Спектральный анализ ограниченных во времени сигналов. Эффект растекания спектра

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Иллюстрация эффекта растекания спектра

Пусть имеется два синусоидальных сигнала с частотами f_0 = 200 Гц и f_1 = 220 Гц.

Произведем дискретизацию данных сигналов с частотой F_\textrm{s} = 1000 Гц и возьмем две выборки s_0(n) и s_1(n)n = 0 \ldots N-1 по N=25 отсчетов:

equation 1
(1)
Рассчитаем 25-точечные ДПФ сигналов s_0(n) и s_1(n), и получим два комплексных спектра S_0(k) и S_1(k)k = 0 \ldots N-1.

На рисунке 1a показаны дискретные сигналы s_0(n) и s_1(n), а на рисунке 1б их амплитудные спектры \left|S_0(k)\right| и \left|S_1(k)\right|.

Иллюстрация эффекта растекания спектра 
a — отсчеты сигналов  и ; б — амплитудные спектры
Рисунок 1. Иллюстрация эффекта растекания спектра
a — отсчеты сигналов s_0(n) и s_1(n); б — амплитудные спектры

Замечание. На рисунке 1б как и на всех рисунках ниже, амплитудный спектр сигнала приводится после перестановки спектральных отсчетов в интервале от - \frac{F_\textrm{s}}{2} до  \frac{F_\textrm{s}}{2}.

Индексы k= 0\ldots N-1 спектральных отсчетов пересчитаны в значения частоты f(k), которые приведены по оси абсцисс рисунка 1б. На рисунке 1 можно видеть, что амплитудный спектр \left|S_0(k)\right| содержит только гармоники на частотах f_0 = \pm 200 Гц, как мы и задавали в сигнале s_0(n).

Однако амплитудный спектр \left|S_1(k)\right| содержит множество гармоник, хотя для сигнала s_1(n) мы также задавали только одну частоту f_1 = 220 Гц. При этом значение амплитуд гармоник \left|S_1(k)\right| ниже амплитуды \left|S_0(k)\right|.

Таким образом, мы имеем эффект растекания спектра [1] (англ. spectral leakage) для сигнала s_1(n), который наглядно показан на рисунке 1.

В данном разделе мы проанализируем эффект растекания спектра в частотной и временно́й областях при ограничении длительности сигнала.

Анализ эффекта растекания спектра в частотной области

Рассматривая дискретно-временное преобразование Фурье мы говорили, что спектр S(\omega) дискретного сигнала s(n)n = 0 \ldots N-1 это 2\pi-периодическая функция нормированной циклической частоты \omega, определяема как:

equation 2
(2)
При этом ДПФ S(k) получатся путем дискретизации ДВПФ S\left( \omega \right) на сетке частот \omega_k = \frac{2\pi k}{N}, k = 0 \ldots N-1.

При расчете ДПФ мы получаем только значения дискретно-временного преобразования Фурье (2) для дискретной сетки частот \omega_k. Для того, чтобы получить более подробную информацию о ДВПФ S\left( \omega \right) необходимо дискретизировать S\left( \omega \right) на более частой сетке частот \omega_k = \frac{2\pi k}{N P}, k = 0 \ldots N  P-1, где P — целое число больше единицы. Например в вышеприведенном примере мы рассчитывали 25-точечные ДПФ, так для получения аппроксимации ДВПФ мы должны использовать 100-точечные ДПФ (P=4) при дополнении исходного сигнала нулями до длины NP отсчетов.

На рисунках 2 и 3 показаны сигналы z_0(n) и z_1(n), n = 0 \ldots N  P, которые представляют собой дополненные нулями до длины 100 отсчетов сигналы s_0(n) и s_1(n)n = 0 \ldots N. Также на рисунках 2 и 3 показаны амплитудные спектры Z_0(k) и Z_1(k), на сетке \omega_k = \frac{2\pi k}{N P}, k = 0 \ldots N  P-1, где P = 4. Квадратиками отмечены значения ДПФ S_0(k) и S_1(k) рассчитанные без добавления нулей в исходные сигналы.

ДПФ сигнала , дополненного нулями до длины 100 отсчетов
Рисунок 2. ДПФ сигнала s_0(n), дополненного нулями до длины 100 отсчетов

ДПФ сигнала , дополненного нулями до длины 100 отсчетов
Рисунок 3. ДПФ сигнала s_1(n), дополненного нулями до длины 100 отсчетов

Из рисунков 2 и 3 следует, что ДВПФ сигналов s_0(n) и s_1(n) имеют схожую форму, но сдвинуты по частоте. При этом в ДПФ сигнала s_0(n) не наблюдается растекания спектра ввиду того, что частота f_0 выбрана так, что дискретизация ДВПФ данного сигнала была произведена в нулях ДВПФ. Дискретизация ДВПФ сигнала s_1(n) производилась на боковых лепестках из-за сдвига частоты f_1 относительно f_0 на полбина ДПФ.

