Спектральные плотности некоторых сигналов

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Спектральная плотность прямоугольного импульса

Рассмотрим спектральную плотность S(\omega) прямоугольного импульса s(t) = A п_{\tau}(t) длительности \tau и амплитуды A. Функция п_{\tau}(t) описывает прямоугольный импульс длительности \tau и единичной амплитуды:

equation 1
(1)
График прямоугольного импульса показан на рисунке 1а.

Спектральная плотность прямоугольного импульса   а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Рисунок 1. Спектральная плотность прямоугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Спектральная плотность S(\omega) прямоугольного импульса A п_{\tau}(t) равна:

equation 2
(2)
где \operatorname{sinc}(x) = \sin(x)/x. График спектральной плотности S(\omega) прямоугольного импульса показан на рисунке 1б. Приведем основные частотные свойства S(\omega).

Спектральная плотность треугольного импульса

Рассмотрим треугольный импульс s(t) длительности \tau и амплитуды A:

equation 3
(3)
График треугольного импульса показан на рисунке 2а.

Спектральная плотность треугольного импульса   а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Рисунок 2. Спектральная плотность треугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.

Можно заметить, что треугольный импульс длительности \tau и амплитуды A может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса p(x) = \sqrt{2A/\tau} \, п_{\tau/2}(x) длительности \tau/2 и амплитуды \sqrt{2A/\tau} c самим собой, как это показано на рисунке 3.

Треугольный импульс как результат  
		свертки прямоугольных импульсов
Рисунок 3. Треугольный импульс как результат
свертки прямоугольных импульсов

Обратим внимание, что один из углов p(x) маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала p(t-x), входящего в интеграл свертки.

Для различного сдвига t мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения p(x)p(t-x) сигнала p(x) и его сдвинутой инверсной во времени копии p(t-x).

Таким образом, мы можем применить свойство преобразования Фурье свертки сигналов и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности P(\omega) прямоугольного импульса p(x) длительности \tau/2 и амплитуды \sqrt{2A/\tau}:

equation 4
(4)
График спектральной плотности треугольного импульса показан на рисунке 2б. Приведем основные частотные свойства S(\omega).

Спектральная плотность гауссова импульса

Гауссов импульс s(t) задается выражением:

equation 5
(5)
где A — амплитуда, а \sigma — положительный параметр, который задает ширину импульса.

График гауссова импульса при различном значении \sigma и A = 1 показан на рисунке 4а.

Спектральная плотность гауссова импульса   а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Рисунок 4. Спектральная плотность гауссова импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:

equation 6
(6)
Преобразуем показатель экспоненты (6) следующим образом:

equation 7
(7)
Тогда (6) с учетом (7):

equation 8
(8)
Из курса математического анализа [1, стр. 401] известно, что:

equation 9
(9)
Введем в выражении (8) замену переменной \xi = \frac{t}{\sigma} + j\frac{\omega\sigma}{2}, тогда dt = \sigma \, d\xi, пределы интегрирования остаются неизменными при положительном значении \sigma. Тогда (8) можно представить как:

equation 10
(10)
и с учетом (9) окончательно можно записать:

equation 11
(11)
Можно заметить, что временно́й гауссов импульс s(t) имеет спектральную плотность S(\omega), которая также описывается гауссовской функцией.

График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра \sigma показан на рисунке 4б. C увеличением \sigma увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.

Спектральная плотность экспоненциального импульса

Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс s(t), который задается выражением:

equation 12
(12)
где A — амплитуда, а \sigma — положительный параметр, который определяет ширину импульса. График двустороннего экспоненциального импульса при A = 1 и различном значении параметра \sigma показан на рисунке 5а.

Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса   а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Рисунок 5. Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра \sigma приводит к сужению импульса во временно́й области.

Рассмотрим спектральную плотность S(\omega) двустороннего экспоненциального импульса:

equation 13
(13)
Разобьем ось времени на положительную и отрицательную полуоси, и учтем что |t| = -t для отрицательной полуоси времени. Тогда (13) можно записать:

equation 14
(14)
Объединим показатели экспонент в обоих интегралах и получим:
equation 15
(15)
Таким образом, спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса (12) представляет собой вещественную функцию частоты, обладающую следующими свойствами.

На рисунке 5б показан вид спектральной плотности S(\omega) при различном значении \sigma. Можно видеть, что при увеличении параметра \sigma, спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).

Односторонний экспоненциальный импульс
Рисунок 6. Односторонний экспоненциальный импульс

Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:

equation 16
(16)
График одностороннего экспоненциального импульса показан на рисунке 6 при A = 1 и различном \sigma.

Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:

equation 17
(17)
Приведем основные частотные свойства S(\omega) одностороннего экспоненциального импульса:

Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты \omega, то можно представить S(\omega) в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:

equation 18
(18)
На рисунке 7 показаны АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса для различных значения параметра \sigma.

АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса   а — АЧХ; б — ФЧХ
Рисунок 7. АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса
а — АЧХ; б — ФЧХ

Спектральная плотность функции \operatorname{sinc}

Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида s(t) = A \operatorname{sinc}(\alpha t), где \alpha — параметр определяющий ширину главного лепестка функции \operatorname{sinc}, как это показано на рисунке 8а.

Спектральная плотность функции    а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Рисунок 8. Спектральная плотность функции \operatorname{sinc}
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для получения спектральной плотности сигнала s(t) = A  \operatorname{sinc}(\alpha t) воспользуемся свойством двойственности преобразования Фурье, рассмотренным в в предыдущем параграфе. Тогда из выражения (2) можно записать:

equation 19
(19)
Произведем замену переменных \omega и t, а также обозначим \alpha = \frac{\tau}{2}, откуда \tau = 2\alpha:
equation 20
(20)
Вынесем множитель 2\alpha из под оператора преобразования Фурье, и окончательно спектральная плотность сигнала s(t) = A \operatorname{sinc}(\alpha t) равна:
equation 21
(21)
График спектральной плотности сигнала s(t) = A \operatorname{sinc}(\alpha t) показан на рисунке 8б.

Важным частным случаем является A = \alpha / \pi, тогда s(t) = \frac{\alpha}{\pi}  \operatorname{sinc}(\alpha t) будет иметь спектральную плотность S(\omega) = п_{2\alpha}(\omega), что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал  s(t) = \frac{\alpha}{\pi} \operatorname{sinc} (\alpha t) определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса, а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.

Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.

странице обсуждения статьи

Смотри также
Представление периодических сигналов рядом Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы
[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[3] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[4] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:19:58)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14