественного сигнала обладает симметрией относительно нулевой частоты.

Для вещественного сигнала выражение (24) с учетом q(t) = 0 можно представить:

(29)

и спектральная плотность (23) вещественного сигнала a(t)

принимает вид:

(30)

Тогда $I_c(\omega) = \operatorname{Re}\big[ A(\omega) \big]$ определяет реальную часть спектральной плотности и является четной функцией частоты, а $I_s(\omega) = -\operatorname{Im}\big[ A(\omega) \big]$ — мнимая часть спектральной плотности является нечетной функцией частоты.

Амплитудно- и фазочастотная характеристики сигнала

По аналогии с понятиями амплитудного и фазового спектра периодического сигнала можно ввести понятия амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристики сигнала:

(31)

Тогда, в случае вещественного сигнала, с учетом свойств симметрии спектральной плотности (28), можно заключить, что АЧХ является четной функцией частоты $|S(\omega)| = |S(-\omega)|$ , а ФЧХ — нечетной: $\Phi_S(\omega) = -\Phi_S(-\omega)$ .

Свойство симметрии наглядно показано на рисунке 1 для одностороннего экспоненциального импульса.

Рисунок 1. Симметрия АЧХ и ФЧХ экспоненциального импульса:
а — сигнал во времени; б — АЧХ (сплошная) и ФЧХ (пунктирная)

Двойственность преобразования Фурье

Пусть сигнал s(t) имеет спектральную плотность $S(\omega)$ . Рассмотрим что произойдет, если мы возьмем преобразование Фурье от спектральной плотности $S(\omega)$ :

(32)

Обратите внимание, интегрирование идет по переменной $\omega$ , хотя выражение (32) представляет собой прямое преобразование Фурье. Тогда можно переписать:

(33)

Можно сделать вывод, что преобразование Фурье от спектральной плотности снова возвращает сигнал, инверсный во времени, умноженный на $2 \pi$ . Это свойство носит название двойственности (дуальности) преобразования Фурье.

Двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временного так и для частотного представления одновременно. Внимательный читатель уже мог отметить схожесть формулировок свойств преобразования Фурье. Так свертка сигналов во времени приводит к произведению спектральных плотностей, в то время как произведение сигналов во времени приводит к свертке в частотной области. Таким образом, свойство остается справедливым если в формулировке данного свойства поменять местами время и частоту.

При рассмотрении свойства временного сдвига мы получили, что спектральная плотность умножается на комплексную экспоненту. Тогда руководствуясь двойственностью преобразования Фурье можно предположить, что сдвиг спектральной плотности по частоте приведет к умножению сигнала на комплексную экспоненту во времени. Действительно, обратное преобразование от спектральной плотности $S(\omega - \omega_0)$ смещенной по частоте на величину $\omega_0$ , равно:

(34)

Вводя замену переменной $\omega -\omega_0 = \xi$ получаем $\omega = \xi+\omega_0$ , $d\xi = d\omega$ . Пределы интегрирования остаются неизменными, и выражение (34) принимает вид:

(35)

Как мы и предполагали, смещение спектральной плотности по частоте приводит к умножению сигнала на комплексную экспоненту.

Обратим внимание, что при смещении спектральной плотности вещественного сигнала s(t) по частоте, мы нарушаем симметрию $S(\omega)$ , и сигнал после умножения на комплексную экспоненту становится комплексным.

Продолжая рассмотрение двойственности преобразования Фурье, мы можем легко сформулировать требования к сигналу, при котором его спектральная плотность будет вещественной.

Мы говорили, что спектральная плотность $S(\omega)$ вещественного сигнала s(t) является симметричной относительно нулевой частоты: $S(\omega)= S^*(-\omega)$ . Тогда мы можем переформулировать это свойство и в другую сторону: если сигнал s(t) (в общем случае комплексный) обладает свойством симметрии во временной области: s(t) = s^*(-t) , то его спектральная плотность $S(\omega)$ чисто вещественна.

