Дельта-функция Дирака и ее свойства

Содержание

Вводные замечания

Дельта-функция Дирака

Свойства дельта-функции Дирака

Преобразование Фурье дельта-функции Дирака

Выводы

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Вводные замечания

При рассмотрении преобразования Фурье мы говорили, что условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала s(t) :

(1)

Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830

Данное ограничение существенно сужает класс функций, для которых может быть вычислено преобразование Фурье. Так например, постоянный сигнал $s(t) =A= \operatorname{const}$ , или гармоническое колебание $s(t) = \cos(\omega_0 t)$ , не являются абсолютно-интегрируемыми, поэтому мы не можем получить их спектральные плотности в рамках классической теории. Однако приведенные сигналы имеют огромное практическое значение и оставление их за бортом аппарата спектрального анализа являлось бы существенным тормозом развития радиотехники.

К счастью, в первой половине XX века в теоретической физике произошли большие перемены. Появилась теории относительности и квантовой механики, которые потребовали переосмыслить понятие функции в целом. В результате была разработана теория обобщенных функций, которые расширили область применения методов математического анализа, устранили некоторые неопределенности в физике, а также расширили применимость методов спектрального анализа на функции, для которых условие абсолютной интегрируемости не выполняется. Кроме того, использование аппарата обобщенных функций позволило сформулировать и обосновать переход от аналоговых непрерывных сигналов и систем к дискретным и цифровым.

Математическую теорию обобщенных функций можно найти в литературе [1, 2, 3, 4]. Нас будет особенно интересовать дельта-функция Дирака, свойства которой позволяют распространить преобразование Фурье на случай неинтегрируемых сигналов, а также находят широкое применение в теории обработки сигналов.

Дельта-функция Дирака

Поль Адриен Морис Дирак
1902–1984

Рассмотрим прямоугольный импульс $п_{\tau}(t)$ длительности $\tau$ :

(2)

Тогда при нормировке амплитуды импульса к длительности $\tau$ , получим прямоугольный импульс $\frac{1}{\tau} п_{\tau}(t)$ , площадь которого равна единице при любом конечном значении $\tau$ :

(3)

Семейство сигналов $\frac{1}{\tau}п_{\tau}(t)$ показано на рисунке 1 пунктирными и сплошной линиями для различного значения длительность $\tau$ .

Если мы устремим длительность импульса $\frac{1}{\tau}п_{\tau}(t)$ к нулю, то прямоугольный импульс перейдет в так называемую сингулярную функцию $\delta(t)$ :

(4)

которая также показана на рисунке 1. При этом свойство единичной площади

(5)

будет сохраняться и для функции (4).

Рисунок 1. Прямоугольный импульс единичной площади

Соболев Сергей Львович
1908–1989

Обратим внимание, что в (4) и на рисунке 1 использовалось обозначение $1 \cdot \infty$ вместо бесконечности. Это сделано специально, чтобы подчеркнуть (5). Если умножить $\delta(t)$ на произвольную константу $\alpha$ , то можно записать: $\alpha\delta(0) = \alpha \cdot \infty$ .

Впервые функция одновременно обладающая свойствами (4) и (5) была использована Полем Дираком [1, стр. 84–88], поэтому мы будем называть данную функцию дельта-функция Дирака.

Очевидно, что выражения (4) и (5) противоречат классическим определениям функции и интеграла, поэтому дельта-функция Дирака $\delta(t)$ описывается в классе обобщенных функций. Использование данной функции внутри линейного интегрального оператора: интеграла свертки, скалярного произведения, или интеграла Фурье, открывает определенные возможности для анализа.

Свойства дельта-функции Дирака

Чётность

Из выражения (2) и рисунка 1 можно заметить, что прямоугольный импульс $\frac{1}{\tau}п_{\tau}(t)$ является четной функцией времени. Тогда и дельта-функция Дирака также четная, т.е. $\delta(-t) = \delta(t)$ .

Свойство скалярного произведения

Рассмотрим скалярное произведение некоторого непрерывного сигнала x(t)

и дельта-функции Дирака $\delta(t)$ :

Бернхард Риман
1826–1866

(6)

Подставим в (6) предел (4):

(7)

Представим интеграл (7) по определению Римана [5, стр. 301–302] в виде предела суммы площадей прямоугольных импульсов длительности $\tau$ , как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Интегрирование по Риману

Тогда выражение (7) можно представить как:

(8)

Заметим, что $п_{\tau}(n \tau)$ отличен от нуля только для n=0 . В результате, от суммы (8) останется только одно слагаемое, соответствующее n=0 :

(9)

Мы получили важнейшее свойство дельта-функции Дирака: скалярное произведение сигнала x(t) и $\delta(t)$ возвращает значение сигнала x(0) при t = 0 .

