Свойства преобразования Фурье

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Свойство линейности

Пусть даны непериодические сигналы и , а также их спектральные плотности и соответственно. Везде далее мы будем предполагать, что и  — абсолютно интегрируемые сигналы, тогда преобразование Фурье сигнала равно

(1)

Следствием является свойство умножения на константу :

(2)

Свойство временного сдвига

Рассмотрим сигнал как результат временного сдвига исходного сигнала на произвольную величину . Тогда преобразование Фурье сигнала имеет вид:

(3)
Введем замену переменной , тогда и . При любом конечном пределы интегрирования не меняются и спектральная плотность равна:
(4)

Таким образом, задержка сигнала во времени приводит к изменению фазы его спектральной плотности без изменения амплитуды.

Преобразование Фурье свертки сигналов

Пусть сигнал представляет собой свертку сигналов и :

(5)
Тогда спектральная плотность сигнала равна:
(6)

Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:

(7)

Таким образом, спектральная плотность свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.

Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.

Преобразование Фурье произведения сигналов

Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и . Преобразование Фурье сигнала равно:

(8)

Подставим в (8) вместо сигнала обратное преобразование Фурье его спектральной плотности :

(9)

Поменяем в (9) операции интегрирования и получим:

(10)
Тогда окончательно преобразование Фурье произведения сигналов
(11)
пропорционально свертке спектральных плотностей этих сигналов.

Масштабирование и инверсия во времени

Пусть сигнал представляет собой масштабированный во времени сигнал ,  — вещественная константа, отличная от нуля.

Тогда преобразование Фурье сигнала равно:

(12)
Введем в выражении (12) замену переменной , тогда , . При этом пределы интегрирования при положительном не меняются: , откуда , и аналогично . Тогда (12) принимает вид:
(13)
При отрицательном , помимо масштабирования имеет место инверсия сигнала во времени. Тогда вводя замену переменной в (12), пределы интегрирования при также меняются: , и аналогично , откуда . В результате при получаем:
(14)
Знак минус в выражении (14) появился в результате перестановки нижнего и верхнего пределов интегрирования. Объединяя выражения (13) и (14), для любого вещественного можно записать:
(15)
Следствием (15) является свойство преобразования Фурье инверсного во времени сигнала при :
(16)
Временна́я инверсия сигнала приводит к частотной инверсии его спектральной плотности.

Преобразование Фурье производной исходного сигнала

Пусть сигнал представляет собой непрерывный на всей числовой оси абсолютно интегрируемый сигнал, чья спектральная плотность равна . Тогда сигнал также является абсолютно интегрируемым, и его преобразование Фурье равно:

(17)

Используем правило интегрирования по частям[1] [2, стр. 330]:

(18)
Учтем, что модуль комплексной экспоненты равен единице, а сигнал является абсолютно интегрируемым, т.е. . Тогда два первых слагаемых выражения (18) равны нулю, и окончательно можно записать:
(19)

Таким образом, спектральная плотность производной сигнала равна спектральной плотности этого сигнала, умноженной на .

Как и в случае с периодическими сигналами, наличие множителя приводит к тому, что с ростом частоты затухает слабее чем спектральная плотность исходного сигнала . Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным, тогда его спектральная плотность будет затухать быстрее чем , и умножение на не приведет к росту с увеличением частоты, т.е. обеспечит сходимость (17).

Свойство интегрирования исходного сигнала

Пусть теперь представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектральная плотность сигнала равна нулю при .

Тогда сигнал

(20)
представляет собой выход интегратора при входном сигнале .

Обратим внимание, что при , сигнал  является абсолютно интегрируемым.

