Цифровой формирователь аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя

Введение Структурная схема формирователя аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя Анализ структурной схемы формирователя аналитического сигнала Пример использования формирователя аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя Выводы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge

Ранее мы ввели понятия аналитического сигнала, как комплексного сигнала вида

(1)

где – ортогональное дополнение сигнала , вычисляемое при помощи преобразования Гильберта. Мы говорили, что основным свойством аналитического сигнала является отсутствие спектральных составляющих в отрицательной области частот, что достигается при использовании идеального фильтра Гильберта, представляющего собой идеальный фазовращатель. Мы также рассмотрели физически реализуемый КИХ фильтр Гильберта, который вносит амплитудные искажения в исходный сигнал и не обеспечивает полного подавления спектральных составляющих в отрицательной области частот. Также мы рассмотрели цифровой формирователь аналитического сигнала на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ). В данной статье мы рассмотрим цифровой формирователь аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя. Его отличительной особенностью является возможность обеспечения заданного уровня подавления составляющих в отрицательной области частот, возможность применения БИХ фильтров, а также более простая аппаратная реализуемость по сравнению с формирователем на основе БПФ.

Пусть имеется цифровой сигнал, представленный своими отсчетами . Спектр такого сигнала – периодическая функция, с периодом , где – частота дискретизации. Далее мы будем вести рассмотрение относительно нормированной частоты , тогда сигнал имеет периодический спектр относительно нормированной частоты с периодом . Умножим данный сигнал на цифровую комплексную экспоненту получим:

(2)

Обратим внимание, что экспонента имеет нормированную частоту . Спектр комплексной экспоненты представляет собой дельта-импульс на частоте , . В результате умножения на комплексную экспоненту спектр исходного сигнала сдвинется влево как это показано на рисунке 1.





На верхнем графике рисунка 1 показан амплитудный спектр исходного сигнала (красным выделен один период повторения от 0 до . Синим показан спектр комплексной экспоненты в виде периодических дельта-импульсов. Согласно свойствам преобразования Фурье, умножение на комплексную экспоненту приведет к свертке спектра исходного сигнала и дельта-импульса , который обладает фильтрующим свойством и сдвинет спектр влево (сдвиг показана серыми стрелочками). В результате получим спектр . Амплитудный спектр полученного сигнала показан на нижнем графике рисунка 1, один период также выделен красным. Зеленым цветом на нижнем графике рисунка 1 показана АЧХ полуполосного ФНЧ (half band filter), который имеет частоту среза равную . В результате фильтрации сигнала полуполосным фильтром получим также комплексный сигнал .

Необходимо сделать замечание. Для фильтрации комплексного сигнала необходимо пропустить через фильтр его реальную и мнимую части (смотри выражение (2)).

Амплитудный спектр отфильтрованного комплексного сигнала показан на рисунке 2 верхний график.

Можно заметить, что полуполосным фильтром оказалась подавлена та часть спектра комплексного сигнала , которая представляла собой отрицательную область частот исходного не сдвинутого по частоте сигнала . Таким образом нам осталось произвести сдвиг спектра полученного комплексного сигнала по частоте на вправо. Для этого надо умножить на комплексную экспоненту , как это показано на нижнем графике рисунка 2. В результате получим спектр аналитического сигнала :

(3)

Если полуполосный фильтр – идеальный ФНЧ, то , а .

Для физически реализуемых ФНЧ равенство лишь приблизительное. На нижнем графике рисунка 2 зеленым показана эквивалентная АЧХ комплексного фильтра формирователя аналитического сигнала, которая в точности повторяет АЧХ полуполосного ФНЧ, но сдвинута по частоте на вправо. Разумеется для сохранения полной энергии аналитического сигнала необходимо удвоить и , как мы это делали раньше.

Структурная схема формирователя аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя показана на рисунке 3.

Входной сигнал умножается на комплексную экспоненту согласно (2), в результате получаются реальная и мнимая части комплексного сигнала . После реальная и мнимая части сигнала

фильтруются полуполосным ФНЧ и на выходе имеем отфильтрованный сигнал , который сдвигается по частоте умножением на комплексную экспоненту в соответствии с (3) и умножается на два.

Основная задача при формировании аналитического сигнала – подавление спектральных составляющих в отрицательной области частот ложится на полуполосные ФНЧ. При этом можно использовать как КИХ так и БИХ фильтры. При использовании БИХ фильтров мы сможем сэкономить вычислительные ресурсы, и рассчитать фильтр исходя из требуемого коридора АЧХ. Однако использование физически-реализуемого ФНЧ приведет к искажениям сигнала в области нижних и верхних частот, как это показано на рисунке 4.

