Использование оператора Лапласа для описания электрических цепей переменного тока

Содержание

Введение

Функции комплексного сопротивления и передаточные характеристики четырехполюсников

Свойства передаточных функций аналоговых четырехполюсников

Условия физической реализуемости передаточных характеристик

Выводы

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Введение

В предыдущем разделе мы рассмотрели выражения для прямого и обратного преобразования Лапласа, а также его некоторые свойства. Мы говорили, что преобразование Лапласа ставит в соответствие вещественному сигналу x(t) его образ $X(s) = \mathcal{L}\big[ x(t) \big]$ , который определяет разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент, где $s = \sigma + j\omega$ — комплексная переменная, $\mathcal{L}\big[ \bullet \big]$ — оператор преобразования Лапласа.

В данном разделе мы рассмотрим использование аппарата преобразования Лапласа для описания цепей переменного тока, и рассмотрим понятие комплексного сопротивления двухполюсника Z(s) и передаточной характеристики четырехполюсника H(s) . Мы также рассмотрим понятие комплексного коэффициента передачи $H(j \omega)$ , а также амплтудно- и фазочастотных характеристик фильтра.

Функции комплексного сопротивления и передаточные характеристики четырехполюсников

Рассмотрим следующий пример (рисунок 1):

Рисунок 1. Замкнутый контур с сосредоточенными элементами RLC

Пусть имеется одиночный замкнутый контур с сосредоточенными элементами: сопротивление (Ом), индуктивность (Гн) и емкость (Ф). В контуре имеется источник электродвижущей силы $e\left( t \right)$ , который создает в контуре переменный ток $i\left( t \right)$ . Падение напряжения на элементах цепи , и равно:

(1)

Тогда, согласно закону Кирхгофа, суммарное падение напряжения равно электродвижущей силе $e\left( t \right)$ :

(2)

Таким образом, для анализа тока i(t)

, возникающего в контуре, необходимо решить интерго-дифференциальное уравнение (2). Это очень трудоемкая задача, и аналитически не всегда возможная. Однако, если мы перейдем к преобразованию Лапласа от правой и левой частей уравнения (2), то получим:

(3)

и (2) можно представить в операторном виде:

(4)

Вынесем образ тока $I\left( s \right)$ за скобки:

(5)

Таким образом, мы перешли от интегро-дифференциального уравнения к алгебраическому $Z\left( s \right) I\left( s \right)=E\left( s \right)$ , которое можно трактовать как закон Ома в операторном виде. Здесь $E\left( s \right)$ – образ исходной электродвижущей силы $e\left( t \right)$ , $I\left( s \right)$ – образ тока $i\left( t \right)$ , а $Z\left( s \right)$ называется комплексным сопротивлением (импедансом), которое полностью характеризует исходную цепь.

Тогда можно заменить рисунок 1 как источник ЭДС $e\left( t \right)$ , который нагружен на двухполюсник $Z\left( s \right)$ , как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Замещение контура комплексным сопротивлением Z(s)

Если мы выведем клеммы с емкости и будем измерять падение напряжения u_C(t) , то в терминах преобразования Лапласа:

(6)

где $H\left( s \right)$ – передаточная функция четырехполюсника, как это показано на рисунке 3

Рисунок 3. Замена четырехполюсника передаточной функцией H(s)

В данном примере, передаточная функция $H\left( s \right)$ – безразмерная величина, характеризующая отношение образов выходного напряжения ${{U}_{C}}\left( s \right)$ к образу исходной ЭДС $E\left( s \right)$ .

Обратим внимание, что согласно (6) преобразование Лапласа ${{U}_{C}}\left( s \right)$ выходного напряжения четырехполюсника равно произведению передаточной функции $H\left( s \right)$ и преобразования Лапласа исходной ЭДС $E\left( s \right)$ . Тогда перейдя во временную область, используя свойства преобразования Лапласа, можно заключить, что напряжения ${{u}_{C}}\left( t \right)$ на выходе фильтра равно свертке входной ЭДС $e\left( t \right)$ и обратного преобразования от $H\left( s \right)$ :

(7)

Характеристика $h\left( t \right)$ представляет собой обратное преобразование от передаточной функции H(s)

, и называется импульсной характеристикой фильтра.

