Ограниченность спектра сигнала

[SergeiSX]

Здравствуйте! Я почему - то никак не могу увязать непрерывность исходного сигнала и ограниченность его спектра. Посмотрел на данном сайте статьи о свойствах преобразования Фурье, где встречал утверждение что непрерывность исходного сигнала гарантирует убывание его спектральной плотности быстрее чем . Пока никак не могу доказать для себя подобное утверждение. Буду рад любой информации.

[Бахурин Сергей]

Непрерывность сигнала не является показателем ограниченности спектра. Непрерывность гарантирует убывание спектра быстрее чем 1/w^k, но нуля спектр так и не достигнет. Доказательство связи дифференцируемости и скорости убывания приводится в лемме Римана-Лебега.
См.
https://ru.dsplib.org/content/fourier_t ... _prop.html

[SergeiSX]

Сергей, спасибо! Вопрос возник потому, что я встретил в книге Гоноровского утверждение, что ограниченность спектра сигнала гарантирует его непрерывность. Если я правильно понимаю то по лемме Римана - Лебега абсолютно интегрируемая функция имеет спектр, ограниченный по частоте. Таким образом, раз исходная спектральная плотность ограничена по частоте, то и спектральной плотность производной сигнала будет так же ограничена по частоте, а, значит, производная сигнала является абсолютно интегрируемой функцией, отсюда сигнал дифференцируем в любой точке а значит непрерывен. Если следовать Гоноровскому. Поправьте, пожалуйста, если я неправ или в корне ошибаюсь.

[Бахурин Сергей]

Тут как с золотом. Золото всегда блестит, но не все что блестит - золото. Так и тут. Ограниченность спектра сигнала действительно гарантирует его непрерывность (и бесконечную дифференцируемость), но не каждый непрерывный сигнал имеет ограниченный спектр.

Абсолютная интегрируемость функции означает сходимость интеграла



является необходимым условием для существования преобразования Фурье данного сигнала. Ограниченность спектра при этом никак не гарантируется. Например прямоугольный импульс вполне себе асолютно интегрируемый, но спектр его бесконенчен.

Ограничение спектра по частоте означает, что для всех частот выше некоторого значения и это существенно сужает класс функций для которых это условие может быть выполнено.

Например и неперерывная, и бесконенчно дифференцируемая, но спектр ее никогда не достигает нуля, хотя экспоненциально к нему стремится.

[SergeiSX]

Спасибо, Сергей! Очень помогли! С удовольствием почитал Ваши статьи про ряды Фурье и преобразование Фурье!