Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Ответить
google_fish
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 05 мар 2019, 21:57

Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Сообщение google_fish » 23 мар 2019, 10:25

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, с разъяснением момента, касающегося спектров сигналов. Никак не могу сообразить, почему у бесконечного во времени сигнала спектр конечен, а у конечного сигнала - бесконечен. Как я понимаю, это тянется уже откуда-то со времен теоремы Котельникова, но в обсуждениях этой теоремы эта информация по спектрам дается как уже состоявшийся факт, а хотелось бы простого, емкого объяснения "на пальцах", откуда ноги растут у этого утверждения.
Насчет бесконечности спектра конечного сигнала есть предположение, что раз это уже дискретизированный сигнал, т.е. умноженный на дельта-функцию (у которой спектр, судя по всему, бесконечен), то получается якобы конечное*бесконечное=бесконечное, но тогда вопрос о бесконечности такого сигнала переформулируется в вопрос о том, почему бесконечен спектр дельта-функции? "Природа" у нее просто такая, или у этой "природы" есть предпосылки существенные?

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 822
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Сообщение Бахурин Сергей » 23 мар 2019, 15:16

Я наверно внесу дополнительную смуту, если скажу, что не у всякого бесконечного сигнала спектр обязательно конечен ))
Однако это так, например гауссов импульс имеет гауссову спектральную плотность (спектр), но и сигнал во времени и спектральная плотность убывает экспоненциально, но нуля не достигает.

Но для строго ограниченного во времени сигнала действительно спектр носит убывающий характер, но остается бесконечным, никогда не достигая нуля.
Пояснить это можно несколькими способами, но предварительно необходимо разобраться со свойствами преобразования Фурье.
Объяснение 1.
Ограниченный во времени сигнал можно представить как произведение некого сигнала с ограниченным по частоте спектром и прямоугольного импульса длительности равной длительности сигнала. Тогда согласно свойствам преобразования Фурье спектральная плотность полученного ограниченного сигнала равна свертке спектральной плотностeй и (прямоугольного импульса). В результате свертки бесконечные затухающие колебания спектра прямоугольного импульса приведут к бесконечному спектру .

Объяснение 2.
В приведенном разделе свойствам преобразования Фурье рассматривается вопрос зависимости убывания спектра от количества первых производных сигнала. Так вот если сигнал ограничен по времени, то он имеет лишь ограниченное количество первых производных, в результате чего скорость убывания спектра конечна, и как результат спектр бесконечно убывает, никогда не достигая нуля.

google_fish
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 05 мар 2019, 21:57

Re: Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Сообщение google_fish » 23 мар 2019, 15:57

Бахурин Сергей писал(а):
23 мар 2019, 15:16
Так вот если сигнал ограничен по времени, то он имеет лишь ограниченное количество первых производных, в результате чего скорость убывания спектра конечна, и как результат спектр бесконечно убывает, никогда не достигая нуля.
А у бесконечного сигнала, по логике, бесконечное количество первых производных, и спектр в итоге приходит к нулю, так? Или не такая логика?
Просто для меня самой главной загадкой и является, по сути, вот этот факт, что что-то ограниченное дает в итоге бесконечность (и наоборот, соответственно).
Бахурин Сергей писал(а):
23 мар 2019, 15:16
прямоугольного импульса длительности равной длительности сигнала
Раз у бесконечные затухающие колебания, то получается тогда, как предполагалось, свертка конечного и бесконечного дает бесконечность спектра (в исходном вопросе это обозначалось как конечное*бесконечное = бесконечное, но знак * не очень уместен для процедуры свертки, наверно, он же обычно как умножение понимается). И опять же почему у бесконечность в спектре, если конечность во времени, вот этот переход не улавливаю из временной области в частотную, на какой стадии конечность становится бесконечностью, или это все вина ? Или, быть может, так кто-то когда-то регламентировал, и теперь это своего рода аксиома такая, что все живут по правилу "у конечного импульса бесконечный спектр", и не надо лишних вопросов?

