Дельта-функция Дирака и ее свойства

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Вводные замечания

При рассмотрении преобразования Фурье мы говорили, что условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала s(t):

equation 1
(1)
Данное ограничение существенно сужает класс функций, для которых может быть вычислено преобразование Фурье. Так например, постоянный сигнал s(t) =A=  \operatorname{const}, или гармоническое колебание s(t) = \cos(\omega_0 t), не являются абсолютно-интегрируемыми, поэтому мы не можем получить их спектральные плотности в рамках классической теории. Однако приведенные сигналы имеют огромное практическое значение и оставление их за бортом аппарата спектрального анализа являлось бы существенным тормозом развития радиотехники.

К счастью, в первой половине XX века в теоретической физике произошли большие перемены. Появилась теории относительности и квантовой механики, которые потребовали переосмыслить понятие функции в целом. В результате была разработана теория обобщенных функций, которые расширили область применения методов математического анализа, устранили некоторые неопределенности в физике, а также расширили применимость методов спектрального анализа на функции, для которых условие абсолютной интегрируемости не выполняется. Кроме того, использование аппарата обобщенных функций позволило сформулировать и обосновать переход от аналоговых непрерывных сигналов и систем к дискретным и цифровым.

Математическую теорию обобщенных функций можно найти в литературе [1, 2, 3, 4]. Нас будет особенно интересовать дельта-функция Дирака, свойства которой позволяют распространить преобразование Фурье на случай неинтегрируемых сигналов, а также находят широкое применение в теории обработки сигналов.

Дельта-функция Дирака

Рассмотрим прямоугольный импульс п_{\tau}(t) длительности \tau:

equation 2
(2)
Тогда при нормировке амплитуды импульса к длительности \tau, получим прямоугольный импульс \frac{1}{\tau} п_{\tau}(t), площадь которого равна единице при любом конечном значении \tau:

equation 3
(3)

Семейство сигналов \frac{1}{\tau}п_{\tau}(t) показано на рисунке 1 пунктирными и сплошной линиями для различного значения длительность \tau.

Если мы устремим длительность импульса \frac{1}{\tau}п_{\tau}(t) к нулю, то прямоугольный импульс перейдет в так называемую сингулярную функцию \delta(t):

equation 4
(4)
которая также показана на рисунке 1. При этом свойство единичной площади

equation 5
(5)
будет сохраняться и для функции (4).

Прямоугольный импульс единичной площади
Рисунок 1. Прямоугольный импульс единичной площади

Обратим внимание, что в (4) и на рисунке 1 использовалось обозначение 1 \cdot \infty вместо бесконечности. Это сделано специально, чтобы подчеркнуть (5). Если умножить \delta(t) на произвольную константу \alpha, то можно записать: \alpha\delta(0) = \alpha \cdot \infty.

Впервые функция одновременно обладающая свойствами (4) и (5) была использована Полем Дираком [1, стр. 84–88], поэтому мы будем называть данную функцию дельта-функция Дирака.

Очевидно, что выражения (4) и (5) противоречат классическим определениям функции и интеграла, поэтому дельта-функция Дирака \delta(t) описывается в классе обобщенных функций. Использование данной функции внутри линейного интегрального оператора: интеграла свертки, скалярного произведения, или интеграла Фурье, открывает определенные возможности для анализа.

Свойства дельта-функции Дирака

Чётность
Из выражения (2) и рисунка 1 можно заметить, что прямоугольный импульс \frac{1}{\tau}п_{\tau}(t) является четной функцией времени. Тогда и дельта-функция Дирака также четная, т.е. \delta(-t) = \delta(t).

Свойство скалярного произведения
Рассмотрим скалярное произведение некоторого непрерывного сигнала x(t) и дельта-функции Дирака \delta(t):

equation 6
(6)
Подставим в (6) предел (4):

equation 7
(7)

Представим интеграл (7) по определению Римана [5, стр. 301–302] в виде предела суммы площадей прямоугольных импульсов длительности \tau, как это показано на рисунке 2.

Интегрирование по Риману
Рисунок 2. Интегрирование по Риману
Тогда выражение (7) можно представить как:

equation 8
(8)

Заметим, что п_{\tau}(n \tau) отличен от нуля только для n=0. В результате, от суммы (8) останется только одно слагаемое, соответствующее n=0:

equation 9
(9)

Мы получили важнейшее свойство дельта-функции Дирака: скалярное произведение сигнала x(t) и \delta(t) возвращает значение сигнала x(0) при t = 0.