Фильтрующее свойство дельта-функции

Рассмотрим скалярное произведение x(t)

и сдвинутой на t_0

дельта-функции $\delta(t - t_0)$ :

(10)

Введем замену переменной $\xi = t - t_0$ , тогда $t = \xi + t_0$ , $dt = d\xi$ , пределы интегрирования не меняются, и выражение (10) принимает вид:

(11)

Выражение (11) является следствием свойства скалярного произведения и называется фильтрующим свойством дельта-функции [6, стр. 29]. Благодаря именно фильтрующему свойству, дельта-функция получила широкое распространение при описании дискретных систем.

Заметим, что $\delta(t - t_0)$ равна нулю везде, за исключением t = t_0 . Тогда бесконечные пределы интегрирования (11) могут быть изменены на любой конечный интервал $\Delta t$ в окрестности t_0 , включающий данную точку:

(12)

Свертка с дельта-функцией

Рассмотрим интеграл свертки некоторого сигнала x(t)

и дельта-функции $\delta(t)$ :

(13)

В силу четности дельта-функции, а также используя фильтрующее свойство можно представить (13) в виде:

(14)

Таким образом, свертка с дельта-функцией не искажает и не задерживает сигнал. Выражение (14) называют динамическим представлением сигнала x(t) [6, стр. 29].

Если мы вспомним, что интеграл свертки описывает реакцию некоторого линейного фильтра на входной сигнал x(t) , то можно сделать вывод, что $\delta(t)$ представляет собой импульсную характеристику идеального бесконечно короткого проводника, который никак не искажает сигнал. Сдвинутая на t_0 дельта-функция $\delta(t - t_0)$ описывает импульсную характеристику идеального элемента задержки на t_0 .

Размерность дельта-функцией

Рассматривая выражения (4) и (5) можно заметить, что размерность дельта функции обратна размерности ее аргумента. Так если аргумент

функции $\delta(t)$ описывает время и имеет размерность секунд, то размерность $\delta(t)$ равна $\left[\frac{1}{с} = Гц\right]$ . Это легко проверить из выражения (5):

(15)

Аналогично, если дельта-функция $\delta(\omega)$ описывает поведение в частотной области, и имеет аргумент $\omega$ размерности $\left[\frac{1}{с}\right]$ , то дельта-функция в этом случае будет иметь размерность [с]

Оливер Хевисайд
1850–1925

Интегрирование дельта-функции

Подадим на вход интегратора дельта-функцию и рассмотрим выходной сигнал:

(16)

При t < 0 в интервал интегрирования дельта-функция не попадает, поэтому можно сделать вывод, что u(t) = 0 при t<0 . Если t>0 , то дельта-функция попадает в интервал интегрирования и u(t) = 1 для всех t > 0 . При t =0 получаем:

(17)

Таким образом, окончательно можно записать u(t)

в виде:

(18)

Функция u(t) вида (18) называется функцией включения, или функцией Хевисайда [6, стр. 25]. График u(t) показан на рисунке 3.

Рисунок 3. Интегрирование дельта-функции

Интегрирование сдвинутой во времени дельта-функции $\delta(t - t_0)$ возвращает сдвинутую во времени функцию Хевисайда:

(19)

Тогда можно заметить, что u(t) представляет собой безразмерную функцию, которая описывает импульсную характеристику идеального интегратора. Действительно, свертка сигнала x(t) с функцией Хевисайда u(t) имеет вид:

(20)

Поменяем порядок интегрирования, и применим свойство свертки с дельта-функцией. Тогда:

(21)

Рисунок 4. Прямоугольный импульс как сумма функций Хевисайда

Таким образом мы показали, что u(t) представляет собой импульсную характеристику интегратора.

С другой стороны, использование аппарата обобщенных функций позволяет задать производную функции u(t) в точке разрыва t = 0 , которая не существует в классическом понимании производной. Так, можно определить, что $\frac{d}{dt} u(t) = \delta(t)$ .

Используя взаимосвязь функции Хевисайда и дельта-функции можно определить производные некоторых негладких функций в точке разрыва. Например производную прямоугольно импульса единичной площади $\frac{1}{\tau}п_{\tau}(t)$ можно записать при помощи дельта-функций, если представить прямоугольный импульс в виде суммы двух функций Хевисайда как это показано на рисунке 4.