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 822
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Сообщение Бахурин Сергей » 25 мар 2019, 09:12

а в чем проблема то?
x = sin(wt) бесконечное во времени колебание описывается в частотной области одной частотой w. При этом в спектре есть только две "палки" на частотах +w и -w. Этот факт не вызывает вопросов?

google_fish
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 05 мар 2019, 21:57

Re: Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Сообщение google_fish » 25 мар 2019, 13:06

Бахурин Сергей писал(а):
25 мар 2019, 09:12
Этот факт не вызывает вопросов?
Нет, вопросов к этому факту абсолютно никаких. А вот к то, как в пятисекундной (конечной) синусоиде с той же частотой w оказывается не две составляющих -w и +w, а бесконечность, непонятно. Ну ограничили мы ее во времени, да, но частоту же не меняли, не делали какое-то сложное колебание.

kaa
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 17 мар 2019, 20:03

Re: Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Сообщение kaa » 25 мар 2019, 13:12

Мы хотим представить p(t) - прямоугольник суммой гармоник (можно сказать, что это и есть ПФ). "Резкий" обрыв прямоугольника очень не похож на функцию гармонического колебания, поэтому какое бы конечное число гармоник мы не брали, мы не получим такого резкого обрыва, а будем только приближаться к нему, и только в пределе, при бесконечном числе гармоник (бесконечном спектре) получим прямоугольник.

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 822
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Сообщение Бахурин Сергей » 25 мар 2019, 13:33

Ещё как сделали очень сложное колебание. Синусоида периодическая функция колебалась себе, а вы вдруг потребовали, чтобы через 5 сек она взяла и прекратилась. Как это описать при помощи конечного числа синусоид?

если сложить любое конечное число синусоид с разными частотами, то всегда получится бесконечный во времени сигнал.

Никакой конечной суммой синусоид вы не заставите сигнал взять и перестать колебаться.

Т.е. ограниченный спектр может иметь только бесконечный во времени сигнал. И наоборот ограниченный во времени сигнал всегда представляется бесконечным спектром.

Да вот например здесь
http://ru.dsplib.org/content/fourier_se ... eries.html
Можно увидеть классический пример приближения ряда Фурье к последовательности прямоугольных импульсов. И чтобы приближаться к скачку, как написали выше, требуется бесконечная скорость изменения гармонического колебания, откуда возникает бесконечный спектр.


Но ещё раз заметим, что иногда бесконечный сигнал может иметь бесконечный спектр.

google_fish
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 05 мар 2019, 21:57

Re: Спектр непрерывного и дискретного сигнала

Сообщение google_fish » 25 мар 2019, 18:22

kaa писал(а):
25 мар 2019, 13:12
"Резкий" обрыв прямоугольника очень не похож на функцию гармонического колебания
Бахурин Сергей писал(а):
25 мар 2019, 13:33
Никакой конечной суммой синусоид вы не заставите сигнал взять и перестать колебаться.
Вот, вот эти слова и хотелось услышать! Спасибо огромное! Это ж на поверхности - обрыв сигнала точно не описать одной гармоникой или суммой нескольких - но никак почему-то не доходило до меня. Спасибо еще раз большое!
Бахурин Сергей писал(а):
25 мар 2019, 13:33
Да вот например здесь
http://ru.dsplib.org/content/fourier_se ... eries.html
Можно увидеть классический пример приближения ряда Фурье к последовательности прямоугольных импульсов. И чтобы приближаться к скачку, как написали выше, требуется бесконечная скорость изменения гармонического колебания, откуда возникает бесконечный спектр.
Были картинки, все равно не дошло, видимо, надо было меньше усердствовать, чтоб понять.
Бахурин Сергей писал(а):
25 мар 2019, 13:33
Но ещё раз заметим, что иногда бесконечный сигнал может иметь бесконечный спектр.
Понятно, но мой случай не такой.

Ответить

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость