Преобразование Фурье неинтегрируемых сигналов

Содержание

Вводные замечания

Преобразование Фурье постоянного во времени сигнала

Преобразование Фурье сигнала с постоянным амплитудным смещением

Преобразование Фурье функции Хевисайда и функции $\operatorname{sign}(t)$

Преобразование Фурье комплексной экспоненты

Преобразование Фурье вещественного гармонического колебания

Принцип неопределенности Гейзенберга

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Вводные замечания

В предыдущем параграфе мы рассмотрели обобщенную дельта-функцию Дирака и ее некоторые свойства. Мы говорили, что использование обобщенных функций позволяет расширить аппарат преобразования Фурье на случай сигналов, которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. Также было рассмотрено преобразование Фурье дельта-функции по показано, что $\Delta(\omega) = 1$ для всей бесконечной оси частот.

В данном параграфе мы рассмотрим применения дельта-функции для описания спектральных плотностей некоторых неинтегрируемых сигналов.

Преобразование Фурье постоянного во времени сигнала

Рассмотрим преобразование Фурье постоянного во времени сигнала s(t) = A , показанного на рисунке 1a.

Рисунок 1. Преобразование Фурье постоянного во времени сигнала
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Преобразование Фурье сигнала s(t) равно:

(1)

Вспомним, что преобразование Фурье дельта-функции равно:

(2)

тогда дельта-функцию можно выразить через обратное преобразование Фурье $\Delta(\omega)$ :

(3)

C учетом четности дельта-функции (3) можно записать как:

(4)

Сравнивая (4) и (1), поменяв обозначения переменных

и $\omega$ можно записать:

(5)

Таким образом, спектральная плотность постоянного во времени сигнала задается дельта-функцией в частотной области. Вся бесконечная энергия сигнала s(t) = A

сосредоточена на нулевой частоте, как это показно на рисунке 1б.

Рассчитаем размерность $S(\omega)$ в выражении (5). Пусть амплитуда измеряется в единицах вольт, дельта-функция $\delta(\omega)$ имеет размерность [с] . Тогда $S(\omega)$ имеет размерность спектральной плотности: $[В \cdot с] = [В/Гц]$ .

Преобразование Фурье сигнала с постоянным амплитудным смещением

Рассмотрим преобразование Фурье сигнала s(t) = a(t) + c , где a(t) — сигнал со спектральной плотностью $A(\omega)$ , а — постоянное амплитудное смещение сигнала a(t) .

Преобразование Фурье сигнала s(t) равно:

(6)

Таким образом, постоянное амплитудное смещение

добавляет к спектральной плотности бесконечную компоненту на нулевой частоте.

Преобразование Фурье функции Хевисайда и функции $\operatorname{sign}(t)$

Пусть исходный сигнал описывается функцией Хевисайда u(t) (рисунок 2а). Рассмотрим спектральную плотность $U(\omega)$ функции u(t) .

Функция Хевисайда , функция знака , а также их спектральные плотности: a — временно́й сигнал Хевисайда ;
б — спектральная плотность функции Хевисайда ;
в — функция знака ;
г — спектральная плотность функции знака.

Рисунок 2. Функция Хевисайда u(t)

, функция знака $\operatorname{sign}(t)$ , а также их спектральные плотности: a — временно́й сигнал Хевисайда u(t)

; б — спектральная плотность функции Хевисайда u(t)

; в — функция знака $\operatorname{sign}(t)$ ; г — спектральная плотность функции знака.

Для этого вспомним, что функция Хевисайда есть результат интегрирования дельта-функции Дирака. Тогда согласно свойству преобразования Фурье:

(7)

где $\Delta(\omega) = 1$ — преобразование Фурье дельта-функции. Таким образом для любого $\omega \neq 0$ , спектральная плотность $U(\omega)$ является чисто мнимой функцией частоты.

При $\omega = 0$ , U(0) равна половине S(0) постоянного во времени сигнала при A=1 , потому что u(t) = 0 для t<0 :

(8)

Тогда можно окончательно записать:

(9)

Спектральная плотность $U(\omega)$ показана на рисунке 2б. Пунктирная линия означает чисто мнимую функцию $\frac{1}{j\omega}$ , а сплошная — бесконечное значение постоянной составляющей $U(0) = \pi \delta(0)$ .

