Свойства преобразования Фурье
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge |
Пусть даны непериодические сигналы и , а также их спектральные плотности и соответственно. Везде далее мы будем предполагать, что и — абсолютно интегрируемые сигналы, тогда преобразование Фурье сигнала равно
Рассмотрим сигнал как результат временного сдвига исходного сигнала на произвольную величину . Тогда преобразование Фурье сигнала имеет вид:
Пусть сигнал представляет собой свертку сигналов и :
Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.
Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и . Преобразование Фурье сигнала равно:
Пусть сигнал представляет собой масштабированный во времени сигнал , — вещественная константа, отличная от нуля.
Тогда преобразование Фурье сигнала равно:
Пусть сигнал представляет собой непрерывный на всей числовой оси абсолютно интегрируемый сигнал, чья спектральная плотность равна . Тогда сигнал также является абсолютно интегрируемым, и его преобразование Фурье равно:
Как и в случае с периодическими сигналами, наличие множителя приводит к тому, что с ростом частоты затухает слабее чем спектральная плотность исходного сигнала . Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным, тогда его спектральная плотность будет затухать быстрее чем , и умножение на не приведет к росту с увеличением частоты, т.е. обеспечит сходимость (17).
Пусть теперь представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектральная плотность сигнала равна нулю при .
Тогда сигнал
Обратим внимание, что при , сигнал является абсолютно интегрируемым.
Рассмотрим спектральную плотность сигнала . Для этого заметим, что сигнал ничто иное, как производная сигнала . Тогда используя свойство преобразования Фурье производной сигнала (19) можно записать:
При , спектральная плотность рассчитывается без особого труда. Однако на частоте получаем неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя [2, стр. 257] по аналогии со свойством ряда Фурье
приводит к окончательному выражению вида:
Пусть исходный сигнал представляет собой комплексный абсолютно интегрируемый сигнал, где — синфазная и — квадратурная компоненты. Рассмотрим преобразование Фурье , используя формулу Эйлера представления комплексных экспонент:
Важным следствием (27) является свойство симметрии спектральной плотности вещественного сигнала.
Пусть имеется вещественный сигнал , чья спектральная плотность равна . Поскольку сигнал вещественный, то комплексное сопряжение его не меняет, т.е. . Перейдя в частотную область, с учетом (27) получаем равенство:
Для вещественного сигнала выражение (24) с учетом можно представить:
По аналогии с понятиями амплитудного и фазового спектра периодического сигнала можно ввести понятия амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристики сигнала:
Свойство симметрии наглядно показано на рисунке 1 для одностороннего экспоненциального импульса.
Пусть сигнал имеет спектральную плотность . Рассмотрим что произойдет, если мы возьмем преобразование Фурье от спектральной плотности :
Двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временного так и для частотного представления одновременно. Внимательный читатель уже мог отметить схожесть формулировок свойств преобразования Фурье. Так свертка сигналов во времени приводит к произведению спектральных плотностей, в то время как произведение сигналов во времени приводит к свертке в частотной области. Таким образом, свойство остается справедливым если в формулировке данного свойства поменять местами время и частоту.
При рассмотрении свойства временного сдвига мы получили, что спектральная плотность умножается на комплексную экспоненту. Тогда руководствуясь двойственностью преобразования Фурье можно предположить, что сдвиг спектральной плотности по частоте приведет к умножению сигнала на комплексную экспоненту во времени. Действительно, обратное преобразование от спектральной плотности смещенной по частоте на величину , равно:
Обратим внимание, что при смещении спектральной плотности вещественного сигнала по частоте, мы нарушаем симметрию , и сигнал после умножения на комплексную экспоненту становится комплексным.
Продолжая рассмотрение двойственности преобразования Фурье, мы можем легко сформулировать требования к сигналу, при котором его спектральная плотность будет вещественной.
Мы говорили, что спектральная плотность вещественного сигнала является симметричной относительно нулевой частоты: . Тогда мы можем переформулировать это свойство и в другую сторону: если сигнал (в общем случае комплексный) обладает свойством симметрии во временной области: , то его спектральная плотность чисто вещественна.
Для доказательства данного утверждения представим сигнал в виде . Тогда . Если выполняется условие симметрии , то:
Мы уже отмечали тот факт, что дифференцирование сигнала приводит к умножению спектральной плотности на , т.е. спектральная плотность производной сигнала убывает медленнее с ростом частоты, чем спектральная плотность исходного сигнала. При интегрировании сигнала — наоборот, спектральная плотность делится на и убывает быстрее исходного сигнала.
Таким образом, можно предположить, что скорость убывания спектральной плотности зависит от степени гладкости исходного сигнала и наша цель установить данную зависимость.
Прежде всего, нам потребуется обратиться к лемме Римана-Лебега.
Лемма (Римана-Лебега). Преобразование Фурье абсолютно-интегрируемой функции является ограниченной функцией частоты , при этом стремится к нулю при .
Доказательство данной леммы приведено в [3, стр. 83–84]. Лемма Римана-Лебега доказывает качественное свойство убывания спектральной плотности абсолютно-интегрируемого сигнала с ростом частоты , но не дает количественной оценки скорости убывания .
Пусть исходный сигнал является непрерывной, абсолютно-интегрируемой функцией времени, которая может быть дифференцируема раз, причем все первых производных также будут представлять собой абсолютно-интегрируемые функции. Тогда производную порядка сигнала можно обозначить как . Если все первых производных являются абсолютно-интегрируемыми, то мы можем перейти в частотную область и согласно свойству преобразования Фурье, спектральная плотность равна:
Если сигнал является бесконечно дифференцируемым, например гауссов импульс , то скорость убывания его спектральной плотности носит экспоненциальный характер, что выше любой конечной степени .
Наличие в сигнале разрыва первого рода (например скачка в прямоугольном импульсе) приводит к убыванию спектральной плотности со скоростью с ростом частоты.
В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства преобразования Фурье.
В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Спектральные плотности некоторых сигналов
[1] Преобразование Фурье представляет собой интеграл в бесконечных пределах. Применение правила интегрирования по частям возможно [1, стр. 374] при соблюдении условия сходимости выражения (17), которое обеспечивается при непрерывном .