Преобразование Гильберта

Введение Ортогональное дополнение сигнала. Преобразование Гильберта Основные свойства преобразования Гильберта Аналитический сигнал Цифровой фильтр Гильберта Быстрый расчет аналитического сигнала на основе БПФ Выводы Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge

При модуляции и анализе сигналов огромное прикладное значение имеет преобразование Гильберта и связанное с ним понятие аналитического сигнала. При использовании методов цифровой обработки преобразование Гильберта получило огромное распространение для формирования сигналов с однополосной модуляцией (SSB), а также при демодуляции сигналов. В данной статье вводится понятия ортогонального дополнения сигнала, приводится выражение для прямого и обратного преобразования Гильберта, а также обосновывается понятие аналитического сигнала. Особое внимание уделяется цифровому преобразователю Гильберта.

Пусть имеется сигнал , ортогональным дополнением сигнала называется сигнал такой, что

(1)

При этом подразумевается, что тождественно не равен нулю. Преобразование Гильберта ( Hilbert transform ) позволяет рассчитать ортогональное дополнение сигнала :

(2)

Из выражения (2) можно заметить, что преобразование Гильберта есть результат свертки сигнала с функцией , называемой ядром преобразования Гильберта. По сути ядро преобразования Гильберта ни что иное, как импульсная характеристика линейного фильтра, на выходе которого формируется ортогональное дополнение входного сигнала. Фильтр с импульсной характеристикой называется фильтром Гильберта. Рассчитаем частотную характеристику фильтра Гильберта, для этого возьмем преобразование Фурье от импульсной характеристикой :

(3)

Раскроем комплексную экспоненту по формуле Эйлера, получим:

(4)

Первый интеграл равен нулю, так как ядро преобразования Гильберта — нечетная функция и интегрирование производится по всей оси времени. Таким образом, частотная характеристика фильтра Гильберта — чисто мнимая:

(5)

Интеграл в выражении (5) является табличным:

(6)

где

(7)

Таким образом, частотная характеристика фильтра Гильберта равна:

(8)

АЧХ и ФЧХ фильтра Гильберта представлены на рисунке 1.

Можно сделать вывод, что фильтр Гильберта — идеальный фазовращатель, и как любой идеальный фильтр, фильтр Гильберта, увы, не реализуем физически. При этом необходимо отметить, что помимо поворота фазы, фильтр Гильберта устраняет постоянную составляющую сигнала.

Таким образом, преобразование Гильберта в частотной области можно записать:

(9)

Получим теперь выражение для обратного преобразования Гильберта. Для этого рассмотрим преобразование Гильберта от ортогонального дополнения сигнала:

(10)

где - обратное преобразование Фурье. Таким образом исходный сигнал может быть получен через обратное преобразование Гильберта:

(11)

Знак «минус» перед интегралом становится понятным, если вспомнить, что преобразование Гильберта осуществляет поворот фазы на , тогда двойное преобразование поворачивает фазу на , то есть инвертирует знак. Необходимо отметить, что обратное преобразование Гильберта не восстанавливает постоянную составляющую сигнала, так как фильтр Гильберта на нулевой частоте имеет нулевой коэффициент передачи.

Рассмотрим основные свойства преобразования Гильберта. Пусть сигналы и имеют преобразования Гильберта соответственно и . Тогда можно сформулировать следующие свойства:

Свойство линейности. Если сигнал и - постоянные, то преобразование Гильберта равно:

(12)

Другими словами преобразование Гильберта суммы двух сигналов равно сумме преобразований Гильберта каждого из сигналов.

Свойство масштабирования. Если сигнал имеет преобразование Гильберта , то сигнал , - константа, имеет преобразование Гильберта:

(13)

Можно сделать вывод о том, что масштабирование сигнала (сжатие - растяжение) приводит к такому же масштабированию его преобразования Гильберта.