Поскольку функция Хевисайда является безразмерной, то размерность ее спектральной плотности $U(\omega)$ равна [с] = [1/Гц] , как это можно заметить из выражения (9).

Другой функцией, которая тесно связана с функцией Хевисайда, является функция знака $\operatorname{sign}(t)$ , которая показана на рисунке рисунок 2в). Функция знака связана с функцией Хевисайда как $\operatorname{sign}(t) = 2 u(t) - 1$ .

Спектральная плотность функции $\operatorname{sign}(t)$ , с учетом спекральной плотности $U(\omega)$ функции Хевисайда и свойства постоянного смещения равна:

(10)

Таким образом, спектральная плотность фунции знака является чисто мнимой функцией частоты, как это показано на рисунке 2г).

Преобразование Фурье комплексной экспоненты

Другим примером неинтегрируемого сигнала является комплексная экспонента $s(t) = A \exp(j \omega_0 t)$ , где $\omega_0$ — частота, — амплитуда. График комплексной экспоненты показан на рисунке 3а. Сплошной линией показан график реальной части $\operatorname{Re}\big[ s(t)\big] = A \cos (\omega_0 t)$ , а пунктирной линией — мнимая часть $\operatorname{Im}\big[ s(t)\big] = A \sin (\omega_0 t)$ .

Комплексная экспонента а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Рисунок 3. Комплексная экспонента $s(t) = A \exp(j \omega_0 t)$
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Рассмотрим преобразование Фурье комплексной экспоненты:

(11)

Учтем (5) и получим:

(12)

График спектральной плотности комплексной экспоненты (рисунок 3б) представляет собой сдвинутую по частоте на $\omega_0$ дельта-функцию Дирака.

Преобразование Фурье вещественного гармонического колебания

\label{section:fourier_transform_ext:sincos} Преобразование Фурье гармонического колебания $s(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi_0)$ , где $\omega_0$ — частота, — амплитуда, $\varphi_0$ — начальная фаза, равно:

(13)

Представим функцию косинуса через сумму комплексных экспонент, тогда (13) можно записать как:

(14)

Приведем выражение (14) к сумме интегралов:

(15)

Таким образом, получили сумму двух дельта-функций амплитуды $A\pi$ , сдвинутых на частоты $\pm\omega_0$ .

При $\varphi_0 = 0$ получим колебание $s_c(t) = \cos(\omega_0 t)$ , а при $\varphi = -\frac{\pi}{2}$ колебание синусоидальной формы $s_s(t) = \sin(\omega_0 t)$ . Тогда согласно (15) спектральный плотности сигналов s_c(t) и s_s(t) равны:

(16)

Графики сигналов s_c(t)

, а также их спектральных плотностей $S_c(\omega)$ и $S_s(\omega)$ показаны на рисунке 4.

Рисунок 4. Вещественное гармоническое колебание
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

На графике 4б пунктирной линией показана чисто мнимая спектральная плотность $S_s(\omega)$ синусоидального сигнала.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Преобразование Фурье постоянного во времени сигнала и дельта-функции Дирака наглядно иллюстрируют отображение временно́й области в частотную. Так бесконечный во времени постоянный сигнал отображается на нулевую частоту после преобразования Фурье. Аналогично осциллирующая комплексная экспонента отображается на бесконечно узкую полосу частот в окрестности $\omega_0$ .

С другой стороны, бесконечно короткий импульс дельта-функции представляется бесконечной полосой частот.

Данное соотношение длительности импульса во времени и ширины его спектральной плотности известно как принцип неопределенности Гейзенберга[1], который гласит, что уточнение временно́й локализации сигнала расширяет его спектральную плотность. Если же процесс локализован в узкой полосе частот, то он неизбежно будет растянут во времени.

Таким образом, невозможно получить сколь угодно короткий импульс со сколь угодно узкой спектральной плотностью[2].

Для практических задач бывает необходимо произвести оценку ширины спектральной плотности сигнала по его временно́й осциллограмме. Для этого можно использовать аппроксимацию наиболее узкого пика сигнала прямоугольным импульсом. Рассмотрим в качестве примера сигнал s(t) , показанный на рисунке 5. Сигнал s(t) содержит выраженный пик, ширина которого $\widehat\tau = 0.2$ с. Заметим, что обозначение «шапочка» означает оценку длительности импульса по осциллограмме исходного сигнала.

