Преобразование Фурье непериодических сигналов

Содержание

Предельный переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье

Пояснения понятия спектральной плотности сигнала

Связь спектральной плотности непериодического сигнала и огибающей коэффициентов ряда Фурье

Условия существования преобразования Фурье

Выводы

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Предельный переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье

Использование периодических функций для представления периодических сигналов выглядит вполне логичным и позволяет перевести анализ в частотную область. Таким образом, мы можем заменить сигнал s(t) набором спектральных гармоник $S(\omega_n)$ , путем разложения в ряд Фурье:

Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830

(1)

где

— период повторения сигнала. Спектр $S(\omega_n)$ состоит из дискретных гармоник, равноотстоящих по частоте с шагом $\Delta \omega$ рад/с.

Однако, периодические функции могут быть использованы и для частотного представления непериодических сигналов. В данном разделе мы произведем переход от ряда Фурье (1) к интегральному преобразованию Фурье для непериодических сигналов s(t) .

Для начала рассмотрим, что будет происходить, если мы будем увеличивать период повторения периодического сигнала. На рисунке 1 показаны временные осциллограммы периодической последовательности прямоугольных импульсов s(t) , а также амплитудный спектр $|S(\omega_n)|$ , при различном периоде повторения T = 2 с, T = 4 с и T = 8 с, при амплитуде сигнала равной 2 В.

Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при увеличении периода повторения

Рисунок 1. Амплитудный спектр $|S(\omega_n)|$ периодической последовательности прямоугольных импульсов
при увеличении периода повторения

Из рисунка 1 видно, что при увеличении периода , гармоники спектра $S(\omega_n)$ приближаются друг к другу, потому что расстояние между гармониками $\Delta\omega$ обратно пропорционально периоду . Амплитуды гармоник при этом уменьшаются из-за уменьшения средней мощности сигнала на одном периоде повторения.

При увеличении периода повторения до бесконечности, периодический сигнал s(t) становится непериодическим, расстояние между гармониками $\Delta\omega$ уменьшатся до нуля (дискретные гармоники сольются в одну сплошную линию), а амплитуды гармоник уменьшатся до бесконечно-малых значений.

Подставим в уравнение (1) для сигнала s(t) выражение для коэффициентов ряда Фурье $S(\omega_n)$ :

(2)

Непериодический сигнал s(t)

можно получить как предельный переход периодического сигнала (2) при

стремящимся к бесконечности:

(3)

Учитывая, что $\Delta \omega = \frac{2 \pi}{T}$ , множитель $\frac{1}{T}$ переходит в бесконечно-малое приращение частоты:

(4)

Значения частот дискретных гармоник:

(5)

и (3) с учетом (4) и (5):

(6)

Сумма бесконечно-малых площадей, где $d\omega$ — основание прямоугольника переходит в интеграл, а $n\,d\omega$ переходит в непрерывную переменную $\omega$ :

(7)

Окончательно, из выражения (7) можно выделить пару интегральных преобразований Фурье для непериодического сигнала:

(8)

(9)

Уравнение (8) определяет прямое преобразование Фурье непериодического сигнала. Прямое преобразование Фурье обозначается оператором $\mathcal{F}[\bullet]$ , ставит в соответствие сигналу s(t)

непрерывную функцию частоты $S(\omega)$ , которая носит название спектральной плотности сигнала s(t)

Выражение (9) представляет собой обратное преобразование Фурье, которое обозначается оператором $\mathcal{F}^{-1}[\bullet]$ и позволяет восстановить сигнал s(t) по его спектральной плотности $S(\omega)$ .

В терминах частоты $f = \frac{\omega}{2\pi}$ , выраженной в Гц, с учетом $d\omega = 2\pi \,df$ , уравнения (8) и (9) принимают вид:

(10)

(11)

Пояснения понятия спектральной плотности сигнала

Часто спектральную плотность непериодического сигала s(t) называют спектром, что не совсем корректно, потому что $S(\omega)$ не определяет конечные амплитуды гармоник сигнала, как это было при разложении периодического сигнала в ряд Фурье, а задает распределение энергии сигнала по оси частот. Для пояснения отличия понятия спектра периодического сигнала от спектральной плотности непериодического сигнала рассмотрим следующую аналогию.