Представим сигналы z_0(n) и z_1(n) как произведение сигналов s_0(n) и s_1(n) согласно (1) при n = 0\ldots N  P-1 и сигнала w(n)n = 0\ldots N  P-1, называемого оконной функцией [2]:

equation 3
(3)
как это показано на рисунках 4 и 5 для сигналов z_0(n) и z_1(n)n = 0 \ldots N P-1, N = 25P = 4 соответственно.

Сигнал   как произведение  и оконной функции 
Рисунок 4. Сигнал z_0(n) как произведение s_0(n) и оконной функции w(n)

Сигнал   как произведение  и оконной функции 
Рисунок 5. Сигнал z_1(n) как произведение s_1(n) и оконной функции w(n)

В соответствии со свойствами ДПФ, спектр Z_0(k), сигнала z_0(n) можно представить как циклическую свертку ДПФ исходного сигнала S_0(k) и ДПФ оконной функции W(k)

equation 4
(4)
где символ \circledast означает циклическую (круговую) свертку спектров.

Графически ДПФ Z_0(k) и Z_1(k) сигналов z_0(n) и z_1(n), при n,k = 0 \ldots N P-1N = 25P = 4, ограниченных во времени оконной функцией w(n), как результат циклических сверток (4) приведены на рисунках 6 и 7.

Амплитудный спектра ограниченного во времени сигнала  как результат циклической свертки со спектром оконной функции
Рисунок 6. Амплитудный спектра ограниченного во времени сигнала z_0(n) как результат циклической свертки со спектром оконной функции

Амплитудный спектра ограниченного во времени сигнала  как результат циклической свертки со спектром оконной функции
Рисунок 7. Амплитудный спектра ограниченного во времени сигнала z_1(n) как результат циклической свертки со спектром оконной функции

Из анализа рисунков 6 и 7 можно сделать вывод, что растекание спектра повторяет по форме спектр оконной функции W(k), перенесенную на частоты несущих f_0 и f_1.

Анализ эффекта растекания спектра во временной области

В предыдущем параграфе мы проанализировали эффект растекания спектра в частотной области как результат дискретизации ДВПФ S\left( \omega \right) на фиксированной сетке частот \omega_k = \frac{2\pi  k}{N}k = 0 \ldots N-1. При этом мы наблюдали, что в некоторых случаях эффект растекания не проявляется ввиду дискретизации ДВПФ в частотных точках, соответствующих нулевым значениям ДВПФ S\left( \omega \right). В данном параграфе мы проанализируем это во временной области.

При рассмотрении дискретного преобразования Фурье мы отмечали, что дискретизация ДВПФ S\left( \omega \right) равнозначна периодическому повторению сигналов (1) во времени с периодом равным длине сигнала N. На рисунке 8 показаны исходные сигналы (толстая линия) s_0(n) и s_1(n), а также их периодические повторения с периодом N=25 отсчетов (тонкая линия).

Периодическое повторение выборок сигналов   и 
Рисунок 8. Периодическое повторение выборок сигналов s_0(n) и s_1(n)

Из рисунка  8 можно заметить, что на одном периоде повторения s_0(n) укладывается целое число периодов синусоидального сигнала с частотой f_0. В результате сам сигнал и его повторения «стыкуются в фазе» (отмечено прямоугольником) и представляют собой единый синусоидальный сигнал бесконечной длительности. Как результат мы не наблюдаем эффекта растекания спектра.

В случае сигнала s_1(n), на одном периоде повторения не укладывается целое число периодов синусоидального сигнала с частотой f_1. В результате, при стыковке мы можем видеть скачки фазы (отмечено прямоугольником), которые расширяют спектр, что мы и видим на выходе ДПФ.

Таким образом, эффект растекания возникает если на длине выборки сигнала не укладывается целое число периодов повторения сигнала. Очевидно, что обеспечить целое число периодов сигнала на ограниченной выборке можно лишь в некторых частных случаях. В общем случае для полосовых сигналов это невозможно. При этом встает вопрос: а насколько вреден эффект растекания?

Негативное влияние эффекта растекания спектра в цифровом спектральном анализе

В данном параграфе мы рассмотрим негативные эффекты которые возникают в результате растекания ДПФ.

Эффект 1. Искажение амплитуды спектрального отсчета. Гребешковые искажения спектра. На рисунке 1 были показаны амплитудные спектры сигналов s_0(n) и s_1(n) и мы наблюдали уменьшение максимального значения амплитудного спектра S_1(k) сигнала s_1(n). Далее мы показали, что значение амплитуд спектральных отсчетов зависят от соотношения частоты сигнала и частотной сетки дискретизации ДВПФ.