Для доказательства данного утверждения представим сигнал в виде s(t) = i(t) + jq(t) . Тогда s^*(-t) = i(-t) - j q(-t) . Если выполняется условие симметрии s(t) = s^*(-t) , то:

(36)

Тогда с учетом выражения (23) и (24), мнимая часть спектральной плотности равна:

(37)

где

(38)

Заметим, что (38) представляет собой интегралы в бесконечных симметричных пределах от произведения четной и нечетной функции (четность i(t)

и нечетность q(t)

мы установили выше). Тогда можно заключить, что оба интеграла (38) равны нулю, и мнимая часть спектральной плотности $S(\omega)$ , симметричного во времени сигнала s(t) = s^*(-t)

, также равна нулю согласно (37). Что и требовалось доказать.

Убывание спектральной плотности сигнала по частоте

Мы уже отмечали тот факт, что дифференцирование сигнала s(t) приводит к умножению спектральной плотности $S(\omega)$ на $j \omega$ , т.е. спектральная плотность производной сигнала убывает медленнее с ростом частоты, чем спектральная плотность $S(\omega)$ исходного сигнала. При интегрировании сигнала s(t) — наоборот, спектральная плотность делится на $j \omega$ и убывает быстрее $S(\omega)$ исходного сигнала.

Таким образом, можно предположить, что скорость убывания спектральной плотности $S(\omega)$ зависит от степени гладкости исходного сигнала s(t) и наша цель установить данную зависимость.

Прежде всего, нам потребуется обратиться к лемме Римана-Лебега.

Лемма (Римана-Лебега). Преобразование Фурье $S(\omega)$ абсолютно-интегрируемой функции s(t) является ограниченной функцией частоты $\omega$ , при этом $S(\omega)$ стремится к нулю при $\omega \to \infty$ .

Доказательство данной леммы приведено в [3, стр. 83–84]. Лемма Римана-Лебега доказывает качественное свойство убывания спектральной плотности абсолютно-интегрируемого сигнала с ростом частоты $\omega$ , но не дает количественной оценки скорости убывания $S(\omega)$ .

Пусть исходный сигнал s(t) является непрерывной, абсолютно-интегрируемой функцией времени, которая может быть дифференцируема раз, причем все первых производных также будут представлять собой абсолютно-интегрируемые функции. Тогда производную порядка сигнала s(t) можно обозначить как $a(t) = s^{(k)}(t) = \frac{d^k}{dt^k} s(t)$ . Если все первых производных являются абсолютно-интегрируемыми, то мы можем перейти в частотную область и согласно свойству преобразования Фурье, спектральная плотность a(t) равна:

(39)

откуда $S(\omega) = A(\omega) / (j \omega)^k$ . Таким образом, можно заключить, что спектральная плотность $S(\omega)$ убывает быстрее чем $1/\omega^k$ , если сигнал s(t)

может быть

раз дифференцируем.

Если сигнал s(t) является бесконечно дифференцируемым, например гауссов импульс $s(t) = \exp \left(-t^2 \right)$ , то скорость убывания его спектральной плотности носит экспоненциальный характер, что выше любой конечной степени $1/\omega^k$ .

Наличие в сигнале разрыва первого рода (например скачка в прямоугольном импульсе) приводит к убыванию спектральной плотности со скоростью $\frac{1}{\omega}$ с ростом частоты.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства преобразования Фурье.

В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Спектральные плотности некоторых сигналов

Примечания

[1] Преобразование Фурье представляет собой интеграл в бесконечных пределах. Применение правила интегрирования по частям возможно [1, стр. 374] при соблюдении условия сходимости выражения (17), которое обеспечивается при непрерывном a(t) .

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[3] Хургин, Я.И., Яковлев, В.П. Финитные функции в физике и технике. Москва, Наука, 1971, 408 с.

[4] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[5] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[6] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:58)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14