Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830
Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле
1805–1859
Леонард Эйлер
1707–1783

Свойства преобразования Фурье

Содержание

Свойство линейности

Пусть даны непериодические и , а также их спектральные плотности и соответственно. Везде далее мы будем предполагать, что и  — абсолютно интегрируемые сигналы, тогда преобразование Фурье сигнала равно

(1)



Следствием является свойство умножения на константу :

(2)



Свойство временного сдвига

Рассмотрим сигнал как результат временного сдвига исходного сигнала на произвольную величину . Тогда преобразование Фурье сигнала имеет вид:

(3)

Введем замену переменной , тогда и . При любом конечном пределы интегрирования не меняются и спектральная плотность равна:

(4)



Таким образом, задержка сигнала во времени приводит к изменению фазы его спектральной плотности без изменения амплитуды.

Преобразование Фурье свертки сигналов

Пусть сигнал представляет собой свертку сигналов и :

(5)

Тогда спектральная плотность сигнала равна:

(6)



Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:

(7)



Таким образом, спектральная плотность свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.

Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.

Преобразование Фурье произведения сигналов

Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и . Преобразование Фурье сигнала равно:

(8)



Подставим в (8) вместо сигнала обратное преобразование Фурье его спектральной плотности :

(9)



Поменяем в (9) операции интегрирования и получим:

(10)

Тогда окончательно преобразование Фурье произведения сигналов

(11)

пропорционально свертке спектральных плотностей этих сигналов.

Масштабирование и инверсия во времени

Пусть сигнал представляет собой масштабированный во времени сигнал ,  — вещественная константа, отличная от нуля.

Тогда преобразование Фурье сигнала равно:

(12)

Введем в выражении (12) замену переменной , тогда , . При этом пределы интегрирования при положительном не меняются: , откуда , и аналогично . Тогда (12) принимает вид:

(13)

При отрицательном , помимо масштабирования имеет место инверсия сигнала во времени. Тогда вводя замену переменной в (12), пределы интегрирования при также меняются: , и аналогично , откуда . В результате при получаем:

(14)

Знак минус в выражении (14) появился в результате перестановки нижнего и верхнего пределов интегрирования. Объединяя выражения (13) и (14), для любого вещественного можно записать:

(15)

Следствием (15) является свойство преобразования Фурье инверсного во времени сигнала при :

(16)

Временна́я инверсия сигнала приводит к частотной инверсии его спектральной плотности.

Преобразование Фурье производной исходного сигнала

Пусть сигнал представляет собой непрерывный на всей числовой оси абсолютно интегрируемый сигнал, чья спектральная плотность равна . Тогда сигнал также является абсолютно интегрируемым, и его преобразование Фурье равно:

(17)



Используем правило интегрирования по частям[1] [2, стр. 330]:

(18)

Учтем, что модуль комплексной экспоненты равен единице, а сигнал является абсолютно интегрируемым, т.е. . Тогда два первых слагаемых выражения (18) равны нулю, и окончательно можно записать:

(19)



Таким образом, спектральная плотность производной сигнала равна спектральной плотности этого сигнала, умноженной на .

Как и в случае с периодическими сигналами, наличие множителя приводит к тому, что с ростом частоты затухает слабее чем спектральная плотность исходного сигнала . Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным, тогда его спектральная плотность будет затухать быстрее чем , и умножение на не приведет к росту с увеличением частоты, т.е. обеспечит сходимость (17).

Свойство интегрирования исходного сигнала

Пусть теперь представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектральная плотность сигнала равна нулю при .

Тогда сигнал

(20)

представляет собой выход интегратора при входном сигнале .

Обратим внимание, что при , сигнал  является абсолютно интегрируемым.

Рассмотрим спектральную плотность сигнала . Для этого заметим, что сигнал ничто иное, как производная сигнала . Тогда используя свойство преобразования Фурье производной сигнала (19) можно записать:

(21)



При , спектральная плотность рассчитывается без особого труда. Однако на частоте получаем неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя [2, стр. 257] по аналогии со свойством ряда Фурье приводит к окончательному выражению вида:



(22)



Анализируя (22) можно заключить, что интегрирование сигнала устраняет разрывы и приводит к более быстрому затуханию спектральной плотности, ввиду наличия дополнительного множителя .

Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала

Пусть исходный сигнал представляет собой комплексный абсолютно интегрируемый сигнал, где  — синфазная и  — квадратурная компоненты. Рассмотрим преобразование Фурье , используя формулу Эйлера представления комплексных экспонент:

(23)

где , , и  — соответствующее значение каждого из четырех интегралов. Заметим, что справедливы следующие равенства:

(24)



Рассмотрим теперь преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала :

(25)

Учтем свойство (24), тогда:

(26)

и сравнивая с (23) можно заключить, что:

(27)



Таким образом, спектральная плотность комплексно-сопряженного сигнала равна инверсной по частоте комплексно-сопряженной спектральной плотности исходного сигнала.

