Преобразование Лапласа и его свойства

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент

Ранее мы рассмотрели преобразование Фурье сигнала x\left( t \right):

equation 1
(1)
где X\left( \omega  \right) — спектральная плотность сигнала x\left( t \right), \mathcal{F}[ \bullet ] и \mathcal{F}^{-1}[ \bullet ] — операторы прямого и обратного преобразования Фурье соответственно.

Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала сигнала x\left( t \right), т.е. сходимость интеграла:

equation 2
(2)
При рассмотрении преобразования Фурье предполагается, что время t измеряется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Кроме того (2) сужает класс сигналов, для которых существует преобразование Фурье.

С другой стороны, все физические процессы имеют начало, поэтому мы можем считать, что исходный сигнал x\left( t \right) определён на положительном интервале времени, т.е x\left( t \right)=0, при t\le 0.

Для того, чтобы предотвратить расхождение интеграла (2) умножим входной сигнал x\left( t \right) на {{\exp }({-\sigma t})}, где \sigma — вещественная величина. Рассмотрим преобразование Фурье {{X}_{\sigma }}\left( \omega  \right) полученного сигнала:

equation 3
(3)
Очевидно, {{X}_{\sigma }}\left( \omega  \right) зависит от параметра \sigma . Тогда {{X}_{\sigma }}\left( \omega  \right) можно трактовать как функцию двух вещественных переменных X\left( \sigma ,\omega  \right) или как функцию одной комплексной переменной X\left( \sigma +j\omega  \right). Обозначив s = \sigma +j\omega получим:

equation 4
(4)
Выражение (4) представляет собой разложение x\left( t \right) по системе затухающих комплексных экспонент \exp \big(\left( \sigma +j\omega  \right)t\big), которое носит название преобразования Лапласа, где \mathcal{L}[ \bullet ] — оператор преобразования.

Исходный сигнал x(t) называют оригиналом, а X(s) — образом, или изображением оригинала.

Обратное преобразование Лапласа

Обратное преобразование Фурье (3) от {X}_{\sigma }(\omega) имеет вид:

equation 5
(5)
Умножим левую и правую части (5) на {{\exp }({\sigma t})}, получим:

equation 6
(6)
Учтём, что {{X}_{\sigma }}\left( \omega  \right)=X\left( \sigma +j\omega  \right)=X\left( s \right), изменим переменную интегрирования с \omega на s:

equation 7
(7)
При этом верхний и нижний пределы интегрирования равны:

equation 8
(8)
Окончательно (6) с учётом 7 и (8):

equation 9
(9)
Выражение (9) определяет обратное преобразование Лапласа, которое обозначается оператором \mathcal{L}^{-1}[ \bullet ].

Некоторые свойства преобразования Лапласа

Свойство линейности
Пусть сигнал x\left( t \right)=a\left( t \right)+b\left( t \right). Тогда преобразование Лапласа X(s):

equation 10
(10)
Следствием (10) является умножение на константу:

equation 11
(11)
Свойство подобия (масштабирование по аргументу)
Пусть сигнал x\left( t \right) имеет образ X\left( s \right). Тогда изображение масштабированного во времени сигнала x\left( at \right) равно:
equation 12
(12)
Аналогично можно показать , что масштабирование образа по аргументу X\left( as \right) приводит к оригиналу вида:

equation 13
(13)
Преобразование Лапласа задержанного сигнала
Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала x\left( t-\Delta t \right), задержанного во времени на положительную величину \Delta t>0.
equation 14
(14)
Важно отметить, что (14) справедливо, если задержка \Delta t положительна, как это показано на рисунке 1.

Пример положительной и отрицательной   задержки сигнала
Рисунок 1. Пример положительной и отрицательной
задержки сигнала

Если же задержка отрицательна, то :

equation 15
(15)
Аналогичное свойство смещения образа:
equation 16
(16)
Таким образом, смещение образа X\left( s+a \right) на произвольное комплексное a приводит к умножению сигнала на {{\exp }({-at})}.

Свойство дифференцирования оригинала и образа
Пусть дан сигнал x\left( t \right) и его преобразование Лапласа равно X\left( s \right). Рассмотрим преобразование Лапласа производной сигнала {x}'\left( t \right) = \frac{dx(t)}{dt}:

equation 17
(17)
Применяя правило интегрирования по частям :
equation 18
(18)
где x\left( 0 \right) — значение сигнала при t=0. Если функция x\left( t \right) при t=0 имеет разрыв, то вместо x\left( 0 \right) необходимо брать правый предел x\left( +0 \right):

equation 19
(19)
при стремлении t к нулю справа.

Таким образом, использование аппарата преобразования Лапласа позволяет заменить дифференцирование умножением образа на переменную s. Это важнейшее свойство дало возможность перейти от дифференциальных уравнений при анализе цепей переменного тока к алгебраическим и использовать всю мощь аппарата операционного исчисления и теории функций комплексного переменного для синтеза и анализа электрических цепей.

Приведем также выражение для обратного преобразования Лапласа производной образа . Пусть X\left( s \right) — образ сигнала x\left( t \right). Тогда

equation 20
(20)
где {{X}^{\left( n \right)}}\left( s \right) — производная n-го порядка образа X\left( s \right).

Свойство интегрирования оригинала и образа
Пусть сигнал y\left(t \right) есть результат интегрирования сигнала x\left(t \right):

equation 21
(21)
Рассмотрим преобразование Лапласа Y(s) от y\left( t \right):

equation 22
(22)
Изменим порядок интегрирования и получим:
equation 23
(23)
Получили еще одно важнейшее свойство: образ интеграла от входного сигнала x\left( t \right) равен образу X\left( s \right) этого сигнала, деленного на переменную s. Это свойство также позволяет заменить интегральные уравнения и системы на алгебраические.

Преобразование Лапласа свертки двух сигналов
Пусть сигнал x\left( t \right) представляет собой свертку двух сигналов a\left( t \right) и h\left( t \right), определяемую соотношением:

equation 24
(24)
Важность интеграла свертки (24) в том, что им описывается результат прохождения сигнала a\left( t \right) через линейный фильтр с импульсной характеристикой h\left( t \right).

Обратим внимание, что пределы интегрирования от 0 до t обусловлены тем, что a(t) и h(t) отличны от нуля только для положительных значений переменной t.

Рассмотрим преобразование Лапласа X\left( s \right) сигнала x\left( t \right):

equation 25
(25)
Поменяем местами операции интегрирования, и учтем свойство временного сдвига (14):
equation 26
(26)
Таким образом, интеграл свертки заменяется произведением образов A\left( s \right) входного сигнала a\left( t \right) и образа H\left( s \right) импульсной характеристики фильтра h\left( t \right).

Данное свойство также является очень важным, поскольку анализ многокаскадных фильтров заменяется простым произведением образов импульсных характеристик этих фильтров.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели преобразование Лапласа и его некоторые свойства.

Аппарат операционного исчисления является основным инструментом анализа электрических цепей переменного тока, ввиду возможности замены операций дифференцирования и интегрирования алгебраическим умножением и делением на переменную s.

Подробнее использование преобразования Лапласа для анализа цепей переменного тока будет рассмотрено в следующем разделе.

Список литературы
[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[3] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[4] Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва, Наука, 1967, 304 с.

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:21:07)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14