Фильтрующее свойство дельта-функции
Рассмотрим скалярное произведение x(t) и сдвинутой на t_0 дельта-функции \delta(t - t_0):

equation 10
(10)

Введем замену переменной \xi = t - t_0, тогда t = \xi + t_0, dt = d\xi, пределы интегрирования не меняются, и выражение (10) принимает вид:

equation 11
(11)

Выражение (11) является следствием свойства скалярного произведения и называется фильтрующим свойством дельта-функции [6, стр. 29]. Благодаря именно фильтрующему свойству, дельта-функция получила широкое распространение при описании дискретных систем.

Заметим, что \delta(t - t_0) равна нулю везде, за исключением t = t_0. Тогда бесконечные пределы интегрирования (11) могут быть изменены на любой конечный интервал \Delta t в окрестности t_0, включающий данную точку:

equation 12
(12)

Свертка с дельта-функцией
Рассмотрим интеграл свертки некоторого сигнала x(t) и дельта-функции \delta(t):
equation 13
(13)
В силу четности дельта-функции, а также используя фильтрующее свойство можно представить (13) в виде:
equation 14
(14)

Таким образом, свертка с дельта-функцией не искажает и не задерживает сигнал. Выражение (14) называют динамическим представлением сигнала x(t) [6, стр. 29].

Если мы вспомним, что интеграл свертки описывает реакцию некоторого линейного фильтра на входной сигнал x(t), то можно сделать вывод, что \delta(t) представляет собой импульсную характеристику идеального бесконечно короткого проводника, который никак не искажает сигнал. Сдвинутая на t_0 дельта-функция \delta(t - t_0) описывает импульсную характеристику идеального элемента задержки на t_0.

Размерность дельта-функцией
Рассматривая выражения (4) и (5) можно заметить, что размерность дельта функции обратна размерности ее аргумента. Так если аргумент t функции \delta(t) описывает время и имеет размерность секунд, то размерность \delta(t) равна \left[\frac{1}{с} = Гц\right]. Это легко проверить из выражения (5):

equation 15
(15)
Аналогично, если дельта-функция \delta(\omega) описывает поведение в частотной области, и имеет аргумент \omega размерности \left[\frac{1}{с}\right], то дельта-функция в этом случае будет иметь размерность [с].

Интегрирование дельта-функции
Подадим на вход интегратора дельта-функцию и рассмотрим выходной сигнал:

equation 16
(16)

При t < 0 в интервал интегрирования дельта-функция не попадает, поэтому можно сделать вывод, что u(t) = 0 при t<0. Если t>0, то дельта-функция попадает в интервал интегрирования и u(t) = 1 для всех t > 0. При t =0 получаем:

equation 17
(17)
Таким образом, окончательно можно записать u(t) в виде:

equation 18
(18)

Функция u(t) вида (18) называется функцией включения, или функцией Хевисайда [6, стр. 25]. График u(t) показан на рисунке 3.

Интегрирование дельта-функции
Рисунок 3. Интегрирование дельта-функции

Интегрирование сдвинутой во времени дельта-функции \delta(t - t_0) возвращает сдвинутую во времени функцию Хевисайда:

equation 19
(19)

Тогда можно заметить, что u(t) представляет собой безразмерную функцию, которая описывает импульсную характеристику идеального интегратора. Действительно, свертка сигнала x(t) с функцией Хевисайда u(t) имеет вид:

equation 20
(20)
Поменяем порядок интегрирования, и применим свойство свертки с дельта-функцией. Тогда:

equation 21
(21)

Прямоугольный импульс как сумма функций Хевисайда
Рисунок 4. Прямоугольный импульс как сумма функций Хевисайда

Таким образом мы показали, что u(t) представляет собой импульсную характеристику интегратора.

С другой стороны, использование аппарата обобщенных функций позволяет задать производную функции u(t) в точке разрыва t = 0, которая не существует в классическом понимании производной. Так, можно определить, что \frac{d}{dt} u(t) = \delta(t).

Используя взаимосвязь функции Хевисайда и дельта-функции можно определить производные некоторых негладких функций в точке разрыва. Например производную прямоугольно импульса единичной площади \frac{1}{\tau}п_{\tau}(t) можно записать при помощи дельта-функций, если представить прямоугольный импульс в виде суммы двух функций Хевисайда как это показано на рисунке 4.

Тогда производная прямоугольного импульса равна:

equation 22
(22)
Дифференцирование дельта-функции Дирака
Аппарат обобщенных функций позволяет определить производную разрывных функций в точке разрыва. Но что еще более интересно, так это то, что мы можем использовать аппарат обобщенных функций для получения производной самой дельта-функции. Производную дельта-функции \delta'(t) можно определить по аналогии с дельта-функцией как предел производной прямоугольного импульса единичной площади \frac{1}{\tau} п_{\tau}(t):

equation 23
(23)
Поменяем местами оператор предела и дифференцирования, а также учтем (22):

equation 24
(24)
Из (24) следует, что производная дельта-функции является нечетной функцией, т.е. \delta'(-t) = -\delta'(t).

