Преобразование Фурье неинтегрируемых сигналов
![]() DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
|
В предыдущем параграфе мы рассмотрели
обобщенную дельта-функцию Дирака
и ее некоторые свойства. Мы говорили, что использование обобщенных функций позволяет расширить аппарат преобразования Фурье на случай сигналов, которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости.
Также было рассмотрено преобразование Фурье дельта-функции по показано, что для всей бесконечной оси частот.
В данном параграфе мы рассмотрим применения дельта-функции для описания спектральных плотностей некоторых неинтегрируемых сигналов.
Рассмотрим преобразование Фурье постоянного во времени сигнала , показанного на рисунке 1a.

а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Преобразование Фурье сигнала равно:









Рассчитаем размерность в выражении (5). Пусть амплитуда
измеряется в единицах вольт, дельта-функция
имеет размерность
. Тогда
имеет размерность спектральной плотности:
.
Рассмотрим преобразование Фурье сигнала , где
— сигнал со спектральной плотностью
, а
— постоянное амплитудное смещение сигнала
.
Преобразование Фурье сигнала равно:



Пусть исходный сигнал описывается функцией Хевисайда (рисунок 2а). Рассмотрим спектральную плотность
функции
.






Для этого вспомним, что функция Хевисайда есть результат интегрирования дельта-функции Дирака. Тогда согласно свойству преобразования Фурье:




При ,
равна половине
постоянного во времени сигнала при
, потому что
для
:


Спектральная плотность показана на рисунке 2б. Пунктирная линия означает чисто мнимую функцию
, а сплошная — бесконечное значение постоянной составляющей
.
Поскольку функция Хевисайда является безразмерной, то размерность ее спектральной плотности равна
, как это можно заметить из выражения (9).
Другой функцией, которая тесно связана с функцией Хевисайда, является функция знака , которая показана на рисунке рисунок 2в). Функция знака связана с функцией Хевисайда как
.
Спектральная плотность функции , с учетом спекральной плотности
функции Хевисайда и свойства постоянного смещения равна:

Другим примером неинтегрируемого сигнала является комплексная экспонента , где
— частота,
— амплитуда. График комплексной экспоненты показан на рисунке 3а. Сплошной линией показан график реальной части
, а пунктирной линией — мнимая часть
.


а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Рассмотрим преобразование Фурье комплексной экспоненты:



\label{section:fourier_transform_ext:sincos}
Преобразование Фурье гармонического колебания , где
— частота,
— амплитуда,
— начальная фаза, равно:





При получим колебание
, а при
колебание синусоидальной формы
. Тогда согласно (15) спектральный плотности сигналов
и
равны:






а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
На графике 4б пунктирной линией показана чисто мнимая спектральная плотность синусоидального сигнала.
Преобразование Фурье постоянного во времени сигнала и дельта-функции Дирака наглядно иллюстрируют отображение временно́й области в частотную. Так бесконечный во времени постоянный сигнал отображается на нулевую частоту после преобразования Фурье. Аналогично осциллирующая комплексная экспонента отображается на бесконечно узкую полосу частот в окрестности .
С другой стороны, бесконечно короткий импульс дельта-функции представляется бесконечной полосой частот.
Данное соотношение длительности импульса во времени и ширины его спектральной плотности известно как принцип неопределенности Гейзенберга[1], который гласит, что уточнение временно́й локализации сигнала расширяет его спектральную плотность. Если же процесс локализован в узкой полосе частот, то он неизбежно будет растянут во времени.
Таким образом, невозможно получить сколь угодно короткий импульс со сколь угодно узкой спектральной плотностью[2].
Для практических задач бывает необходимо произвести оценку ширины спектральной плотности сигнала по его временно́й осциллограмме. Для этого можно использовать аппроксимацию наиболее узкого пика сигнала прямоугольным импульсом. Рассмотрим в качестве примера сигнал , показанный на рисунке 5. Сигнал
содержит выраженный пик, ширина которого
с. Заметим, что обозначение «шапочка» означает оценку длительности импульса по осциллограмме исходного сигнала.

Если мы заменим узкий пик прямоугольным импульсом длительности
, то сможем оценить ширину спектральной плотности
через ширину главного лепестка спектральной плотности
прямоугольного импульса
. Тогда оценка ширины спектральной плотности
равна:




Спектральная плотность комплексной экспоненты представляет собой дельта-функцию, смещенную на частоту сигнала . Рассмотрим сигнал
, где
— низкочастотный сигнал со спектральной плотностью
, сосредоточенной вокруг нулевой частоты.
Тогда преобразование Фурье равно:





Смещение спектральной плотности сигнала на несущую частоту
называется модуляцией, а сам сигнал
называют модулированным сигналом.
Пример умножения на комплексную экспоненту, а также АЧХ
исходного и модулированного
сигналов показаны на рисунке 6.

а —временны́е осциллограммы; б —АЧХ
На временной осциллограмме сигналов сплошной линией показана реальная часть , а пунктирной — мнимая часть
.
Для излучения импульса в эфир мы должны перейти от комплексного модулированного сигнала к вещественному. Тогда рассмотрим, что произойдет со спектральной плотностью
, если мы промодулируем исходный сигнал не комплексной экспонентной, а гармоническим сигналом:
:





Процесс модуляции гармоническим колебанием показан на рисунке 7, для .

а — временны́е осциллограммы; б — АЧХ
Спектральная плотность сохраняет свойство симметрии, поскольку сигнал
остается вещественным.
В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых неинтегрируемых сигналов. Мы показали, что постоянный во времени сигнал имеет спектральную плотность в виде дельта-функции Диракаю
Кроме того мы рассмотрели спектральную плотность функции Хевисайда, которая представляет собой комплексный коэффициент передачи идеального интегратора.
Также был рассмотрен принцип неопределенности Гейзенберга и приведен алгоритм оценки ширины спектральной плотности сигнала по его временной осциллограмме.
Наконец, была рассмотрена теорема о модуляции, которая позволяет смещать спектральную плотность по частоте путем умножения на комплексную экспоненту и вещественное гармоническое колебание.
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов
[1] Вернер Гейзенберг сформулировал данные ограничения в терминах квантовой механики. Позже данный принцип был расширен на задачи спектрального анализа.
[2] Реализовать длительный во времени сигнал с широкой спектральной плотностью возможно. В качестве примера можно привести сложные шумоподобные сигналы [1].