Пусть имеется стержень длины м, единичной площади S=1 м^2 , который состоит из N= 11 сегментов сплава меди и алюминия в различных пропорциях, как это показано на рисунке 2.

Стрежень состоящий из сегментов сплава меди и алюминия в различных пропорциях

Рисунок 2. Стрежень состоящий из N= 11

сегментов
сплава меди и алюминия в различных пропорциях

Каждый сегмент имеет постоянную плотность $\rho_n$ , где $n = 0 \ldots N-1$ , но различные сегменты имеют различную плотность. Масса стержня может быть представлена как сумма масс всех сегментов:

(12)

где

— конечные массы отдельных сегментов.

Также как стержень в приведенном примере состоит из отдельных сегментов конечных масс, так и периодический сигнал состоит из суммы дискретных гармоник конечной амплитуды, в соответствии с рядом Фурье.

Предположим теперь, что такой же стержень представляет собой непрерывно-меняющийся по длине сплав меди и алюминия, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Стрежень состоящий из непрерывного по длине
сплава меди и алюминия

Плотность такого стержня непрерывно уменьшается по длине. Тогда массу мы не можем представить как сумму конечных дискретных масс, а только как интеграл плотности $\rho(x)$ по длине стержня:

(13)

Другими словами, конечная масса

состоит из бесконечного числа бесконечно-малых масс $\rho(x)\, dx$ . Размерность плотности $\rho(x)$ при постоянной площади стержня S = 1 м^2

можно выразить в единицах кг/м.

Аналогично, спектральная плотность $S(\omega)$ непериодического сигнала s(t) есть непрерывная функция частоты $\omega$ . При этом каждой бесконечно-малой полосе $d\omega$ соответствует амплитуда $S(\omega)\, d\omega$ , по аналогии бесконечно-малых масс $\rho(x)\, dx$ из которых состоит полная масса стержня.

Единица измерения плотности $\rho(x)$ в приведенном примере кг/м, тогда единица измерения $S(\omega)$ равна сигнал/(единицу полосы), или В $\cdot$ с, если s(t) характеризует изменение напряжения. Таким образом, размерность спектральной плотности непериодического сигнала отличается от размерности спектра периодического сигнала и эти два термина отождествлять не следует.

Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле
1805–1859

Связь спектральной плотности непериодического сигнала и огибающей коэффициентов ряда Фурье

В предыдущем параграфе мы привели пояснения понятия спектральной плотности непериодического сигнала физической аналогией с плотностью непрерывного сплава двух металлов. Мы говорили, что спектральная плотность $S(\omega)$ непериодического сигнала s(t) представляет собой непрерывную функцию частоты $\omega$ . При этом каждой частоте $\omega$ соответствует бесконечно-малая амплитуда $S(\omega)\, d\omega$ , спектра сигнала.

И хотя физический смысл спектральной плотности отличается от физического смысла спектра периодического сигнала, равно как масса стержня отличается от плотности, но оба этих представления находятся в тесной связи друг с другом. Эту взаимосвязь спектра периодического сигнала и спектральной плотности мы проследим на примере одиночного импульса s(t) длительности $\tau$ и его периодических копий.

Пример одиночного импульса s(t) показан на рисунке 4 сплошной линией. Обратим внимание, что исходный импульс ограничен по длительности, т.е. s(t)=0 при $|t|>\frac{\tau}{2}$ .

Рисунок 4. Периодическое повторение одиночного импульса

Периодический сигнал s_п(t)

, показанный на рисунке 4 пунктиром, представляет собой бесконечную сумму копий сигнала s(t)

, сдвинутых друг относительно друга по времени на величину $T>\tau$ (чтобы импульсы не перекрывались во времени).