Рисунок 5. Оценка ширины спектральной плотности путем аппроксимации наиболее узкого пика прямоугольным импульсом

Если мы заменим узкий пик прямоугольным импульсом $п_{\widehat\tau}(t)$ длительности $\widehat\tau$ , то сможем оценить ширину спектральной плотности $S(\omega)$ через ширину главного лепестка спектральной плотности $П(\omega)$ прямоугольного импульса $п_{\widehat\tau}(t)$ . Тогда оценка ширины спектральной плотности $S(\omega)$ равна:

(17)

Для приведенного примера $\widehat \tau = 0.2$ c, тогда ширина главного лепестка $П(\omega)$ равна $\widehat{\Delta\omega} = 20 \pi$ рад/c.

Теорема о модуляции

Спектральная плотность комплексной экспоненты представляет собой дельта-функцию, смещенную на частоту сигнала $\omega_0$ . Рассмотрим сигнал $x_m(t) = x(t) \exp(j \omega_0 t)$ , где x(t) — низкочастотный сигнал со спектральной плотностью $X(\omega)$ , сосредоточенной вокруг нулевой частоты.

Тогда преобразование Фурье x_m(t) равно:

(18)

Объединим показатели экспонент и получим:

(19)

Таким образом, умножение сигнала на комплексную экспоненту $\exp(j\omega_0 t)$ приводит к переносу спектральной плотности сигнала на частоту $\omega_0$ . В результате сигнал x_m(t)

будет комплексным, а его спектральная плотность не будет симметричной.

Смещение спектральной плотности сигнала x(t) на несущую частоту $\omega_0$ называется модуляцией, а сам сигнал x_m(t) называют модулированным сигналом.

Пример умножения x(t) на комплексную экспоненту, а также АЧХ $|X(\omega)|$ исходного и модулированного $|X_m(\omega)|$ сигналов показаны на рисунке 6.

Рисунок 6. Модуляция импульса комплексной экспонентной:
а —временны́е осциллограммы; б —АЧХ

На временной осциллограмме сигналов сплошной линией показана реальная часть $\operatorname{Re}\big[x_m(t)\big]$ , а пунктирной — мнимая часть $\operatorname{Im}\big[x_m(t)\big]$ .

Для излучения импульса в эфир мы должны перейти от комплексного модулированного сигнала x_m(t) к вещественному. Тогда рассмотрим, что произойдет со спектральной плотностью $X_m(\omega)$ , если мы промодулируем исходный сигнал не комплексной экспонентной, а гармоническим сигналом: $x_m(t) = x(t) \cos(\omega_0 t+\varphi_0)$ :

(20)

Представим

(21)

тогда

(22)

Таким образом, модуляция гармоническим колебанием приводит к смещению спектральной плотности на частоты $\pm\omega_0$ как в положительную, так и в отрицательную области частот. При этом АЧХ уменьшается в два раза по амплитуде, и добавляются фазовые множители $\exp(\pm j \varphi_0)$ .

Процесс модуляции гармоническим колебанием показан на рисунке 7, для $\varphi_0 = 0$ .

Рисунок 7. Модуляция импульса гармоническим колебанием:
а — временны́е осциллограммы; б — АЧХ

Спектральная плотность X_m(t) сохраняет свойство симметрии, поскольку сигнал x_m(t) остается вещественным.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых неинтегрируемых сигналов. Мы показали, что постоянный во времени сигнал имеет спектральную плотность в виде дельта-функции Диракаю

Кроме того мы рассмотрели спектральную плотность функции Хевисайда, которая представляет собой комплексный коэффициент передачи идеального интегратора.

Также был рассмотрен принцип неопределенности Гейзенберга и приведен алгоритм оценки ширины спектральной плотности сигнала по его временной осциллограмме.

Наконец, была рассмотрена теорема о модуляции, которая позволяет смещать спектральную плотность по частоте путем умножения на комплексную экспоненту и вещественное гармоническое колебание.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Примечания

[1] Вернер Гейзенберг сформулировал данные ограничения в терминах квантовой механики. Позже данный принцип был расширен на задачи спектрального анализа.

[2] Реализовать длительный во времени сигнал с широкой спектральной плотностью возможно. В качестве примера можно привести сложные шумоподобные сигналы [1].

Список литературы

[1] Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. Москва, Радио и Связь, 1985, 384 c.

[2] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[3] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[4] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:55)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14