Свойства преобразования Фурье

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Свойство линейности

Пусть даны непериодические сигналы a(t) и b(t), а также их спектральные плотности A(\omega) и B(\omega) соответственно. Везде далее мы будем предполагать, что a(t) и b(t) — абсолютно интегрируемые сигналы, тогда преобразование Фурье сигнала s(t) = a(t) + b(t) равно

equation 1
(1)
Следствием является свойство умножения на константу \alpha:

equation 2
(2)

Свойство временного сдвига

Рассмотрим сигнал s(t) = a(t - \tau) как результат временного сдвига исходного сигнала a(t) на произвольную величину \tau. Тогда преобразование Фурье сигнала s(t) имеет вид:

equation 3
(3)
Введем замену переменной \xi = t - \tau, тогда t = \xi + \tau и dt = d \tau. При любом конечном \tau пределы интегрирования не меняются и спектральная плотность S(\omega) равна:

equation 4
(4)
Таким образом, задержка сигнала во времени приводит к изменению фазы его спектральной плотности без изменения амплитуды.

Преобразование Фурье свертки сигналов

Пусть сигнал s(t) представляет собой свертку сигналов a(t) и b(t):

equation 5
(5)
Тогда спектральная плотность сигнала s(t) равна:

equation 6
(6)
Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:
equation 7
(7)
Таким образом, спектральная плотность S(\omega) свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.

Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.

Преобразование Фурье произведения сигналов

Пусть сигнал s(t) = a(t) b(t) представляет собой произведение сигналов a(t) и b(t). Преобразование Фурье сигнала s(t) равно:

equation 8
(8)
Подставим в (8) вместо сигнала a(t) обратное преобразование Фурье его спектральной плотности A(\omega):

equation 9
(9)
Поменяем в (9) операции интегрирования и получим:

equation 10
(10)
Тогда окончательно преобразование Фурье произведения сигналов

equation 11
(11)
пропорционально свертке спектральных плотностей этих сигналов.

Масштабирование и инверсия во времени

Пусть сигнал s(t) = a(\alpha t) представляет собой масштабированный во времени сигнал a(t), \alpha — вещественная константа, отличная от нуля.

Тогда преобразование Фурье сигнала s(t) равно:

equation 12
(12)
Введем в выражении (12) замену переменной \alpha t = \xi, тогда t = \frac{\xi}{\alpha}, dt  = \frac{d\xi}{\alpha}. При этом пределы интегрирования при положительном \alpha не меняются: \frac{\xi}{\alpha} = \infty, откуда \xi = \infty, и аналогично \frac{\xi}{\alpha} = -\infty \Rightarrow \xi = -\infty. Тогда (12) принимает вид:
equation 13
(13)
При отрицательном \alpha < 0, помимо масштабирования имеет место инверсия сигнала во времени. Тогда вводя замену переменной в (12), пределы интегрирования при \alpha<0 также меняются: \frac{\xi}{\alpha} = \infty\xi = -\infty, и аналогично \frac{\xi}{\alpha} = -\infty, откуда \xi = \infty. В результате при \alpha<0 получаем:
equation 14
(14)
Знак минус в выражении (14) появился в результате перестановки нижнего и верхнего пределов интегрирования. Объединяя выражения (13) и (14), для любого вещественного \alpha \neq 0 можно записать:
equation 15
(15)
Следствием (15) является свойство преобразования Фурье инверсного во времени сигнала при \alpha = -1:
equation 16
(16)
Временна́я инверсия сигнала приводит к частотной инверсии его спектральной плотности.

Преобразование Фурье производной исходного сигнала

Пусть сигнал a(t) представляет собой непрерывный на всей числовой оси абсолютно интегрируемый сигнал, чья спектральная плотность равна A(\omega). Тогда сигнал s(t) = \frac{d}{dt}a(t) также является абсолютно интегрируемым, и его преобразование Фурье равно:

equation 17
(17)
Используем правило интегрирования по частям[1] [2, стр. 330]:
equation 18
(18)
Учтем, что модуль комплексной экспоненты равен единице, а сигнал a(t) является абсолютно интегрируемым, т.е. a(\infty) = a(-\infty) = 0. Тогда два первых слагаемых выражения (18) равны нулю, и окончательно можно записать:

equation 19
(19)
Таким образом, спектральная плотность производной сигнала a(t) равна спектральной плотности этого сигнала, умноженной на j\omega.

Как и в случае с периодическими сигналами, наличие множителя j\omega приводит к тому, что S(\omega) с ростом частоты \omega затухает слабее чем спектральная плотность исходного сигнала A(\omega). Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным, тогда его спектральная плотность A(\omega) будет затухать быстрее чем \frac{1}{\omega}, и умножение на j\omega не приведет к росту S(\omega) с увеличением частоты, т.е. обеспечит сходимость (17).

Свойство интегрирования исходного сигнала

Пусть теперь a(t) представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектральная плотность A(\omega) сигнала a(t) равна нулю при \omega = 0.

Тогда сигнал s(t)

equation 20
(20)
представляет собой выход интегратора при входном сигнале a(t).