Аналогично для двухполюсника согласно (5), $I\left( s \right)={E\left( s \right)}/{Z\left( s \right)}\;$ и ток в контуре $i\left( t \right)$ есть свертка исходной ЭДС $e\left( t \right)$ и обратного преобразования Лапласа от функции комплексной проводимости $Y(s) = \frac{1}{Z\left( s \right)}$ :

(8)

Свойства передаточных функций аналоговых четырехполюсников

Рассмотрим свойства передаточной функции H(s) аналогового четырехполюсника на примере H(s) показанной на рисунке 3:

(9)

Передаточная функция H(s) представляет собой рациональную функцию комплексной переменной c положительными вещественными коэффициентами (номиналы , и положительные вещественные)

Отметим, что любой двухполюсник или четырехполюсник, который состоит из сосредоточенных элементов RLC может быть описан комплексным сопротивлением или передаточной функцией $H\left( s \right)$ вида [1]:

(10)

с вещественными коэффициентами ${{b}_{n}}$ и ${{a}_{m}}$ .

Из курса теории функций комплексной переменной [2] известно, что функции вида (10) являются аналитическими и могут быть полностью описаны как:

(11)

где ${{\zeta}_{n}}$ — нули $H\left( s \right)$ , т.е. корни полинома числителя $P\left( s \right)$ , а ${{\rho}_{m}}$ — полюсы $H\left( s \right)$ , т.е. корни полинома знаменателя $Q\left( s \right)$ .

Мы уже отмечали, что сигнал u_C(t) на выходе четырехполюсника описывается сверткой исходного сигнала e(t) и импульсной характеристикой фильтра h(t) , согласно (7). При этом

(12)

представляет собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики h(t)

Также заметим, что при $\sigma =0$ , $s=j\omega$ , т.е. выражение (12) преобразуется к виду:

(13)

Таким образом, $H\left( j\omega \right)$ ничто иное, как преобразование Фурье импульсной характеристики $h\left( t \right)$ , в предположении, что $h\left( t \right)=0$ при t<0

(данное предположение выполняется в силу принципа причинности, т.е. реакция физической системы не может наступать раньше воздействия).

Полученная характеристика $H\left( j\omega \right)$ носит название комплексного коэффициента передачи. Величина $\omega$ имеет смысл циклической частоты, а сам комплексный коэффициент передачи $H\left( j\omega \right)$ характеризует избирательные свойства фильтра с передаточной характеристикой $H\left( s \right)$ в частотной области.

Коэффициент передачи $H\left( j\omega \right)$ также является комплексным и может быть представлен в виде:

(14)

где $\left| H\left( j\omega \right) \right|$ — амплитудно-частотная характеристика фильтра (АЧХ), а $\Phi \left( \omega \right)$ — фазочастотная характеристика (ФЧХ):

(15)

Комплексную переменную можно отобразить на плоскости, тогда реальную и мнимую части $\operatorname{Re}\big( H\left( s \right) \big)$ и $\operatorname{Im}\big( H\left( s \right) \big)$ можно отобразить на 3-мерном графике, как это показано на рисунке 4.

3-мерное представление передаточной характеристики и сечение плоскостями и

Рисунок 4. 3-мерное представление передаточной характеристики H(s)

и сечение

плоскостями

и $\sigma = 0$

На 3-мерном рисунке 4 можно выделить горизонтальную плоскость $s=\sigma +j\omega$ , в которой можно отобразить нули и полюсы $H\left( s \right)$ (показаны крестиками), а также вертикальную плоскость $\sigma =0$ , в которой будет располагаться комплексный коэффициент передачи $H\left( j\omega \right)$ , который можно представить двумерными графиками $\operatorname{Re}\big( H\left( j\omega \right) \big)$ и $\operatorname{Im}\big( H\left( j\omega \right) \big)$ , или графиками АЧХ $\left| H\left( j\omega \right) \right|$ и ФЧХ $\Phi \left( \omega \right)$ в соответствии с (15)

