Преобразование Лапласа и его свойства

Содержание

Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент

Обратное преобразование Лапласа

Некоторые свойства преобразования Лапласа

Выводы

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент

Ранее мы рассмотрели преобразование Фурье сигнала $x\left( t \right)$ :

(1)

где $X\left( \omega \right)$ — спектральная плотность сигнала $x\left( t \right)$ , $\mathcal{F}[ \bullet ]$ и $\mathcal{F}^{-1}[ \bullet ]$ — операторы прямого и обратного преобразования Фурье соответственно.

Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала сигнала $x\left( t \right)$ , т.е. сходимость интеграла:

(2)

При рассмотрении преобразования Фурье предполагается, что время

измеряется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Кроме того (2) сужает класс сигналов, для которых существует преобразование Фурье.

С другой стороны, все физические процессы имеют начало, поэтому мы можем считать, что исходный сигнал $x\left( t \right)$ определён на положительном интервале времени, т.е $x\left( t \right)=0$ , при $t\le 0$ .

Для того, чтобы предотвратить расхождение интеграла (2) умножим входной сигнал $x\left( t \right)$ на ${{\exp }({-\sigma t})}$ , где $\sigma$ — вещественная величина. Рассмотрим преобразование Фурье ${{X}_{\sigma }}\left( \omega \right)$ полученного сигнала:

(3)

Очевидно, ${{X}_{\sigma }}\left( \omega \right)$ зависит от параметра $\sigma$ . Тогда ${{X}_{\sigma }}\left( \omega \right)$ можно трактовать как функцию двух вещественных переменных $X\left( \sigma ,\omega \right)$ или как функцию одной комплексной переменной $X\left( \sigma +j\omega \right)$ . Обозначив $s = \sigma +j\omega$ получим:

(4)

Выражение (4) представляет собой разложение $x\left( t \right)$ по системе затухающих комплексных экспонент $\exp \big(\left( \sigma +j\omega \right)t\big)$ , которое носит название преобразования Лапласа, где $\mathcal{L}[ \bullet ]$ — оператор преобразования.

Исходный сигнал x(t) называют оригиналом, а X(s) — образом, или изображением оригинала.

Обратное преобразование Лапласа

Обратное преобразование Фурье (3) от ${X}_{\sigma }(\omega)$ имеет вид:

(5)

Умножим левую и правую части (5) на ${{\exp }({\sigma t})}$ , получим:

(6)

Учтём, что ${{X}_{\sigma }}\left( \omega \right)=X\left( \sigma +j\omega \right)=X\left( s \right)$ , изменим переменную интегрирования с $\omega$ на

(7)

При этом верхний и нижний пределы интегрирования равны:

(8)

Окончательно (6) с учётом 7 и (8):

(9)

Выражение (9) определяет обратное преобразование Лапласа, которое обозначается оператором $\mathcal{L}^{-1}[ \bullet ]$ .

Некоторые свойства преобразования Лапласа

Свойство линейности

Пусть сигнал $x\left( t \right)=a\left( t \right)+b\left( t \right)$ . Тогда преобразование Лапласа X(s)

(10)

Следствием (10) является умножение на константу:

(11)

Свойство подобия (масштабирование по аргументу)

Пусть сигнал $x\left( t \right)$ имеет образ $X\left( s \right)$ . Тогда изображение масштабированного во времени сигнала $x\left( at \right)$ равно:

(12)

Аналогично можно показать , что масштабирование образа по аргументу $X\left( as \right)$ приводит к оригиналу вида:

(13)

Преобразование Лапласа задержанного сигнала

Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала $x\left( t-\Delta t \right)$ , задержанного во времени на положительную величину $\Delta t>0$ .

(14)

Важно отметить, что (14) справедливо, если задержка $\Delta t$ положительна, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Пример положительной и отрицательной
задержки сигнала

Если же задержка отрицательна, то :

(15)

Аналогичное свойство смещения образа:

(16)

Таким образом, смещение образа $X\left( s+a \right)$ на произвольное комплексное

приводит к умножению сигнала на ${{\exp }({-at})}$ .

Свойство дифференцирования оригинала и образа

Пусть дан сигнал $x\left( t \right)$ и его преобразование Лапласа равно $X\left( s \right)$ . Рассмотрим преобразование Лапласа производной сигнала ${x}'\left( t \right) = \frac{dx(t)}{dt}$ :

(17)

Применяя правило интегрирования по частям :

(18)

где $x\left( 0 \right)$ — значение сигнала при t=0

. Если функция $x\left( t \right)$ при t=0

имеет разрыв, то вместо $x\left( 0 \right)$ необходимо брать правый предел $x\left( +0 \right)$ :

(19)

при стремлении

к нулю справа.

Таким образом, использование аппарата преобразования Лапласа позволяет заменить дифференцирование умножением образа на переменную . Это важнейшее свойство дало возможность перейти от дифференциальных уравнений при анализе цепей переменного тока к алгебраическим и использовать всю мощь аппарата операционного исчисления и теории функций комплексного переменного для синтеза и анализа электрических цепей.

Приведем также выражение для обратного преобразования Лапласа производной образа . Пусть $X\left( s \right)$ — образ сигнала $x\left( t \right)$ . Тогда

(20)

где ${{X}^{\left( n \right)}}\left( s \right)$ — производная

-го порядка образа $X\left( s \right)$ .

Свойство интегрирования оригинала и образа

Пусть сигнал $y\left(t \right)$ есть результат интегрирования сигнала $x\left(t \right)$ :

(21)

Рассмотрим преобразование Лапласа Y(s)

от $y\left( t \right)$ :

(22)

Изменим порядок интегрирования и получим:

(23)

Получили еще одно важнейшее свойство: образ интеграла от входного сигнала $x\left( t \right)$ равен образу $X\left( s \right)$ этого сигнала, деленного на переменную

. Это свойство также позволяет заменить интегральные уравнения и системы на алгебраические.

Преобразование Лапласа свертки двух сигналов

Пусть сигнал $x\left( t \right)$ представляет собой свертку двух сигналов $a\left( t \right)$ и $h\left( t \right)$ , определяемую соотношением:

(24)

Важность интеграла свертки (24) в том, что им описывается результат прохождения сигнала $a\left( t \right)$ через линейный фильтр с импульсной характеристикой $h\left( t \right)$ .

Обратим внимание, что пределы интегрирования от 0 до обусловлены тем, что a(t) и h(t) отличны от нуля только для положительных значений переменной .

Рассмотрим преобразование Лапласа $X\left( s \right)$ сигнала $x\left( t \right)$ :

(25)

Поменяем местами операции интегрирования, и учтем свойство временного сдвига (14):

(26)

Таким образом, интеграл свертки заменяется произведением образов $A\left( s \right)$ входного сигнала $a\left( t \right)$ и образа $H\left( s \right)$ импульсной характеристики фильтра $h\left( t \right)$ .

Данное свойство также является очень важным, поскольку анализ многокаскадных фильтров заменяется простым произведением образов импульсных характеристик этих фильтров.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели преобразование Лапласа и его некоторые свойства.

Аппарат операционного исчисления является основным инструментом анализа электрических цепей переменного тока, ввиду возможности замены операций дифференцирования и интегрирования алгебраическим умножением и делением на переменную .

Подробнее использование преобразования Лапласа для анализа цепей переменного тока будет рассмотрено в следующем разделе.

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[3] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[4] Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва, Наука, 1967, 304 с.

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:43:08)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14