Преобразование Фурье $S(\omega)$ одиночного импульса s(t) равно:

(14)

Периодический сигнал s_п(t)

имеет дискретный спектр $S_п(\omega_n)$ , где $\omega_n = \frac{2\pi}{T}n$ , $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ , который равен:

(15)

Сравнивая (14) и (15) на фиксированной секте частот $\omega = \omega_n$ , можно заключить, что:

(16)

Таким образом, если периодический сигнал представляет собой повторенный импульс s(t)

длительности $\tau \leq T$ , то его спектр $S_п(\omega_n)$ на сетке частот $\omega_n$ равен значению спектральной плотности одиночного импульса $S(\omega_n)$ , деленного на период повторения

. При этом $\frac{1}{T}$ приводит размерность спектральной плотности к размерности спектра (равно как объем тела приводит размерность плотности к размерности массы тела).

Непрерывная по частоте спектральная плотность, деленная на период повторения $S(\omega)/T$ задает непрерывную огибающую дискретного спектра $S_п(\omega_n)$ , как это показано на рисунке 5 пунктирной линией.

Cпектральная плотность как непрерывная огибающая дискретного спектра

Рисунок 5. Cпектральная плотность $S(\omega)$ как непрерывная огибающая дискретного спектра $S_п(\omega_n)$

Забегая немного вперед, можем заметить, что периодическое повторение одиночного импульса привело к дискретизации непрерывной по частоте огибающей $S(\omega)/T$ и переходу к дискретному спектру $S_п(\omega_n)$ . Мы еще будем подробно рассматривать этот вопрос в следующих главах.

Условия существования преобразования Фурье

Мы осуществили передельный переход от периодического сигнала s(t) к непериодическому при устремлении периода повторения к бесконечности. При увеличении периода длительность сигнала не увеличивалась. Это можно видеть на рисунке 1, длительность импульса остается постоянной при увеличении периода повторения .

Таким образом мы можем утверждать, что преобразование Фурье (8) и (9) существует для всех ограниченных во времени сигналов s(t) , для которых выполняется условие Дирихле [1, стр. 165].

Представим теперь, что сигнал s(t) не является ограниченным во времени, но затухает настолько быстро, что выполняется условие:

(17)

Говорят, что s(t) — абсолютно интегрируемая функция времени [2, стр. 510], если выполняется (17).

Леонард Эйлер
1707–1783

Рисунок 6. График функции $s(t) = \exp\left(-t^2\right)$

В качестве примера абсолютно интегрируемой функции можно привести $s(t) = \exp\left(-t^2\right)$ , график которой показан на рисунке 6. Поскольку s(t) затухает достаточно быстро, то всегда найдется такое конечное , при котором ошибка представления в виде ряда Фурье функции s(t) на интервале (при отбрасывании «затухающих хвостов») будет меньше любой конечной величины. Другими словами, «затухающие хвосты» s(t) с ростом периода будут оказывать исчезающе слабое влияние.

Таким образом, функция s(t) может быть бесконечной, но носить затухающий характер, и при условии абсолютной интегрируемости функции s(t) , мы можем использовать преобразование Фурье для расчета ее спектральной плотности.

Можно заметить, что всякий ограниченный во времени сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле также является абсолютно интегрируемым.

Приведенные рассуждения не являются строгим математическим доказательством условий существования преобразования Фурье, а скорее дают интуитивно-понятное разъяснение (17). Строгое доказательство условий существования преобразования Фурье можно найти [1, стр. 199] или в [2, стр. 511].

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели предельных переход от периодического сигнала к непериодическому и получили выражения для прямого и обратного интегрального преобразования Фурье.

Мы отметили, что в отличии от спектра периодических сигналов, преобразование Фурье непериодического сигнала возвращает спектральную плотность сигнала, выраженную в единицах измерения сигнала, деленного на частоту. Были даны необходимые пояснения к понятию спектральной плотности.

Также были рассмотрены условия существования преобразования Фурье.

В следующих разделе мы рассмотрим свойства преобразования Фурье, a также спектральные плотности некоторых сигналов.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы

[1] Воробьев Н.Н. Теория рядов. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 408 с.

[2] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[3] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[4] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[5] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[6] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 20.01.2024 (19:25:23)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14