Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

kvit
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 29 сен 2023, 18:06

Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение kvit »

Добрый день.
Задача ДПФ возникла как вспомогательная.
Заметил, а потом вывел аналитически, что коэффициенты ДПФ гармонического сигнала в случае наличия эффекта "растекания спектра" лежат на гиперболе.
Параметры гиперболы определяются параметрами самого сигнала (тройка параметров - частота, амплитуда, начальная фаза).

Но можно поставить и "обратную" задачу - зная параметры гиперболы, определить неизвестные параметры гармонического сигнала. Такая задача тоже разрешима (при некоторых условиях), т.е. наблюдая сигнал и получая коэффициенты ДПФ, определяем параметры гиперболы, по ним затем определяем параметры самого сигнала. Таким образом, может получать точные значения параметров - т.е. нивелируем эффект растекания спектра.

Поискал в статьях, учебниках, ничего подобного не нашел, вопрос - представляет ли этот результат практическую или научную ценность? Описан ли он, и если да, то в каких источниках?

В поисковиках при наличии слов в одной строке "гипербола" и "ДПФ" выдается чаще всего "Применение преобразования Фурье для решения дифференциальных уравнений гиперболического типа".

kvit
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 29 сен 2023, 18:06

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение kvit »

Например, формируем модельный сигнал:

f=1;
P=1/f;
h=0.1;
fd=1/h;

N=24;
n=0:N-1;
tn=n*h;
T=h*N;

a=6;
b=8;
R=sqrt(a^2+b^2);
phi=atan2(b,a);

%sn=a*cos(2*pi*f*tn)+b*sin(2*pi*f*tn);
snR=R*cos(2*pi*f*tn-phi);



Исходный сигнал (плюс дискретные отсчеты)
signal1.jpg
Амплитудный спектр (точнее, одна половина для положительных частот)
signal2.jpg
Коэффициенты ДПФ на комплексной плоскости
signal3.jpg

kvit
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 29 сен 2023, 18:06

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение kvit »

В одном графическом окне:
1 - исходный сигнал непрерывный, дискретные отсчеты
2 - амплитудный спектр для положительных частот
3 - коэффициенты ДПФ на комплексной плоскости

N=40, интервал наблюдения сигнала кратен его периоду, растекания спектра нет
N40.png
Последний раз редактировалось kvit 08 окт 2023, 07:22, всего редактировалось 1 раз.

kvit
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 29 сен 2023, 18:06

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение kvit »

Возьмем на один отсчет меньше и на один больше, период измерения сигнала не кратен периоду самого сигнала, наблюдаем растекание

На комплексной плоскости - гиперболу

N=39
N39.png

N=41
N41.png

kvit
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 29 сен 2023, 18:06

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение kvit »

Растекание отсутствует при N=20,30,40,...
Максимальное искажение амплитуды - при N=25,35,45,...

N=45
N45.png

zigzag
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 05 авг 2019, 11:05

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение zigzag »

kvit писал(а):
06 окт 2023, 10:28
определить неизвестные параметры гармонического сигнала.
Вы имеете все три параметра: амплитуда, фаза, частота или какие то конкретные из них?

kvit
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 29 сен 2023, 18:06

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение kvit »

zigzag писал(а):
20 ноя 2023, 11:56
kvit писал(а):
06 окт 2023, 10:28
определить неизвестные параметры гармонического сигнала.
Вы имеете все три параметра: амплитуда, фаза, частота или какие то конкретные из них?
Да, все три.

Или точнее - определяем частоту, а два других можем найти уже несколькими разными методами - на мой взгляд, самый простой - решая линейную систему размерности 2х2, относительно параметров a и b

s(t)=a cos(wt) + b sin(wt)

Зная a и b, найдем амплитуду и фазу

zigzag
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 05 авг 2019, 11:05

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение zigzag »

Ну в целом - да. Зная, частоту определить a и b не очень сложно. По сути это классическая задача МНК получится.

По гиперболе:
1. Видно, что гипербола симметрична относительно осей (потому что сигнал вещественный). Поэтому, как я понимаю, чтобы ее однозначо задать достаточно посчитать всего два коэффициента Фурье. В идеальном случае синусоиды без шума этого должно быть достаточно. Далее по двум коэффициентам Фурье (например для частоты f0 и k*f0) можно определить частоту исходной синусоиды. Такую статью я видел: "Компенсация частотной погрешности при цифровых измерениях парамтеров электрическго тока промышленной частоты" Й. Штефка. Конкретно, гипербола там не рассматривается, но определение частоты по коэффициентам Фурье, посчитанным, "не той частоте" имеется.

Естественно в случае наличия шума вы можете провести гиперболу как то усредняя точки, но и в терминах статьи тоже можно сделать похожую процедуру.

2. Связь гиперболы и ДПФ, вообще говоря, есть гораздо более прозаичная (но может гипербола немного не та). Известно (например, Сергиенко "ЦОС") что скорость убывания спектра тем быстрее, чем более гладкий сигнал мы исследуем. Если в сигнале присутствуют скачки (разрывы) то спектр убывает обратно пропорционально частоте (обычно это показывают на разложении прямоугольных импульсов в ряд Фурье) то есть по !гиперболе!. Вы по сути имеете сигнал как раз со скачками, так как работаете не на целом числе периодов синусоиды неизвестной частоты.

kvit
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 29 сен 2023, 18:06

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение kvit »

zigzag писал(а):
22 ноя 2023, 21:53
1. Видно, что гипербола симметрична относительно осей (потому что сигнал вещественный). Поэтому, как я понимаю, чтобы ее однозначо задать достаточно посчитать всего два коэффициента Фурье. В идеальном случае синусоиды без шума этого должно быть достаточно. Далее по двум коэффициентам Фурье (например для частоты f0 и k*f0) можно определить частоту исходной синусоиды.
Не совсем симметрична, там вдоль оси абсцисс есть сдвиг, т.е. гипербола трёхпараметрическая:


Поэтому, если сигнал без шума, достаточно трёх коэффициентов, это и логично -
три параметра исходной гармоники - три параметра гиперболы - три коэффициента Фурье
Последний раз редактировалось kvit 23 ноя 2023, 11:35, всего редактировалось 2 раза.

kvit
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 29 сен 2023, 18:06

Re: Коэффициенты ДПФ при растекании спектра лежат на гиперболе

Сообщение kvit »

Отдельно, кстати сказать, хочется выразить благодарность создателю этого форума за возможность вводить формулы :)

Ответить