Рассмотрим спектральную плотность сигнала . Для этого заметим, что сигнал ничто иное, как производная сигнала . Тогда используя свойство преобразования Фурье производной сигнала (19) можно записать:

(21)

При , спектральная плотность рассчитывается без особого труда. Однако на частоте получаем неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя [2, стр. 257] по аналогии со свойством ряда Фурье приводит к окончательному выражению вида:

(22)

Анализируя (22) можно заключить, что интегрирование сигнала устраняет разрывы и приводит к более быстрому затуханию спектральной плотности, ввиду наличия дополнительного множителя .

Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала

Пусть исходный сигнал представляет собой комплексный абсолютно интегрируемый сигнал, где  — синфазная и  — квадратурная компоненты. Рассмотрим преобразование Фурье , используя формулу Эйлера представления комплексных экспонент:

(23)
где , , и  — соответствующее значение каждого из четырех интегралов. Заметим, что справедливы следующие равенства:
(24)

Рассмотрим теперь преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала :

(25)
Учтем свойство (24), тогда:
(26)
и сравнивая с (23) можно заключить, что:
(27)

Таким образом, спектральная плотность комплексно-сопряженного сигнала равна инверсной по частоте комплексно-сопряженной спектральной плотности исходного сигнала.

Важным следствием (27) является свойство симметрии спектральной плотности вещественного сигнала.

Пусть имеется вещественный сигнал , чья спектральная плотность равна . Поскольку сигнал вещественный, то комплексное сопряжение его не меняет, т.е. . Перейдя в частотную область, с учетом (27) получаем равенство:

(28)
Таким образом, спектральная плотность вещественного сигнала обладает симметрией относительно нулевой частоты.

Для вещественного сигнала выражение (24) с учетом можно представить:

(29)
и спектральная плотность (23) вещественного сигнала принимает вид:
(30)

Тогда определяет реальную часть спектральной плотности и является четной функцией частоты, а  — мнимая часть спектральной плотности является нечетной функцией частоты.

Амплитудно- и фазочастотная характеристики сигнала

По аналогии с понятиями амплитудного и фазового спектра периодического сигнала можно ввести понятия амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристики сигнала:

(31)

Тогда, в случае вещественного сигнала, с учетом свойств симметрии спектральной плотности (28), можно заключить, что АЧХ является четной функцией частоты , а ФЧХ — нечетной: .

Свойство симметрии наглядно показано на рисунке 1 для одностороннего экспоненциального импульса.

Симметрия АЧХ и ФЧХ экспоненциального импульса: 
	а — сигнал во времени;
	б — АЧХ (сплошная) и ФЧХ (пунктирная)
Рисунок 1. Симметрия АЧХ и ФЧХ экспоненциального импульса:
а — сигнал во времени; б — АЧХ (сплошная) и ФЧХ (пунктирная)

Двойственность преобразования Фурье

Пусть сигнал имеет спектральную плотность . Рассмотрим что произойдет, если мы возьмем преобразование Фурье от спектральной плотности :

(32)

Обратите внимание, интегрирование идет по переменной , хотя выражение (32) представляет собой прямое преобразование Фурье. Тогда можно переписать:

(33)

Можно сделать вывод, что преобразование Фурье от спектральной плотности снова возвращает сигнал, инверсный во времени, умноженный на . Это свойство носит название двойственности (дуальности) преобразования Фурье.

Двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временного так и для частотного представления одновременно. Внимательный читатель уже мог отметить схожесть формулировок свойств преобразования Фурье. Так свертка сигналов во времени приводит к произведению спектральных плотностей, в то время как произведение сигналов во времени приводит к свертке в частотной области. Таким образом, свойство остается справедливым если в формулировке данного свойства поменять местами время и частоту.

При рассмотрении свойства временного сдвига мы получили, что спектральная плотность умножается на комплексную экспоненту. Тогда руководствуясь двойственностью преобразования Фурье можно предположить, что сдвиг спектральной плотности по частоте приведет к умножению сигнала на комплексную экспоненту во времени. Действительно, обратное преобразование от спектральной плотности смещенной по частоте на величину , равно:

(34)

Вводя замену переменной получаем , . Пределы интегрирования остаются неизменными, и выражение (34) принимает вид:

(35)
Как мы и предполагали, смещение спектральной плотности по частоте приводит к умножению сигнала на комплексную экспоненту.

