Сигналы с угловой модуляцией. Частотная (FM) и фазовая (PM) модуляция

Введение Полная фаза и мгновенная частота. Сигналы с угловой модуляцией Девиация частоты и фазы Структурные схемы PM и FM модуляторов Векторное представление комплексной огибающей сигналов с угловой модуляцией Выводы Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge

При рассмотрении полосовых радиосигналов было введено понятие полосового сигнала в виде

(1)

где - комплексный сигнал, - комплексная огибающая радиосигнала. Также было показано, что при управлении в соответствии с модулирующим сигналом амплитудой полосового радиосигнала получим различные разновидности амплитудной модуляции при неизменной . В данной статье мы рассмотрим класс сигналов с угловой модуляцией, у которых будет изменятся фаза радиосигнала, а амплитуда остается постоянной.

Для начала вспомним понятие полной фазы радиосигнала

(2)

а также понятие мгновенной частоты радиосигнала, как производной от полной фазы:

(3)

Сигналы, у которых изменяется полная фаза в соответствии с модулирующим сигналом называются сигналами с угловой модуляцией.

Для начала рассмотрим сигналы с фазовой модуляцией (phase modulation PM). У сигналов с PM полная фаза изменяется в соответствии с модулирующим сигналом:

(4)

где называется индексом фазовой модуляции или девиацией фазы, а модулирующий сигнал по модулю не превосходит единицы

Тогда комплексная огибающая PM сигнала имеет вид:

(5)

а сам радиосигнал может быть представлен следующим образом:

(6)

Теперь рассмотрим сигнал с частотной модуляцией (frequency modulation FM). В отличии от PM при частотной модуляции происходит изменение мгновенной частоты радиосигнала:

(7)

где называется индексом частотной модуляции или девиацией частоты, а модулирующий сигнал по модулю не превосходит единицы Тогда полную фазу радиосигнала можно рассчитать как интеграл от мгновенной частоты:

(8)

Сигнал с FM имеет вид:

(9)

где - произвольная постоянная интегрирования полной фазы (8). Обратите внимание, что абсолютно не верно подставлять выражение для мгновенной частоты вместо несущей частоты в выражение для полосового сигнала:

(10)

так как Правильным является выражение (9)!

Поясним смысл девиации частоты и фазы. При PM задается девиация фазы, которая показывает максимальное фазовое отклонение модулированного сигнала относительно несущего колебания при этом при PM отклонение мгновенной частоты от несущей частоты не регулируется, а определяется частотой модулирующего сигнала. При FM задается девиация частоты, то есть максимальное отклонение мгновенной частоты от частоты сигнала вне зависимости от частоты модулирующего сигнала. Отклонения фазы при этом будут такие, какие необходимы для заданной девиации частоты. Рассмотрим вышесказанное на примере однотональной угловой модуляции при , где - частота модулирующего сигнала, - начальная фаза модулирующего сигнала. Заметим, что . Тогда сигнал с фазовой модуляцией:

(11)

А сигнал с однотональной частотной модуляцией имеет вид

(12)

Тогда сравнивая (11) и (12) учтя что при соответствующих значениях может переходить в косинус, можно сделать вывод, что при однотональной угловой модуляции девиация частоты и фазы связаны соотношением:

(13)

Можно сделать вывод: при FM, когда задана девиация частоты , девиация фазы будет тем больше чем меньше частота модулирующего колебания. И наоборот при PM и фиксированной девиации фазы , девиация частоты будет тем больше, чем больше . Рассмотрим это на примере. Пусть сигнал с FM и задана девиация частоты , частота модулирующего сигнала , тогда девиация фазы при заданных частотах будет равна Теперь уменьшим частоту модулирующего сигнала в 10 раз до , тогда при той же заданной частоте девиации девиация фазы увеличится в 10 раз до значения Таким образом, при фиксированной девиации частоты, девиация фазы увеличивается с уменьшением частоты модулирующего сигнала. Увеличение девиации фазы можно пояснить так: частота сигнала уменьшилась, а требуемое частотное отклонение осталось неизменным и для того чтобы получить тоже частотное отклонение необходимо поворачивать фазу несущего колебания на бОльший угол. Пусть теперь сигнал с PM и уже задана девиация фазы , тогда при получим девиацию частоты , но при увеличении частоты модулирующего сигнала в 10 раз получим увеличение девиации частоты в 10 раз до . Думаю, данный пример понятен. Если остались вопросы по вышесказанному, прошу на форум . Мы же перейдем к схемам формирования сигналов с угловой модуляцией.

