Спектр сигналов с угловой модуляцией
![]() DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
|
В данной статье речь
пойдет о спектре сигнала с угловой модуляцией. Сначала рассмотрим
однотональную угловую модуляцию, после чего рассмотрим более общий
случай при произвольном модулирующем сигнале. Необходимо отметить,
что в аналитическом виде можно получить выражение для спектра только
в случае однотональной угловой модуляции.
Предварительно приведем
некоторые математические соотношения из теории функций Бесселя и
комплексных чисел, которые будут нам необходимы при анализе.
В
математике доказывается, что функция
раскладывается
в бесконечный ряд:
![]()
|
(1) |
где



- мнимая единица.
Аналогично функция
представляется рядом:
![]()
|
(2) |
Функции Бесселя также удовлетворяют соотношению:
![]()
|
(3) |
Вспомним из теории комплексных функций что:
![]()
|
(4) |
Итак, переходим к сигналам
с угловой модуляцией. Сигнал с фазовой модуляцией может быть
представлен выражением:
![]()
|
(5) |
где







![]()
|
(6) |
Учтем в (6) разложение (1) получим:
![]()
|
(7) |
Разложим на три суммы:
![]()
|
(8) |
Первое слагаемое (8) может быть представлено с учетом выражений (3) и (4):
![]()
|
(9) |
Тогда
![]()
|
(10) |
Представим экспоненты по формуле и Эйлера раскроем скобки:
![]()
|
(11) |
Возьмем теперь реальную часть:
![]()
|
(12) |
Теперь разбираемся. Спектр
бесконечен и состоит из гармоник кратных частоте модулирующего
сигнала
вправо и влево от центральной частоты. Амплитуды гармоник зависят от
индекса модуляции
.
При этом пять слагаемых показывают поведение спектра.
Первое
слагаемое показывает, что амплитуды четных гармоник
ниже центральной частоты равны
,
при этом фаза этих гармоник равна
,
при этом каждая четвертая гармоника, начиная со второй
(2,6,10,14,18... гармоники) приобретает сдвиг на
из-за множителя
.
Амплитудный и фазовый спектры для первого слагаемого сигнала
представлены на рисунке 1 малиновым цветом.
Второе слагаемое
показывает амплитуды и фазы нечетных гармоник
ниже центральной частоты. Амплитуды нечетных гармоник ниже
центральной частоты равны
,
а фазы
.
Сдвиг фазы на
из-за того, что во вторую сумму входят синусы, а не косинусы. Как и в
первом слагаемом каждая четвертая гармоника, начиная с первой
(1,5,9,13,17...) приобретает сдвиг на
из-за множителя
.
Амплитудный и фазовый спектры для второго слагаемого сигнала
представлены на рисунке 1 синим цветом.
Третье слагаемое показывает
гармонику несущей частоты. Ее амплитуда
,
фаза
.
На рисунке 1 гармоника центральной частоты — черная.
Четвертое слагаемое показывает амплитуды и фазы четных гармоник
выше центральной частоты . Амплитуды такие же как и у четных гармоник
ниже центральной частоты, а фазы равны
,
причем уже известный множитель
сдвигает каждую четвертую фазу на
,
начиная со второй. На рисунке 1 гармоники четвертого слагаемого
показаны красным цветом.
И наконец последнее пятое слагаемое
соответствует нечетным гармоникам выше центральной. Амплитуды те же
что и у нечетных гармоник ниже центральной частоты, фазы равны
.
Сдвиг фазы на
из-за того, что в сумму входят синусы, а не косинусы, ну и конечно же
каждая четвертая гармоника сдвинута на
начиная с первой. На рисунке 1 гармоники пятого слагаемого показаны
зеленым.

Рисунок1: Амплитудный и фазовый спектры сигнала с фазовой модуляцией при m = 10
Несколько комментариев к рисунку 1. Полоса сигнала с угловой модуляцией по уровню 0,5 (-3 дБ) зависит от индекса модуляции и частоты модулирующего сигнала:
![]()
|
(13) |
где




Рисунок2: Фазовый спектр с учетом периодичности фазы
При этом полученный спектр с однотональной фазовой модуляцией при частоте модулирующего сигнала



Пусть имеется модулирующий сигнал с частотой 10 кГц.
![]()
|
(14) |
Рассмотрим два сигнала





Амплитудные спектры FM и PM сигналов при данных параметрах приведены на рисунке 3.
Рисунок3: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 10 кГц
Амплитудные спектры получились одинаковые, так как при заданных параметрах FM сигнала получаем девиацию фазы FM сигнала как у PM


Теперь уменьшим частоту модулирующего сигнала в 2 раза, то есть

Рисунок4: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 5 кГц
Спектры изменились. Давайте разберемся. Шаг между гармониками уменьшился в 2 раза (по сравнению с рисунком 3), так как шаг между гармониками равен частоте модулирующего сигнала, а она уменьшилась в 2 раза.
Поскольку при FM задается девиация частоты, то полоса FM сигнала не изменилась по сравнению с полосой FM сигнала на рисунке 3. Поскольку девиация частоты и девиация фазы связаны соотношением

Действительно, количество гармоник в полосе сигнала FM увеличилось в 2 раза. В PM, наоборот, задается девиация фазы, то есть количество гармоник в спектре, поэтому при уменьшении расстояния между гармониками девиация частоты PM сигнала уменьшается, в данном случае в 2 раза по сравнению с рисунком 3. Спектр PM как бы сжался по оси частот, не изменив формы, а спектр FM наоборот приобретает больше гармоник. Если же еще уменьшить частоту модулирующего колебания например до 2 кГц, то спектр FM останется таким же широким, так как девиация частоты не изменилась, но будет еще более насыщен гармониками, так как девиация фазы будет равна


Рисунок5: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 2 кГц
В случае однотональной
угловой модуляции спектр сигнала симметричен, однако в общем случае
спектр сигнала с угловой модуляцией не является симметричным.
Симметричность спектра возникает в том случае, когда форма
модулирующего сигнала сверху и снизу будет одинакова на рисунке
приведен пример модулирующего сигнала, угловая модуляция которого
приведет к несимметричному относительно центральной частоты спектру.
В обоих случаях центральная частота равна 200кГц.
Рисунок6: Несимметричный спектр FM и PM сигнала
Из рисунка явно видно, что спектры FM и PM сигналов несимметричны относительно 200 кГц, также формы спектров явно различаются. Несимметричность спектров сигналов с угловой модуляцией приводит к тому, что невозможно осуществить однополосную угловую модуляцию.
Таким образом, мы получили аналитическое выражение для спектра сигнала с угловой модуляцией рассмотрели разницу FM и PM сигналов при изменении частоты модулирующего сигнала, а также показали несимметричность спектра сигнала с угловой модуляции при произвольном модулирующим сигнале.