Спектральные плотности некоторых сигналов
![]() DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
|
Рассмотрим спектральную плотность прямоугольного импульса
длительности
и амплитуды
. Функция
описывает прямоугольный импульс длительности
и единичной амплитуды:


а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Спектральная плотность прямоугольного импульса
равна:




- Спектральная плотность
является вещественной функцией частоты
, ввиду временно́й симметрии импульса
.
- Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса:
.
-
носит затухающий колебательный характер. Нули
, т.е. частоты, соответствующие
, равны
, где
- Скорость убывания боковых лепестков
пропорциональна
, ввиду разрыва первого рода (скачка) сигнала
во временно́й области.
Рассмотрим треугольный импульс длительности
и амплитуды
:


а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.
Можно заметить, что треугольный импульс длительности и амплитуды
может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса
длительности
и амплитуды
c самим собой, как это показано на рисунке 3.

свертки прямоугольных импульсов
Обратим внимание, что один из углов маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала
, входящего в интеграл свертки.
Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения
сигнала
и его сдвинутой инверсной во времени копии
.
Таким образом, мы можем применить
свойство преобразования Фурье свертки сигналов
и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности прямоугольного импульса
длительности
и амплитуды
:


- Спектральная плотность
треугольного импульса является вещественной функцией частоты
, ввиду временно́й симметрии импульса.
- Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса:
.
-
носит затухающий колебательный характер. Нули
, т.е. частоты, соответствующие
, равны
, где
- Скорость убывания боковых лепестков
пропорциональна
. Это выше, чем скорость убывания боковых лепестков прямоугольного импульса, ввиду отсутствия разрывов сигнала
во временно́й области.
- Главный лепесток спектральной плотности
в два раза шире, чем главный лепесток спектральной плотности прямоугольного импульса при той же длительности
.
Гауссов импульс задается выражением:



График гауссова импульса при различном значении и
показан на рисунке 4а.

а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:











График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра показан на рисунке 4б.
C увеличением
увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.
Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс , который задается выражением:






а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра приводит к сужению импульса во временно́й области.
Рассмотрим спектральную плотность двустороннего экспоненциального импульса:




- Спектральная плотность
двустороннего экспоненциального импульса является вещественной функцией частоты
, ввиду временно́й симметрии импульса.
- Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса:
.
-
носит затухающий характер.
- Скорость убывания
пропорциональна
. Это обусловлено наличием излома
во временно́й области при
.
На рисунке 5б показан вид спектральной плотности при различном значении
. Можно видеть, что при увеличении параметра
, спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).

Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:



Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:


- Спектральная плотность
одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты
, ввиду отсутствия временно́й симметрии импульса.
- Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса:
.
-
носит затухающий характер.
- Скорость убывания
пропорциональна
. Это обусловлено наличием разрыва
во временной области при
.
Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , то можно представить
в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:



а — АЧХ; б — ФЧХ

Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида , где
— параметр определяющий ширину главного лепестка функции
, как это показано на рисунке 8а.


а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность
Для получения спектральной плотности сигнала воспользуемся
свойством двойственности преобразования Фурье,
рассмотренным в
в предыдущем параграфе.
Тогда из выражения (2) можно записать:










Важным частным случаем является , тогда
будет иметь спектральную плотность
, что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал
определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.
В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса, а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.
Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов