О бесконечном спектре ограниченного сигнала.

SergeiSX
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 05 июн 2017, 17:56

О бесконечном спектре ограниченного сигнала.

Сообщение SergeiSX »

Здравствуйте! Я понимаю что тема наверное многократно затрагивалась, более того я на форуме нашел похожую тему, viewtopic.php?t=7130 но все же есть один вопрос. Мне понятны доказательства бесконечности спектра ограниченного по времени сигнала, приведенные в топике выше, но в одной книге, а именно Теория сигналов. Л. Френкс. 1974. нашел такой довод.
Инженерам по электросвязи хорошо известно что невозможно получить сигнал, ограниченный и по времени и по частоте.
И, далее приводится следующий интеграл:

При этом утверждается что данный интеграл может быть равен нулю лишь при некоторых значениях частоты . И вот я никак не могу до конца осмыслить как правильно проанализировать этот интеграл. По моему мнению если например сигнал является на ограниченном интервале функцией общего вида (не четный и не нечетный) то интеграл в принципе не может быть равен нулю ни при каком значении . То есть видимо только при четном или нечетном сигнале возможен нуль на определенной частоте . Но вот никак не могу точно проанализировать функцию . Получается что она всегда общего вида ?? Или я неправ. Даже если по формуле Эйлера представить экспоненту непонятно как в получающейся разности двух интегралов получить нуль. Сразу оговорюсь вариант когда исходный сигнал тождественный нуль не рассматривается. Буду рад любой информации.

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 1053
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: О бесконечном спектре ограниченного сигнала.

Сообщение Бахурин Сергей »

если x(t) = 1 на интервале t0<t<t1, где t0 и t1 произвольные значения в интервале [-T T] (необязательно симметричные), а для других t вне интервала [t0 t1] x(t) = 0, то найдутся такие частоты f = n / (t1 - t0) при которых комплексная экспонента будет совершать точно целое число оборотов и интреграл будет равен 0.

PS пределы интегрирования можно расширить от -бесконенчности до бесконечности и получим выражение прямого преобразования Фурье.

SergeiSX
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 05 июн 2017, 17:56

Re: О бесконечном спектре ограниченного сигнала.

Сообщение SergeiSX »

Спасибо! Теперь понимаю. Сергей, а вот если сигнал будет например нечетной функцией на интервале [-T T], то при этом интеграл не будет достигать нуля ? Фактически, тот сигнал, который Вы описали - это прямоугольный импульс. Для него Вы привели отличное доказательство в другом топике, который я упоминал. Мне интересно именно понять будут ли частоты f, при которых нечетный или четный на интервале [-T T] сигнал под знаком интеграла приведет к равенству нулю сам интеграл? То есть как проанализировать этот интеграл, делая как можно меньше предположений о виде исходного сигнала? По свойствам нечетных функций данный интеграл будет равен нулю если подынтегральное выражение будет нечетной функцией. Это будет в том случае если либо сигнал будет нечетной функцией на интервале интегрирования а экспонента четной при некоторой частоте, либо наоборот сигнал четен а экспонента при некоторой частоте нечетная. Видимо я просто чего - то не улавливаю в поведении экспоненты...

SergeiSX
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 05 июн 2017, 17:56

Re: О бесконечном спектре ограниченного сигнала.

Сообщение SergeiSX »

Согласно формуле Эйлера функция от времени является функцией общего вида при f > 0. Поэтому есть ощущение что лишь при определенном виде сигнала, то есть при таком который Вы привели, можно произвести аналитическое интегрирование и определить частоты при которых результат будет нулевым.

Ответить