Свойство временного сдвига. Если сигнал имеет преобразование Гильберта , то сигнал , - константа имеет преобразование Гильберта:

(14)

Временной сдвиг сигнала приводит к сдвигу его ортогонального дополнения.
Теорема о свертке. Пусть сигналы и имеют преобразования Гильберта соответственно и . Рассмотрим преобразование Гильберта свертки этих сигналов . Для этого осуществим переход в частотную область и получим:

(15)

Перейдя во временную область можно переписать в следующем виде:

(16)

Введем теперь понятие аналитического сигнала. Аналитическим сигналом называется комплексный сигнал вида

(17)

Рассмотрим спектр аналитического сигнала:

(18)

Распишем подробнее с учетом (8):

(19)

Таким образом, спектр аналитического сигнала отличен от нуля только при положительных частотах, а в отрицательной области частот спектр аналитического сигнала равен нулю. Это свойство аналитического сигнала находит широкое применение при формировании сигналов с однополосной модуляцией. Кроме того аналитический сигнал может быть использован для построения ортогонального дополнения. Поскольку согласно (17) а то можно исходный сигнал подвергнуть преобразованию Фурье, обнулить спектр в отрицательной области частот, удвоить спектр в положительной области частот, после взять обратное преобразование Фурье и получится аналитический сигнал, из которого можно выделить исходный сигнал и его ортогональное дополнение. Такая процедура легко реализуется в цифровом виде, при помощи схемы представленной на рисунке 2.

Эффективность схемы, представленной на рисунке выше, чем при умножении спектра на частотную характеристику фильтра Гильберта, так как можно рассчитывать не весь спектр, а только его половину в положительной области (в отрицательной все равно обнуляется).

Пусть имеется отсчетов дискретного сигнала , где - шаг дискретизации. Спектр дискретного сигнала является периодическим с периодом , тогда коэффициенты цифрового фильтра Гильберта можно рассчитать при помощи обратного преобразования Фурье частотной характеристики фильтра Гильберта, при интегрировании на одном периоде повторения спектра дискретного сигнала:

(20)

Положим , тогда

(21)

Разобьем весь интервал интегрирования на положительную и отрицательную области, и учтем частотную характеристику фильтра Гильберта (8):

(22)

Проинтегрируем:

(23)

Вынесем двойку за скобки:

(24)

Таким образом при четном импульсная характеристика цифрового фильтра Гильберта равна нулю, а при нечетном .

Поскольку на практике использовать фильтр Гильберта бесконечного порядка невозможно, то ограничение порядка фильтра Гильберта приведет к искажениям частотной характеристики фильтра по сравнению с идеальным. На рисунке 3 представлен вид импульсной характеристики фильтра Гильберта 32 порядка.

При усечении цифрового фильтра Гильберта возникают искажения его частотной характеристики. На рисунке 4 показана амплитудно-частотная характеристика фильтра Гильберта 32 порядка, а также на рисунке 5 мнимая часть частотной характеристики фильтра Гильберта .

Рисунок 4: АЧХ фильтра Гильберта 32 порядка

Рисунок 5: Мнимая часть частотной характерискики

Искажения вносимые усеченным фильтром Гильберта приведут к тому, что в отрицательной области частот будет наблюдаться неполное подавление спектра аналитического сигнала. Таким образом можно рассмотреть частотную характеристику фильтра формирователя аналитического сигнала. Частотная характеристика идеального фильтра формирователя аналитического сигнала обеспечивает усиление в 2 раза (на 6 дБ) в положительной области частот, и бесконечное подавление, при отрицательных частотах, как это представлено на рисунке 6.

При использовании цифрового фильтра Гильберта идеальная АЧХ фильтра формирователя аналитического сигнала будет искажена. На рисунке 7 представлена АЧХ при различных порядках фильтра: 32-го и 128-го порядка. Видно, что при увеличении порядка фильтра увеличивается подавление спектра аналитического сигнала в отрицательной области частот, и реальная АЧХ приближается к идеальной. Для увеличения подавления отрицательных частот можно использовать оконное сглаживание фильтра Гильберта. На рисунке 8 представлена АЧХ фильтра формирователя аналитического сигнала 32-го и 128-го порядка с применением окна Хемминга. Видно, что использование оконного сглаживания позволяет добиться дополнительного подавления отрицательных частот на 25 дБ.

Рисунок 7: АЧХ фильтра формирователя аналитического сигнала без оконного сглаживания

Рисунок 8: АЧХ фильтра формирователя аналитического сигнала с оконным сглаживанием

Необходимо отметить, что можно обеспечить бесконечное подавление спектра аналитического сигнала в отрицательной области частот, если использовать фильтр Гильберта в два или более раз длиннее самого сигнала. При неизвестной длительности исходного сигнала можно применить секционную обработку с перекрытием, однако вычислительные затраты в этом случае возрастают. Гораздо эффективнее с точки зрения вычислительных затрат — формирование аналитического сигнала в частотной области. Рассмотрим на примере. Возьмем сигнал в виде гауссова радиоимпульса на частоте 100 Гц. Продискретизируем его с частотой 1 кГц и возьмем 512 отсчетов этого сигнала, получим , . Вид данного сигнала представлен на рисунке 9. Возьмем БПФ от сигнала , получим 512 спектральных отсчетов , как это показано на рисунке 10.