Тогда производная прямоугольного импульса равна:

(22)

Дифференцирование дельта-функции Дирака

Аппарат обобщенных функций позволяет определить производную разрывных функций в точке разрыва. Но что еще более интересно, так это то, что мы можем использовать аппарат обобщенных функций для получения производной самой дельта-функции. Производную дельта-функции $\delta'(t)$ можно определить по аналогии с дельта-функцией как предел производной прямоугольного импульса единичной площади $\frac{1}{\tau} п_{\tau}(t)$ :

(23)

Поменяем местами оператор предела и дифференцирования, а также учтем (22):

(24)

Из (24) следует, что производная дельта-функции является нечетной функцией, т.е. $\delta'(-t) = -\delta'(t)$ .

Скалярное произведение сигнала x(t) и производной дельта-функции равно:

(25)

Интегрирование ведется по переменной

, тогда предел по параметру $\tau$ можно вынести из под интеграла:

(26)

Можно заметить, что предел в выражении (26) ничто иное, как значение производной x(t)

при

. Таким образом можно заключить, что скалярное произведение исходной функции x(t)

и производной дельта-функции возвращает значение производной исходной функции при t = 0

, взятое с отрицательным знаком:

(27)

Соответственно скалярное произведение сдвинутой на t_0 производной дельта-функции и исходного сигнала возвращает -x'(t_0) :

(28)

а свертка исходного сигнала x(t)

с производной $\delta'(t)$ , с учетом нечетности последней, имеет вид:

(29)

Таким образом, производная дельта-функции описывает импульсную характеристику идеального дифференциатора.

По аналогии можно определить производную дельта-функции произвольного порядка . Скалярное произведение сигнала x(t) и производной дельта-функции $\delta^{(k)}(t)$ порядка равно:

(30)

Выражение (30) легко доказывается, применяя правило интегрирования по частям.

Преобразование Фурье дельта-функции Дирака

Рассмотрим преобразование Фурье дельта-функции Дирака:

(31)

Используем фильтрующее свойство дельта-функции и получим:

(32)

Таким образом, спектральная плотность $\Delta (\omega)$ дельта-функции Дирака равна единице для всех частот, как это показано на рисунке 5б.

Рисунок 5. Представление дельта-функции:
а — во временно́й области; б — спектральная плотность

Вспомним, что преобразование Фурье возвращает спектральную плотность, чья размерность равна размерности входного сигнала, деленную на единицу полосы. В случае преобразования Фурье дельта-функции получаем, что $\Delta (\omega)$ имеет размерность $\left[\frac{1}{с} / Гц\right]$ , т.е. является безразмерной величиной.

Также заметим, что спектральная плотность дельта-функции Дирака не убывает с ростом частоты $\omega$ , в отличии от спектральных плотностей абсолютно-интегрируемых сигналов, рассмотренных выше.

Чтобы понять этот эффект, необходимо снова обратиться к предельному переходу (4), и рассмотрим преобразование Фурье от левой и правой частей (4):

(33)

Вынесем оператор предела из под оператора преобразования Фурье (мы можем это делать ввиду свойства линейности преобразования Фурье), а также вспомним выражение для преобразования Фурье прямоугольного импульса рассмотренное в

предыдущем разделе.

Тогда (33) принимает вид:

(34)

Таким образом, спектральная плотность дельта-функции получается как предел функции $\operatorname{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2}\right)$ , при $\tau$ стремящимся к нулю. На рисунке 6 показаны функции $\operatorname{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2}\right)$ при устремлении параметра $\tau$ к нулю.

Функции при устремлении параметра к нулю

Рисунок 6. Функции $\operatorname{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2}\right)$ при устремлении параметра $\tau$ к нулю

Из рисунка 6 видно, что при уменьшении параметра $\tau$ главный лепесток функции $\operatorname{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2}\right)$ расширяется, и в пределе, при $\tau \to 0$ , главный лепесток становится бесконечно широким, а спектральная плотность дельта-функции постоянной для всех частот.

Выводы

В данном разделе мы ввели понятие обобщенной дельта-функции Дирака, и рассмотрели ее некоторые свойтсва.

Также была показана связь дельта-функции Дирака и функции Хевисайда, а также показана возможность применения дельта-функции для задач дифференцирования негладких функций.

Мы рассмотрели понятие производной дельта-функции и некторые ее свойства.

Также было рассмотрено преобразование Фурье $\Delta(\omega)$ дельта-функции и показано, что $\Delta(\omega) =1$ не убывает с ростом частоты.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы

[1] Дирак, П.А.М. Принципы квантовой механики Москва, Наука, 1979, 480 c.

[2] Гельфанд, И.М. and Шилов, Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1959, 472 c.

[3] Владимиров С.В. Обобщенные функции в математической физике. Москва

[4] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, Наука, 1968, 496 с.

[5] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[6] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[7] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[8] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:46)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14