Ранее мы уже анализировали цепь, представленную на рисунке 3, и получили для нее выражение передаточной характеристики (9). На рисунке 5 показан 3-мерный график модуля $\left| H\left( s \right) \right|$ , в зависимости от комплексной переменной $s=\sigma +j\omega$ . В плоскости крестиками показаны полюсы $H\left( s \right)$ для значений R=1 (Ом), L=2 (Гн) и C=0.5 (Ф).

Рисунок 5. Пример 3-мерного графика |H(s)|

В сечении вертикальной плоскостью $\sigma =0$ имеем АЧХ $\left| H\left( j\omega \right) \right|$ контура (толстая сплошная линия). Приведенный график наглядно показывает связь частотных характеристик фильтра и его передаточной функции $H\left( s \right)$ , определяемой полюсами в комплексной плоскости .

Условия физической реализуемости передаточных характеристик

Ранее мы рассмотрели использование аппарата преобразования Лапласа для анализа цепей переменного тока. Мы показали, что пассивный RLC двухполюсник может описан функцией комплексного сопротивления Z(s) или комплексной проводимости Y(s) , а пассивный четырехполюсник может быть описан передаточной характеристикой H(s) . При этом функции Z(s) , Y(s) и H(s) представляют собой дробно-рациональные функции вида

(16)

где

– вещественные неотрицательные коэффициенты.

Однако, несмотря на то, что любой RLC четырехполюсник может быть представлен передаточной функцией H(s) вида (16), отнюдь не любая функция (16) может быть реализована в виде пассивного RLC четырехполюсника.

В данном разделе мы рассмотрим условия физической реализуемости, которым должна удовлетворять передаточная функция H(s) , чтобы быть реализованной в виде пассивного RLC четырехполюсника.

Среди всех возможных дробно-рациональных функций (16) выделяют особый класс функций, которые удовлетворяют следующим условиям:

вещественна при вещественном аргументе ;
$\operatorname{Re} \big[ H(s)\big] \geq 0$ если $s\geq 0$ .

Такие функции называют положительными вещественными [1].

В своих исследованиях О. Бруне [3] доказал, что передаточная характеристика H(s) любого пассивного четырехполюсника с сосредоточенными элементами RLC является положительной вещественной функцией. Также было доказано, что любая положительная вещественная передаточная функция H(s) может быть реализована в виде пассивного четырехполюсника.

Первое условие выполняется если все коэффициенты b_n и a_m являются вещественными. Проверить второе условие в общем случае довольно сложно, однако для передаточных функций вида (16) выработаны критерии проверки второго условия положительных вещественных функций (16):

Разность высших степеней полиномов и не должна превышать единицы, если $P(s) \neq \operatorname{const}$ ;
Разность низших степеней полиномов и также не должна превышать единицы;
Коэффициенты и являются вещественными неотрицательными;
Все нули и полюсы передаточной характеристики должны располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости или на мнимой оси $j \omega$ ;
Все нули и полюсы на мнимой оси $j \omega$ должны быть простыми (некратными).

Разность высших и низших степеней полиномов числителя и знаменателя вытекает из условия некратности нулей и полюсов на мнимой оси $j \omega$ .

Для того чтобы понять необходимость условия 4 рассмотрим следующий пример. Пусть передаточная функция H(s) задана выражением (16), при этом дробь правильная, т.е. степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя . Тогда разложив полиномы числителя и знаменателя на множители получим представление (16) в виде:

(17)

где ${{\zeta}_{n}}$ – нули $H\left( s \right)$ , т.е. корни полинома числителя $P\left( s \right)$ , а ${{\rho}_{m}}$ – полюсы $H\left( s \right)$ , т.е. корни полинома знаменателя $Q\left( s \right)$ .