Рисунок 9: Исходный сигнал

Рисунок 10: Спектр исходного сигнала

Далее вспоминаем, что на выходе БПФ вторая половина спектра , в нашем случае от 500 до 1000 Гц соответствует отрицательным частотам, в силу периодичности спектра дискретного сигнала (подробнее это описано здесь), т.е. 500 Гц соответствует частоте -500 Гц, а 1000 Гц — 0 Гц.

Таким образом для формирования аналитического сигнала необходимо обнулить вторую половину спектра и не забыть умножить на два первую половину спектра сигнала. Результат показан на рисунке 11. Далее необходимо взять обратное БПФ, которое вернет комплексный аналитический сигнал При этом реальная часть будет совпадать с исходным сигналом, а мнимая часть будет являтся ортогональным дополнением исходного сигнала. Реальная и мнимая части на выходе ОБПФ представлены на рисунке 12, красный — исходный сигнал, синий — ортогональное дополнение.

Рисунок 11: Спектр аналитического сигнала

Рисунок 12: Реальная и мнимая часть аналитического сигнала

Необходимо сделать замечание. Реальная часть на выходе ОБПФ не полностью совпадает с исходным сигналом, но те амплитудные искажения, которые возникают на выходе ОБПФ обеспечивают полное подавление спектра аналитического сигнала в отрицательной области, в отличии от использования фильтра Гильберта, когда искажается только ортогональное дополнение сигнала, и в частотной области не наблюдается полного подавления отрицательных частот. Для уменьшения искажений сигнала необходимо реализовать секционную обработку с перекрытием.

Для ускорения вычислений можно не рассчитывать вторую половину спектра исходного сигнала (которую все равно придется обнулять), а также можно не использовать нулевые значения спектра при расчете ОБПФ. Для расчета только одной половины спектра используется прореживание по времени, суть которого заключается в разбиении исходного сигнала на два с четными и нечетными индексами, т.е. исходный сигнал разбивается на два и . Тогда спектр аналитического сигнала с нулевой отрицательной областью может быть представлен:

(25)

где и - БПФ сигналов и , а - поворотные коэффициенты.

Учитывая, что вторая половина спектра аналитического сигнала является нулевой, можно рассчитать четные и нечетные отсчеты аналитического сигнала только на основе первой половины спектра аналитического сигнала при использовании алгоритма с прореживанием по частоте:

(26)

где оператор означает обратное БПФ. Для разбиения исходного сигнала и сбора результата из четных-нечетных последовательностей в одну используются двоично-инверсные перестановки аналогичные тем, что используются в алгоритме БПФ. Схема реализующая расчет аналитического сигнала представлена на рисунке 13.

Использование алгоритмов с прореживанием по времени и по частоте может привести с существенному снижению (до двух раз) вычислительных операций при секционной обработке с перекрытием, когда на следующем шаге можно использовать спектры рассчитанные на предыдущем шаге. Но это отдельный вопрос, мы его рассмотрим в другой раз.

Необходимо отметить, что преобразование Гильберта применяется для формирования сигналов с однополосной модуляцией ( SSB), поэтому преобразованию подвергается низкочастотный модулирующий сигнал, что позволяет использовать цифровые преобразователи на основе БПФ.

Были введены понятия прямого и обратного преобразований Гильберта. Показано, что преобразование Гильберта может выполнить идеальный фильтр — фазовращатель. Было также введено понятие аналитического сигнала и показано, что аналитический сигнал представляет собой комплексный сигнал, и имеет нулевые спектральные составляющие в отрицательной области частот. Было получено выражение импульсной характеристики цифрового фильтра Гильберта. Показано, что при усечении цифрового фильтра в аналитическом сигнале не полностью подавляются отрицательные частоты, при этом приведена схема расчета аналитического сигнала с полным подавлением отрицательных частот на основе БПФ, обеспечивающая высокую вычислительную эффективность преобразования Гильберта. В следующей статье мы рассмотрим расчет аналитического сигнала при помощи квадратурного преобразователя.