Спектральные плотности некоторых сигналов

Содержание

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Спектральная плотность треугольного импульса

Спектральная плотность гауссова импульса

Спектральная плотность экспоненциального импульса

Спектральная плотность функции $\operatorname{sinc}$

Выводы

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Рассмотрим спектральную плотность $S(\omega)$ прямоугольного импульса $s(t) = A п_{\tau}(t)$ длительности $\tau$ и амплитуды . Функция $п_{\tau}(t)$ описывает прямоугольный импульс длительности $\tau$ и единичной амплитуды:

(1)

График прямоугольного импульса показан на рисунке 1а.

Рисунок 1. Спектральная плотность прямоугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Спектральная плотность $S(\omega)$ прямоугольного импульса $A п_{\tau}(t)$ равна:

(2)

где $\operatorname{sinc}(x) = \sin(x)/x$ . График спектральной плотности $S(\omega)$ прямоугольного импульса показан на рисунке 1б. Приведем основные частотные свойства $S(\omega)$ .

Спектральная плотность $S(\omega)$ является вещественной функцией частоты $\omega$ , ввиду временно́й симметрии импульса $п_{\tau}(t)$ .
Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: $S(0) = A\tau$ .
$S(\omega)$ носит затухающий колебательный характер. Нули $S(\omega)$ , т.е. частоты, соответствующие $S(\omega) = 0$ , равны $\omega = \frac{2\pi}{\tau} k$ , где $k = \pm 1, \pm2, \ldots$
Скорость убывания боковых лепестков $S(\omega)$ пропорциональна $\frac{1}{\omega}$ , ввиду разрыва первого рода (скачка) сигнала $п_{\tau}(t)$ во временно́й области.

Спектральная плотность треугольного импульса

Рассмотрим треугольный импульс s(t) длительности $\tau$ и амплитуды :

(3)

График треугольного импульса показан на рисунке 2а.

Рисунок 2. Спектральная плотность треугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.

Можно заметить, что треугольный импульс длительности $\tau$ и амплитуды может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса $p(x) = \sqrt{2A/\tau} \, п_{\tau/2}(x)$ длительности $\tau/2$ и амплитуды $\sqrt{2A/\tau}$ c самим собой, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Треугольный импульс как результат
свертки прямоугольных импульсов

Обратим внимание, что один из углов p(x) маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала p(t-x) , входящего в интеграл свертки.

Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения p(x)p(t-x) сигнала p(x) и его сдвинутой инверсной во времени копии p(t-x) .

Таким образом, мы можем применить свойство преобразования Фурье свертки сигналов и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности $P(\omega)$ прямоугольного импульса p(x) длительности $\tau/2$ и амплитуды $\sqrt{2A/\tau}$ :

(4)

График спектральной плотности треугольного импульса показан на рисунке 2б. Приведем основные частотные свойства $S(\omega)$ .

Спектральная плотность $S(\omega)$ треугольного импульса является вещественной функцией частоты $\omega$ , ввиду временно́й симметрии импульса.
Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: $S(0) = \frac{A\tau}{2}$ .
$S(\omega)$ носит затухающий колебательный характер. Нули $S(\omega)$ , т.е. частоты, соответствующие $S(\omega) = 0$ , равны $\omega = \frac{4\pi}{\tau} k$ , где $k = \pm 1, \pm2, \ldots$
Скорость убывания боковых лепестков $S(\omega)$ пропорциональна $\frac{1}{\omega^2}$ . Это выше, чем скорость убывания боковых лепестков прямоугольного импульса, ввиду отсутствия разрывов сигнала во временно́й области.
Главный лепесток спектральной плотности $S(\omega)$ в два раза шире, чем главный лепесток спектральной плотности прямоугольного импульса при той же длительности $\tau$ .

Спектральная плотность гауссова импульса

Гауссов импульс s(t) задается выражением:

(5)

где

— амплитуда, а $\sigma$ — положительный параметр, который задает ширину импульса.

График гауссова импульса при различном значении $\sigma$ и A = 1 показан на рисунке 4а.