Обратим внимание, что при A(0) = 0, сигнал s(t) является абсолютно интегрируемым.

Рассмотрим спектральную плотность S(\omega) сигнала s(t). Для этого заметим, что сигнал a(t) = \frac{d}{dt} s(t) ничто иное, как производная сигнала s(t). Тогда используя свойство преобразования Фурье производной сигнала (19) можно записать:

equation 21
(21)

При \omega \neq 0, спектральная плотность S(\omega) рассчитывается без особого труда. Однако на частоте \omega = 0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}, раскрытие которой по правилу Лопиталя [2, стр. 257] по аналогии со свойством ряда Фурье

приводит к окончательному выражению вида:

equation 22
(22)
Анализируя (22) можно заключить, что интегрирование сигнала устраняет разрывы и приводит к более быстрому затуханию спектральной плотности, ввиду наличия дополнительного множителя \frac{1}{j\omega}.

Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала

Пусть исходный сигнал a(t) = i(t) + jq(t) представляет собой комплексный абсолютно интегрируемый сигнал, где i(t) = \operatorname{Re}[a(t)] — синфазная и q(t) = \operatorname{Im}[a(t)] — квадратурная компоненты. Рассмотрим преобразование Фурье A(\omega) = \mathcal{F}[a(t)], используя формулу Эйлера представления комплексных экспонент:

equation 23
(23)
где I_c(\omega), Q_s(\omega), Q_c(\omega) и I_s(\omega) — соответствующее значение каждого из четырех интегралов. Заметим, что справедливы следующие равенства:

equation 24
(24)
Рассмотрим теперь преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала s(t) = a^*(t) = i(t) - j q(t):
equation 25
(25)
Учтем свойство (24), тогда:

equation 26
(26)
и сравнивая с (23) можно заключить, что:

equation 27
(27)
Таким образом, спектральная плотность комплексно-сопряженного сигнала равна инверсной по частоте комплексно-сопряженной спектральной плотности исходного сигнала.

Важным следствием (27) является свойство симметрии спектральной плотности вещественного сигнала.

Пусть имеется вещественный сигнал a(t), чья спектральная плотность равна A(\omega). Поскольку сигнал a(t) вещественный, то комплексное сопряжение его не меняет, т.е. a(t) = a^*(t). Перейдя в частотную область, с учетом (27) получаем равенство:

equation 28
(28)
Таким образом, спектральная плотность вещественного сигнала обладает симметрией относительно нулевой частоты.

Для вещественного сигнала выражение (24) с учетом q(t) = 0 можно представить:

equation 29
(29)
и спектральная плотность (23) вещественного сигнала a(t) принимает вид:

equation 30
(30)
Тогда I_c(\omega) = \operatorname{Re}\big[ A(\omega) \big] определяет реальную часть спектральной плотности и является четной функцией частоты, а I_s(\omega) = -\operatorname{Im}\big[ A(\omega) \big] — мнимая часть спектральной плотности является нечетной функцией частоты.

Амплитудно- и фазочастотная характеристики сигнала

По аналогии с понятиями амплитудного и фазового спектра периодического сигнала можно ввести понятия амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристики сигнала:

equation 31
(31)
Тогда, в случае вещественного сигнала, с учетом свойств симметрии спектральной плотности (28), можно заключить, что АЧХ является четной функцией частоты |S(\omega)| = |S(-\omega)|, а ФЧХ — нечетной: \Phi_S(\omega) = -\Phi_S(-\omega).

Свойство симметрии наглядно показано на рисунке 1 для одностороннего экспоненциального импульса.

Симметрия АЧХ и ФЧХ экспоненциального импульса: 
	а — сигнал во времени;
	б — АЧХ (сплошная) и ФЧХ (пунктирная)
Рисунок 1. Симметрия АЧХ и ФЧХ экспоненциального импульса:
а — сигнал во времени; б — АЧХ (сплошная) и ФЧХ (пунктирная)

Двойственность преобразования Фурье

Пусть сигнал s(t) имеет спектральную плотность S(\omega). Рассмотрим что произойдет, если мы возьмем преобразование Фурье от спектральной плотности S(\omega):

equation 32
(32)
Обратите внимание, интегрирование идет по переменной \omega, хотя выражение (32) представляет собой прямое преобразование Фурье. Тогда можно переписать:

equation 33
(33)
Можно сделать вывод, что преобразование Фурье от спектральной плотности снова возвращает сигнал, инверсный во времени, умноженный на 2 \pi. Это свойство носит название двойственности (дуальности) преобразования Фурье.

Двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временного так и для частотного представления одновременно. Внимательный читатель уже мог отметить схожесть формулировок свойств преобразования Фурье. Так свертка сигналов во времени приводит к произведению спектральных плотностей, в то время как произведение сигналов во времени приводит к свертке в частотной области. Таким образом, свойство остается справедливым если в формулировке данного свойства поменять местами время и частоту.