Важным следствием (27) является свойство симметрии спектральной плотности вещественного сигнала.

Пусть имеется вещественный сигнал , чья спектральная плотность равна . Поскольку сигнал вещественный, то комплексное сопряжение его не меняет, т.е. . Перейдя в частотную область, с учетом (27) получаем равенство:

(28)

Таким образом, спектральная плотность вещественного сигнала обладает симметрией относительно нулевой частоты.

Для вещественного сигнала выражение (24) с учетом можно представить:

(29)

и спектральная плотность (23) вещественного сигнала принимает вид:

(30)



Тогда определяет реальную часть спектральной плотности и является четной функцией частоты, а  — мнимая часть спектральной плотности является нечетной функцией частоты.

Амплитудно- и фазо-частотная характеристики сигнала

По аналогии с понятиями амплитудного и фазового спектра периодического сигнала можно ввести понятия амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристики сигнала:

(31)



Тогда, в случае вещественного сигнала, с учетом свойств симметрии спектральной плотности (28), можно заключить, что АЧХ является четной функцией частоты , а ФЧХ — нечетной: .

Свойство симметрии наглядно показано на рисунке 1 для одностороннего экспоненциального импульса.

Рисунок 1. Симметрия АЧХ и ФЧХ экспоненциального импульса:

а — сигнал во времени; б — АЧХ (сплошная) и ФЧХ (пунктирная)


Двойственность преобразования Фурье

Пусть сигнал имеет спектральную плотность . Рассмотрим что произойдет, если мы возьмем преобразование Фурье от спектральной плотности :

(32)



Обратите внимание, интегрирование идет по переменной , хотя выражение (32) представляет собой прямое преобразование Фурье. Тогда можно преобразовать:

(33)



Можно сделать вывод, что преобразование Фурье от спектральной плотности снова возвращает сигнал, инверсный во времени, умноженный на . Это свойство носит название двойственности (дуальности) преобразования Фурье.

Двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временного так и для частотного представления одновременно. Внимательный читатель уже мог отметить схожесть формулировок свойств преобразования Фурье. Так свертка сигналов во времени приводит к произведению спектральных плотностей, в то время как произведение сигналов во времени приводит к свертке в частотной области. Таким образом, свойство остается справедливым если в формулировке данного свойства поменять местами время и частоту.

При рассмотрении свойства временного сдвига мы получили, что спектральная плотность умножается на комплексную экспоненту. Тогда руководствуясь двойственностью преобразования Фурье можно предположить, что сдвиг спектральной плотности по частоте приведет к умножению сигнала на комплексную экспоненту во времени. Действительно, обратное преобразование от спектральной плотности смещенной по частоте на величину , равно:

(34)



Вводя замену переменной получаем , . Пределы интегрирования остаются неизменными, и выражение (34) принимает вид:

(35)

Как мы и предполагали, смещение спектральной плотности по частоте приводит к умножению сигнала на комплексную экспоненту.

Обратим внимание, что при смещении спектральной плотности вещественного сигнала по частоте, мы нарушаем симметрию , и сигнал после умножения на комплексную экспоненту становится комплексным.

Продолжая рассмотрение двойственности преобразования Фурье, мы можем легко сформулировать требования к сигналу, при котором его спектральная плотность будет вещественной.

Мы говорили, что спектральная плотность вещественного сигнала  является симметричной относительно нулевой частоты: . Тогда мы можем переформулировать это свойство и в другую сторону: если сигнал (в общем случае комплексный) обладает свойством симметрии во временной области: , то его спектральная плотность чисто вещественна.

Для доказательства данного утверждения представим сигнал в виде . Тогда . Если выполняется условие симметрии , то:

(36)



Тогда с учетом выражения (23) и (24), мнимая часть спектральной плотности равна:

(37)

где

(38)



Заметим, что оба интеграла (38) представляют собой интегралы в бесконечных симметричных пределах от произведения четной и нечетной функции (четность и нечетность мы установили выше). Тогда можно заключить, что оба интеграла (38) равны нулю, и мнимая часть спектральной плотности , симметричного во времени сигнала , также равна нулю согласно (37). Что и требовалось доказать.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства преобразования Фурье.

В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.



Примечания

[1] Преобразование Фурье представляет собой интеграл в бесконечных пределах. Применение правила интегрирования по частям возможно [1, стр. 374] при соблюдении условия сходимости выражения (17), которое обеспечивается при непрерывном .

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.