Видно, что реальный ФНЧ обладает неравномерностью в полосе пропускания (в положительной области частот), обладает конечным подавлением в области отрицательных частот, и некоторой переходной полосой, в результате чего сигнал в НЧ и ВЧ областях искажается. Но для практического использования такого формирователя для SSB модуляции при передаче речи, искажения в НЧ и ВЧ областях не играют существенной роли, в то время как использование, например, эллиптических БИХ фильтров позволяет регулировать уровень подавления боковой полосы и неравномерности АЧХ.

Рассмотрим структурную схему формирователя аналитического сигнала (рисунок 3) более внимательно. Во первых обратим внимание на то что для всех целых значения и могут принимать только значения 0 1 и –1 (смотри рисунок 6). Таким образом можно заключить, что все умножения в структуре формирователя представленной на рисунке 3 – тривиальные, заключающиеся только в изменении знака.

Также заметим, что

(4)

т.е. множители синуса могут быть получены из отсчетов косинуса, задержанных на один или три отсчета. Тогда структурную схему формирователя можно представить как это показано на рисунке 5.

На рисунке синим показаны ветви соответствующие

, которые задерживаются на 1 отсчет превращаются в синусы (зеленые ветви), а задержка на 2 отсчета инвертирует синус. Наглядно это проиллюстрировано на рисунке 6.

При этом обратим внимание, что каждый второй отсчет и равен нулю, тогда можно записать:

(5)

Аналогично после фильтрации можно записать:

(6)

Таким образом, все умножения могут быть заменены переиндексацией отсчетов и изменением их знака. Приведенная структура требует только умножения для осуществления фильтрации, что делает ее привлекательной как для программной реализации, так и для аппаратной на базе FPGA.

Для экспериментальной проверки возьмем тот же гауссов радиоимпульс, что и при моделировании преобразования Гильберта:

(7)

Возьмем отсчетов данного сигнала с частотой дискретизации . В качестве полуполосного ФНЧ был выбран эллиптический БИХ фильтр с неравномерностью в полосе пропускания 0.5 дБ и уровнем подавления в полосе заграждения 60 дБ. На рисунке 7 показан квадрат модуля спектра полученного аналитического сигнала (красный график), а также квадрат модуля АЧХ полуполосного фильтра, сдвинутый по частоте на вправо (зеленый график). Из рисунка 7 видно, что составляющая в отрицательной области частот подавлена фильтром на 60 дБ. На рисунке 8 показаны реальная и мнимая части аналитического сигнала на выходе формирователя.

Рисунок 7: Спектр аналитического сигнала и АЧХ полуполосного фильтра

Рисунок 8: Аналитический сигнал на выходе формирователя

Анализируя рисунок 8 можно заметить, что сигнал сдвинут относительно ввиду задержки вносимой ФНЧ, но поскольку используется один фильтр для обоих каналов и (смотри рисунок 5), то задержка будет одинаковой и сигналы и остаются взаимно почти ортогональны (слово почти употребляется ввиду того что реальный ФНЧ не обеспечивает бесконечного подавления в отрицательной области).

Необходимо сделать важное замечание. Использование полуполосного БИХ фильтра приведет к фазовым искажениям как исходного сигнала , так и его ортогонального дополнения . Поэтому БИХ фильтр можно применять только в том случае, если фазовые искажения сигнала допустимы. К счастью, человеческое ухо слабо чувствительно к фазовым искажениям сигнала, поэтому применение БИХ фильтров при формировании аналитического сигнала в SSB радиосвязи вполне допустимо.

В данной статье мы рассмотрели вопрос формирования аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя. Мы показали, что такая структура реализуется при помощи полуполосных ФНЧ, выполняющих роль формирователей аналитического сигнала и двух квадратурных преобразований: сначала сигнал сдвигается по частоте для фильтрации, а затем возвращается на исходную частоту. Полученная структура позволяет использовать только тривиальные умножения (за исключением умножений на коэффициенты фильтра), и реализуется программно только переиндексацией отсчетов. В этом смысле быстродействие такого формирователя полностью зависит от порядка используемых ФНЧ. Приведен пример расчета аналитического сигнала при использовании рассматриваемой структуры формирователя.