Рисунок 4. Спектральная плотность гауссова импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:

(6)

Преобразуем показатель экспоненты (6) следующим образом:

(7)

Тогда (6) с учетом (7):

(8)

Из курса математического анализа [1, стр. 401] известно, что:

(9)

Введем в выражении (8) замену переменной $\xi = \frac{t}{\sigma} + j\frac{\omega\sigma}{2}$ , тогда $dt = \sigma \, d\xi$ , пределы интегрирования остаются неизменными при положительном значении $\sigma$ . Тогда (8) можно представить как:

(10)

и с учетом (9) окончательно можно записать:

(11)

Можно заметить, что временно́й гауссов импульс s(t)

имеет спектральную плотность $S(\omega)$ , которая также описывается гауссовской функцией.

График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра $\sigma$ показан на рисунке 4б. C увеличением $\sigma$ увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.

Спектральная плотность экспоненциального импульса

Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс s(t) , который задается выражением:

(12)

где

— амплитуда, а $\sigma$ — положительный параметр, который определяет ширину импульса. График двустороннего экспоненциального импульса при A = 1

и различном значении параметра $\sigma$ показан на рисунке 5а.

Рисунок 5. Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра $\sigma$ приводит к сужению импульса во временно́й области.

Рассмотрим спектральную плотность $S(\omega)$ двустороннего экспоненциального импульса:

(13)

Разобьем ось времени на положительную и отрицательную полуоси, и учтем что |t| = -t

для отрицательной полуоси времени. Тогда (13) можно записать:

(14)

Объединим показатели экспонент в обоих интегралах и получим:

(15)

Таким образом, спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса (12) представляет собой вещественную функцию частоты, обладающую следующими свойствами.

Спектральная плотность $S(\omega)$ двустороннего экспоненциального импульса является вещественной функцией частоты $\omega$ , ввиду временно́й симметрии импульса.
Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: $S(0) = {2A}/{\sigma}$ .
$S(\omega)$ носит затухающий характер.
Скорость убывания $S(\omega)$ пропорциональна $\frac{1}{\omega^2}$ . Это обусловлено наличием излома во временно́й области при .

На рисунке 5б показан вид спектральной плотности $S(\omega)$ при различном значении $\sigma$ . Можно видеть, что при увеличении параметра $\sigma$ , спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).

Рисунок 6. Односторонний экспоненциальный импульс

Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:

(16)

График одностороннего экспоненциального импульса показан на рисунке 6 при A = 1

и различном $\sigma$ .

Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:

(17)

Приведем основные частотные свойства $S(\omega)$ одностороннего экспоненциального импульса:

Спектральная плотность $S(\omega)$ одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты $\omega$ , ввиду отсутствия временно́й симметрии импульса.
Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: $S(0) = {A}/{\sigma}$ .
$S(\omega)$ носит затухающий характер.
Скорость убывания $S(\omega)$ пропорциональна $\frac{1}{\omega}$ . Это обусловлено наличием разрыва во временной области при .

Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты $\omega$ , то можно представить $S(\omega)$ в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:

(18)

На рисунке 7 показаны АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса для различных значения параметра $\sigma$ .

Рисунок 7. АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса
а — АЧХ; б — ФЧХ

Спектральная плотность функции $\operatorname{sinc}$

Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида $s(t) = A \operatorname{sinc}(\alpha t)$ , где $\alpha$ — параметр определяющий ширину главного лепестка функции $\operatorname{sinc}$ , как это показано на рисунке 8а.

Спектральная плотность функции а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Рисунок 8. Спектральная плотность функции $\operatorname{sinc}$
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для получения спектральной плотности сигнала $s(t) = A \operatorname{sinc}(\alpha t)$ воспользуемся свойством двойственности преобразования Фурье, рассмотренным в в предыдущем параграфе. Тогда из выражения (2) можно записать:

(19)

Произведем замену переменных $\omega$ и

, а также обозначим $\alpha = \frac{\tau}{2}$ , откуда $\tau = 2\alpha$ :

(20)

Вынесем множитель $2\alpha$ из под оператора преобразования Фурье, и окончательно спектральная плотность сигнала $s(t) = A \operatorname{sinc}(\alpha t)$ равна:

(21)

График спектральной плотности сигнала $s(t) = A \operatorname{sinc}(\alpha t)$ показан на рисунке 8б.

Важным частным случаем является $A = \alpha / \pi$ , тогда $s(t) = \frac{\alpha}{\pi} \operatorname{sinc}(\alpha t)$ будет иметь спектральную плотность $S(\omega) = п_{2\alpha}(\omega)$ , что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал $s(t) = \frac{\alpha}{\pi} \operatorname{sinc} (\alpha t)$ определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса, а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.

Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[3] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[4] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:52)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14