Пусть входной сигнал s(n) представляет собой гармонический комплексный сигнал вида s(n) = \exp(j n f_0 / F_{\textrm{s}}), где n = 0 \ldots N-1, размер выборки N = 25, а частота дискретизации F_{\textrm{s}} = 1 кГц,

Если менять частоту сигнала f_0, то максимальное значение \max\big(|S(k)|\big) амплитудного спектра |S(k)| будет изменяться, в зависимости от того, попадает ли частота сигнала на бин ДПФ или нет. В результате можно построить график зависимости максимального значения амплитудного спектра от частоты f_0, вид которого показан на рисунке 9 сплошной линией.

Гребешковые искажения спектра при изменении частоты входного гармонического сигнала
Рисунок 9. Гребешковые искажения спектра при изменении частоты входного гармонического сигнала

На рисунке приведены три амплитудных спектра, соответствующие частотам f_0 = 200, 212,  и 220 Гц. Можно видеть, что зависимость максимального значения амплитудного спектра от частоты исходного сигнала, вызванные растеканием спектра, имеют форму гребешка. Таким образом, искажение максимального значения амплитудного спектра, вызванные растеканием спектральных отсчетов носит название гребешковых искажений [1].

Гребешковые искажения вносят потери на обработку сигнала, потому что максимальная амплитуда спектрального отсчета может быть уменьшена до 0.635 (-3.94 дБ по мощности) от истинного значения. Однако суммарная мощность остается постоянной, потому что недостающая мощность растекается по соседним спектральным отсчетам.

Эффект 2. Уменьшение динамического диапазона спектрального анализа. Пусть имеется два входных сигнала s_0(n) и s_1(n), n = 0 \ldots N-1, содержащие N=100 отсчетов:

equation 5
(5)
где f_0=200 Гц, и f_1 = 205 Гц, f_2 = 300 Гц и F_\textrm{s} = 1000 Гц. Амплитуда гармоник с частотой f_2 в 50 раз (-34 дБ по мощности) ниже чем амплитуды гармоник с частотами f_0 и f_1. На рисунке 10 показаны оценки спектральной плотности мощности |S_0(k)|^2 и |S_1(k)|^2 в логарифмическом масштабе.

Уменьшение динамического диапазона спектрального анализа: 
	а — сигнал на частоте  Гц детектируется (нет растекания); 
	б — сигнал на частоте  Гц маскируется из-за растекания спектра
Рисунок 10. Уменьшение динамического диапазона спектрального анализа:
а — сигнал на частоте f_2=300 Гц детектируется (нет растекания);
б — сигнал на частоте f_2=300 Гц маскируется из-за растекания спектра

На рисунке 10а частоты гармоник f_0 и f_2 выбраны таким образом, что эффекта растекания спектра не наблюдается. В результате оценки спектральной плотности мощности |S_0(k)|^2 наблюдается 2 гармоники на частотах f_0=200 Гц и f_2=300 Гц. На рисунке 10б гармоника с частотой f_1=205 Гц боковыми лепестками маскируют гармонику с частотой f_2=300 Гц. Таким образом динамический диапазон спектрального анализа сокращен до 34 дБ за счёт эффекта растекания спектра данный пример наглядно иллюстрирует проблемы уменьшение динамического диапазона спектрального анализа в условиях растекания спектра.

Главный вывод который мы должны вынести из рассмотрения эффекта растекания при помощи вышеизложенных примеров заключается в том, что каждый отсчет ДПФ несет информацию не об амплитуде сигнала соответствующей частоты, но о мощности сигнала в некоторой полосе в окрестности частоты, соответствующей гармоники ДПФ.

При этом растекание спектра приводит к взаимному влиянию спектральных отсчетов ДПФ друг на друга, искажая амплитуды гармоник и маскируя сигналы под боковыми лепестками других гармоник.

В следующих разделах мы будем анализировать эффект растекания более детально и рассмотрим пути уменьшения влияния эффекта растекания спектра при цифровом спектральном анализе.

Смотри также

Дискретно-временное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Связь ДПФ и ДВПФ. Ядро Дирихле
Индексация и перестановка спектральных отсчетов дискретного преобразования Фурье
Линейная и циклическая свертка

странице обсуждения статьи

Список литературы
[1] Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, ООО «Бином-Пресс», 2006, 656 c.

[2] Harris F. On the Use of Windows for Harmonic Analysis With the Discrete Fourier Transform Proceedings of the IEEE, Jan. 1978, Vol. 66, Num. 1, 51–83

[3] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

[4] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[5] Рабинер, Л., Гоулд, Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Москва, Мир, 1978. 848 с.

[6] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:24:02)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14