Скалярное произведение сигнала x(t) и производной дельта-функции равно:

equation 25
(25)
Интегрирование ведется по переменной t, тогда предел по параметру \tau можно вынести из под интеграла:
equation 26
(26)
Можно заметить, что предел в выражении (26) ничто иное, как значение производной x(t) при t = 0. Таким образом можно заключить, что скалярное произведение исходной функции x(t) и производной дельта-функции возвращает значение производной исходной функции при t = 0, взятое с отрицательным знаком:
equation 27
(27)

Соответственно скалярное произведение сдвинутой на t_0 производной дельта-функции и исходного сигнала возвращает -x'(t_0):

equation 28
(28)
а свертка исходного сигнала x(t) с производной \delta'(t), с учетом нечетности последней, имеет вид:
equation 29
(29)
Таким образом, производная дельта-функции описывает импульсную характеристику идеального дифференциатора.

По аналогии можно определить производную дельта-функции произвольного порядка k. Скалярное произведение сигнала x(t) и производной дельта-функции \delta^{(k)}(t) порядка k равно:

equation 30
(30)
Выражение (30) легко доказывается, применяя правило интегрирования по частям.

Преобразование Фурье дельта-функции Дирака

Рассмотрим преобразование Фурье дельта-функции Дирака:

equation 31
(31)
Используем фильтрующее свойство дельта-функции и получим:
equation 32
(32)
Таким образом, спектральная плотность \Delta (\omega) дельта-функции Дирака равна единице для всех частот, как это показано на рисунке 5б.
Представление дельта-функции:   а — во временно́й области; б — спектральная плотность
Рисунок 5. Представление дельта-функции:
а — во временно́й области; б — спектральная плотность

Вспомним, что преобразование Фурье возвращает спектральную плотность, чья размерность равна размерности входного сигнала, деленную на единицу полосы. В случае преобразования Фурье дельта-функции получаем, что \Delta (\omega) имеет размерность \left[\frac{1}{с} / Гц\right], т.е. является безразмерной величиной.

Также заметим, что спектральная плотность дельта-функции Дирака не убывает с ростом частоты \omega, в отличии от спектральных плотностей абсолютно-интегрируемых сигналов, рассмотренных выше.

Чтобы понять этот эффект, необходимо снова обратиться к предельному переходу (4), и рассмотрим преобразование Фурье от левой и правой частей (4):

equation 33
(33)
Вынесем оператор предела из под оператора преобразования Фурье (мы можем это делать ввиду свойства линейности преобразования Фурье), а также вспомним выражение для преобразования Фурье прямоугольного импульса рассмотренное в

предыдущем разделе.

Тогда (33) принимает вид:

equation 34
(34)
Таким образом, спектральная плотность дельта-функции получается как предел функции \operatorname{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2}\right), при \tau стремящимся к нулю. На рисунке 6 показаны функции \operatorname{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2}\right) при устремлении параметра \tau к нулю.

Функции  при устремлении параметра  к нулю
Рисунок 6. Функции \operatorname{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2}\right) при устремлении параметра \tau к нулю

Из рисунка 6 видно, что при уменьшении параметра \tau главный лепесток функции \operatorname{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2}\right) расширяется, и в пределе, при \tau \to 0, главный лепесток становится бесконечно широким, а спектральная плотность дельта-функции постоянной для всех частот.

Выводы

В данном разделе мы ввели понятие обобщенной дельта-функции Дирака, и рассмотрели ее некоторые свойтсва.

Также была показана связь дельта-функции Дирака и функции Хевисайда, а также показана возможность применения дельта-функции для задач дифференцирования негладких функций.

Мы рассмотрели понятие производной дельта-функции и некторые ее свойства.

Также было рассмотрено преобразование Фурье \Delta(\omega) дельта-функции и показано, что \Delta(\omega) =1 не убывает с ростом частоты.

странице обсуждения статьи

Смотри также
Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы
[1] Дирак, П.А.М. Принципы квантовой механики Москва, Наука, 1979, 480 c.

[2] Гельфанд, И.М. and Шилов, Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1959, 472 c.

[3] Владимиров С.В. Обобщенные функции в математической физике. Москва

[4] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, Наука, 1968, 496 с.

[5] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[6] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[7] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[8] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:19:33)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14