При рассмотрении свойства временного сдвига мы получили, что спектральная плотность умножается на комплексную экспоненту. Тогда руководствуясь двойственностью преобразования Фурье можно предположить, что сдвиг спектральной плотности по частоте приведет к умножению сигнала на комплексную экспоненту во времени. Действительно, обратное преобразование от спектральной плотности S(\omega - \omega_0) смещенной по частоте на величину \omega_0, равно:

equation 34
(34)
Вводя замену переменной \omega -\omega_0 = \xi получаем \omega = \xi+\omega_0, d\xi = d\omega. Пределы интегрирования остаются неизменными, и выражение (34) принимает вид:
equation 35
(35)
Как мы и предполагали, смещение спектральной плотности по частоте приводит к умножению сигнала на комплексную экспоненту.

Обратим внимание, что при смещении спектральной плотности вещественного сигнала s(t) по частоте, мы нарушаем симметрию S(\omega), и сигнал после умножения на комплексную экспоненту становится комплексным.

Продолжая рассмотрение двойственности преобразования Фурье, мы можем легко сформулировать требования к сигналу, при котором его спектральная плотность будет вещественной.

Мы говорили, что спектральная плотность S(\omega) вещественного сигнала s(t) является симметричной относительно нулевой частоты: S(\omega)= S^*(-\omega). Тогда мы можем переформулировать это свойство и в другую сторону: если сигнал s(t) (в общем случае комплексный) обладает свойством симметрии во временной области: s(t) = s^*(-t), то его спектральная плотность S(\omega) чисто вещественна.

Для доказательства данного утверждения представим сигнал в виде s(t) = i(t) + jq(t). Тогда s^*(-t) = i(-t) - j q(-t). Если выполняется условие симметрии s(t) = s^*(-t), то:

equation 36
(36)
Тогда с учетом выражения (23) и (24), мнимая часть спектральной плотности равна:
equation 37
(37)
где
equation 38
(38)
Заметим, что (38) представляет собой интегралы в бесконечных симметричных пределах от произведения четной и нечетной функции (четность i(t) и нечетность q(t) мы установили выше). Тогда можно заключить, что оба интеграла (38) равны нулю, и мнимая часть спектральной плотности S(\omega), симметричного во времени сигнала s(t) = s^*(-t), также равна нулю согласно (37). Что и требовалось доказать.

Убывание спектральной плотности сигнала по частоте

Мы уже отмечали тот факт, что дифференцирование сигнала s(t) приводит к умножению спектральной плотности S(\omega) на j \omega, т.е. спектральная плотность производной сигнала убывает медленнее с ростом частоты, чем спектральная плотность S(\omega) исходного сигнала. При интегрировании сигнала s(t) — наоборот, спектральная плотность делится на j \omega и убывает быстрее S(\omega) исходного сигнала.

Таким образом, можно предположить, что скорость убывания спектральной плотности S(\omega) зависит от степени гладкости исходного сигнала s(t) и наша цель установить данную зависимость.

Прежде всего, нам потребуется обратиться к лемме Римана-Лебега.

Лемма (Римана-Лебега). Преобразование Фурье S(\omega) абсолютно-интегрируемой функции s(t) является ограниченной функцией частоты \omega, при этом S(\omega) стремится к нулю при \omega \to \infty.

Доказательство данной леммы приведено в [3, стр. 83–84]. Лемма Римана-Лебега доказывает качественное свойство убывания спектральной плотности абсолютно-интегрируемого сигнала с ростом частоты \omega, но не дает количественной оценки скорости убывания S(\omega).

Пусть исходный сигнал s(t) является непрерывной, абсолютно-интегрируемой функцией времени, которая может быть дифференцируема k раз, причем все k первых производных также будут представлять собой абсолютно-интегрируемые функции. Тогда производную порядка k сигнала s(t) можно обозначить как a(t) = s^{(k)}(t) = \frac{d^k}{dt^k} s(t). Если все k первых производных являются абсолютно-интегрируемыми, то мы можем перейти в частотную область и согласно свойству преобразования Фурье, спектральная плотность a(t) равна:

equation 39
(39)
откуда S(\omega) =  A(\omega) / (j \omega)^k. Таким образом, можно заключить, что спектральная плотность S(\omega) убывает быстрее чем 1/\omega^k, если сигнал s(t) может быть k раз дифференцируем.

Если сигнал s(t) является бесконечно дифференцируемым, например гауссов импульс s(t) = \exp \left(-t^2 \right), то скорость убывания его спектральной плотности носит экспоненциальный характер, что выше любой конечной степени 1/\omega^k.

Наличие в сигнале разрыва первого рода (например скачка в прямоугольном импульсе) приводит к убыванию спектральной плотности со скоростью \frac{1}{\omega} с ростом частоты.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства преобразования Фурье.

В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.

странице обсуждения статьи

Смотри также
Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Спектральные плотности некоторых сигналов

Примечания

[1] Преобразование Фурье представляет собой интеграл в бесконечных пределах. Применение правила интегрирования по частям возможно [1, стр. 374] при соблюдении условия сходимости выражения (17), которое обеспечивается при непрерывном a(t).

Список литературы
[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[3] Хургин, Я.И., Яковлев, В.П. Финитные функции в физике и технике. Москва, Наука, 1971, 408 с.

[4] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[5] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[6] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:20:21)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14