Для этого рассмотрим комплексные огибающие сигналов PM и FM и воспользуемся универсальным квадратурным модулятором. Комплексная огибающая сигналов c PM представлена выражением (5), из которого следуют следующие квадратурные составляющие:

(14)

Тогда PM модулятор на базе универсального квадратурного модулятора может быть представлен следующим образом (рисунок 1).

На вход подается модулирующий сигнал, который нормируется по амплитуде, так чтобы амплитуда не превышала единицы. Затем сигнал усиливается в раз, тем самым задается девиация фазы, затем формируется комплексная огибающая согласно выражению (14), и наконец квадратурный модулятор формирует радиосигнал. Усилитель - вынесен на выход, он усиливает радиосигнал до нужного уровня.

Комплексная огибающая FM имеет вид:

,

(15)

Тогда

(16)

Схема FM модулятора (рисунок 2) очень похожа на схему PM модулятора (рисунок 1):

Отличие схемы FM модулятора от схемы PM заключается в том, что нормированный модулирующий сигнал интегрируется, и усилитель задает не девиацию фазы , а девиацию частоты . Если модулирующий сигнал нормирован по амплитуде тогда формировать PM сигнал можно при помощи FM модулятора, а FM сигнал при помощи PM модулятора, как это показано на рисунке 3.

Рассмотрим формирование FM сигнала при помощи PM модулятора. Входной сигнал нормируется потом интегрируется, затем подается на вход PM модулятора, выделенного желтым на рисунке 1. В качестве девиации фазы в PM модулятор вводится значение девиации частоты и на выходе будет FM сигнал. Теперь рассмотрим формирование PM сигнала при помощи FM модулятора. В FM модуляторе нормированный сигнал интегрируется, однако этого не требуется в PM модуляторе. Поэтому предварительно нормированный модулирующий сигнал дифференцируется. Таким образом, последовательное дифференцирование и интегрирование не изменяют нормированный модулирующий сигнал. В качестве девиации частоты в FM модулятор вводится девиация фазы .

Рассмотрим теперь векторное представление комплексной огибающей сигналов с угловой модуляцией. Из выражения (5) комплексной огибающей PM сигнала следует, что вектор имеет постоянную амплитуду, и изменяет свой угол поворота в соответствии с модулирующим сигналом. Поскольку сигнал нормирован, то есть или то можно сказать, что модуль максимального угла отклонения вектора комплексной огибающей равен девиации фазы . При вектор вычерчивает дугу (рисунок 4 а). При вектор вычерчивает окружность (рисунок 4 б), а при вектор может делать несколько оборотов (рисунок 4 в).

Скорость вращения вектора задается модулирующим сигналом. Векторная диаграмма комплексной огибающей FM сигнала качественно не отличается от векторной диаграммы комплексной огибающей PM сигнала. Отличие заключается в том что максимальный угол поворота вектора равный девиации фазы изменяется в зависимости от частоты входного сигнала согласно выражению (13). При низкочастотном входном сигнале, когда , согласно (13) и вектор комплексной огибающей FM сигнала отклоняется на угол , совершая при этом множество оборотов.

В конце приведем осциллограммы PM и FM сигналов (рисунок 5).

Из рисунка 5 следует, что максимальная частота несущего колебания при PM будет при максимальной производной модулирующего сигнала (в районе 75 и 175 мкс), а минимальная частота сигнала с PM будет при минимальной отрицательной производной модулирующего сигнала (в районе 25, 125 и 225 мкс). При FM максимальная частота сигнала соответствует максимальному значению модулирующего сигнала (в районе 100 и 200 мкс), а минимальная частота будет при минимальном отрицательном значении модулирующего сигнала (в районе 50 и 150 мкс).

Таким образом, мы рассмотрели фазовую PM и частотную FM модуляции, показали их взаимосвязь. Получены выражения для комплексной огибающей PM и FM. Рассмотрены параметры угловой модуляции девиация частоты и фазы и показана их взаимосвязь. Приведены структурные схемы PM и FM модуляторов на базе универсального квадратурного модулятора.