Обратим внимание, что при смещении спектральной плотности вещественного сигнала по частоте, мы нарушаем симметрию , и сигнал после умножения на комплексную экспоненту становится комплексным.

Продолжая рассмотрение двойственности преобразования Фурье, мы можем легко сформулировать требования к сигналу, при котором его спектральная плотность будет вещественной.

Мы говорили, что спектральная плотность вещественного сигнала  является симметричной относительно нулевой частоты: . Тогда мы можем переформулировать это свойство и в другую сторону: если сигнал (в общем случае комплексный) обладает свойством симметрии во временной области: , то его спектральная плотность чисто вещественна.

Для доказательства данного утверждения представим сигнал в виде . Тогда . Если выполняется условие симметрии , то:

(36)

Тогда с учетом выражения (23) и (24), мнимая часть спектральной плотности равна:

(37)
где
(38)

Заметим, что (38) представляет собой интегралы в бесконечных симметричных пределах от произведения четной и нечетной функции (четность и нечетность мы установили выше). Тогда можно заключить, что оба интеграла (38) равны нулю, и мнимая часть спектральной плотности , симметричного во времени сигнала , также равна нулю согласно (37). Что и требовалось доказать.

Убывание спектральной плотности сигнала по частоте

Мы уже отмечали тот факт, что дифференцирование сигнала приводит к умножению спектральной плотности на , т.е. спектральная плотность производной сигнала убывает медленнее с ростом частоты, чем спектральная плотность исходного сигнала. При интегрировании сигнала  — наоборот, спектральная плотность делится на и убывает быстрее исходного сигнала.

Таким образом, можно предположить, что скорость убывания спектральной плотности зависит от степени гладкости исходного сигнала  и наша цель установить данную зависимость.

Прежде всего, нам потребуется обратиться к лемме Римана-Лебега.

Лемма (Римана-Лебега). Преобразование Фурье абсолютно-интегрируемой функции является ограниченной функцией частоты , при этом стремится к нулю при .

Доказательство данной леммы приведено в [3, стр. 83–84]. Лемма Римана-Лебега доказывает качественное свойство убывания спектральной плотности абсолютно-интегрируемого сигнала с ростом частоты , но не дает количественной оценки скорости убывания .

Пусть исходный сигнал является непрерывной, абсолютно-интегрируемой функцией времени, которая может быть дифференцируема  раз, причем все  первых производных также будут представлять собой абсолютно-интегрируемые функции. Тогда производную порядка сигнала можно обозначить как . Если все первых производных являются абсолютно-интегрируемыми, то мы можем перейти в частотную область и согласно свойству преобразования Фурье, спектральная плотность равна:

(39)
откуда . Таким образом, можно заключить, что спектральная плотность убывает быстрее чем , если сигнал может быть раз дифференцируем.

Если сигнал является бесконечно дифференцируемым, например гауссов импульс , то скорость убывания его спектральной плотности носит экспоненциальный характер, что выше любой конечной степени .

Наличие в сигнале разрыва первого рода (например скачка в прямоугольном импульсе) приводит к убыванию спектральной плотности со скоростью с ростом частоты.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства преобразования Фурье.

В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.

странице обсуждения статьи

Смотри также
Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Спектральные плотности некоторых сигналов

Примечания

[1] Преобразование Фурье представляет собой интеграл в бесконечных пределах. Применение правила интегрирования по частям возможно [1, стр. 374] при соблюдении условия сходимости выражения (17), которое обеспечивается при непрерывном .

Список литературы
[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[3] Хургин, Я.И., Яковлев, В.П. Финитные функции в физике и технике. Москва, Наука, 1971, 408 с.

[4] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[5] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[6] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 22.10.2020 (19:59:41)