Предположим, что все полюсы ${{\rho}_{m}}$ простые, тогда правильную рациональную дробь можно представить суммой вида [4, стр. 203]:

(18)

где $A_m = \frac{P(\rho_m)}{Q'(\rho_m)}$ – конечное, в общем случае комплексное число, $Q'(\bullet)$ – производная полинома знаменателя Q(s)

Перейдем от передаточной характеристики H(s) к временно́й импульсной характеристике h(t) . Для этого возьмем обратное преобразование Лапласа:

(19)

Известно, что импульсная характеристика представляет собой реакцию фильтра на бесконечно короткое воздействие. Поэтому h(t)

не должна носить возрастающий во времени характер. В противном случае, сумма возрастающих комплексных экспонент приведет к тому, что всей энергии Вселенной не хватит для поддержания экспоненциального роста h(t)

Таким образом, можно сделать вывод, что если все полюсы ${{\rho}_{m} = \sigma_m + j \omega_m}$ простые, то они не должны располагаться в правой полуплоскости . При этом если полюсы расположены в левой полуплоскости, то $\sigma_m < 0$ и имеет место затухающая импульсная характеристика (19). Если же полюс расположен на мнимой оси, т.е. $\sigma_m = 0$ и h(t) содержит незатухающие компоненты $\exp(j \omega_m)$ .

Рассмотрим теперь, что произойдет, если передаточная функция H(s) имеет полюс кратности два. Это означает, что разложение H(s) в сумму простейших дробей будет иметь вид [4, стр. 203]:

(20)

где

– некоторая константа, а $\rho_M$ – полюс кратности два.

Тогда использую таблицу преобразований Лапласа [5, стр. 262], импульсную характеристику h(t) можно представить:

(21)

Из выражения (21) следует, что наличие кратного полюса $\rho_M = \sigma_M + j \omega_M$ на мнимой оси недопустимо, потому что наличие множителя

снова приведет к бесконечному линейному росту колебания $\exp(j \omega_M)$ .

Таким образом мы обосновали необходимость условия 5, которое требует, чтобы полюсы на мнимой оси $j \omega$ комплексной плоскости были простыми.

Замечание 1

При увеличении кратности

полюса $\rho_M = \sigma_M + j\omega_M$ на мнимой оси, множитель

согласно свойствам преобразования Лапласа будет переходить в $Bt^{n-1}$ , что приведет к еще более быстрому росту компонент $Bt^{n-1}\exp(\omega_M t)$ во времени.

Замечание 2

Наличие полюсов $\rho_M = \sigma_M + j\omega_M$ кратности

в левой полуплоскости (при $\sigma_M<0$ ) вполне допустимо, поскольку экспоненциальное затухание $\exp(\sigma_M t)$ компоненты $Bt^{n-1} \exp(\sigma_M t) \exp(j\omega_M)$ быстрее любого степенного возрастания $Bt^{n-1}$ .

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели использование аппарата преобразования Лапласа для описания цепей переменного тока. Мы произвели переход от интегро-дифференциальных уравнений во времени к алгебраическим уравнениям в Лаплас-образах от токов и напряжений в контуре. В результате были введены понятия комплексного сопротивления двухполюсника и передаточной функции четырехполюсника.

Также произведен анализ некоторых свойств передаточных функций аналоговых четырехполюсников, введено понятие амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики фильтра. Особое внимание уделено геометрической трактовке передаточной функции и ее параметров как 3-мерной функции и приведены характеристики фильтра как сечения 3-мерной функции различными плоскостями.

Особое внимание уделено вопросам физической реализуемости передаточных характеристик аналоговых фильтров. Были приведены условия физической реализуемости передаточной характеристики фильтра с использованием пассивных RLC компонент.

Список литературы

[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва, Наука, 1967, 304 с.

[3] Brune O. Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency. PhD thesis. Massachusetts Institute of Technology, 1931.

[4] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[5] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[6] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[7] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[8] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:43:11)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14