Частотные преобразования передаточных характеристик аналоговых фильтров. Преобразование ФНЧ–ФНЧ и ФНЧ–ФВЧ
![]() DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
|
В предыдущих разделах мы рассмотрели вопросы расчета аналоговых нормированных фильтров нижних частот. Был рассмотрен расчет фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра (эллиптических фильтров). Однако это были лишь ФНЧ с частотой среза равной 1 рад/с. На практике требуется рассчитать различные типы фильтров: фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные фильтры (РФ). Кроме того ФНЧ тоже может потребоваться с различной частотой среза.
В данном разделе мы рассмотрим частотные преобразования передаточных характеристик нормированных ФНЧ в передаточные характеристики фильтров всех типов (ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ).
Пусть мы рассчитали передаточную характеристику нормированного ФНЧ при использовании выбранной аппроксимации АЧХ фильтра (Баттерворта, Чебышева или эллиптический):




Смысл частотных преобразований заключается в рациональной композиции передаточной характеристики нормированного ФНЧ:





С математической точки зрения дробно-рациональная композиция (2) осуществляет комфорное отображение передаточной функции нормированного ФНЧ в передаточную функцию
. В результате такого отображения происходит трансформация шкалы частот комплексного коэффициента передачи
нормированного ФНЧ в комплексный коэффициент передачи
фильтра другого типа (ФНЧ, ФВЧ, ПФ или РФ).
Необходимо заметить, что при композиции передаточной функции и функции преобразования
второго порядка, порядок результирующего фильтра удваивается, потому что вместо переменной
появляется переменная во второй степени. Это свойство важно для преобразования ФНЧ–ПФ и ФНЧ–РФ, поскольку, как мы увидим ниже, именно для них используется
второго порядка.
Первое что мы рассмотрим, это преобразование передаточной характеристики нормированного ФНЧ, в ФНЧ, с передаточной характеристикой
, но с другой частотой среза
. При этом неравномерность в полосе пропускания фильтра
дБ и уровень подавления в полосе заграждения
дБ остаются неизменными. Для этого используют дробно-рациональную композицию вида:





На верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ , а на
верхнем правом — АЧХ
после частотного преобразования.
Для преобразования оси частот используют проекцию (4), как это показано на нижнем левом графике. Также на рисунке 1 показано преобразование нескольких точек АЧХ исходного нормированного ФНЧ в АЧХ ФНЧ с заданной частотой среза
. Заштрихованные области показывают полосы АЧХ исходного нормированного ФНЧ и соответствующие полосы АЧХ фильтра после частотного преобразования.
Как следует из выражения (4) и рисунка 1, преобразование ФНЧ–ФНЧ осуществляет линейное масштабирование оси частот нормированного ФНЧ.
Рассмотрим пример частотного преобразования ФНЧ–ФНЧ. Передаточная характеристика нормированного эллиптического ФНЧ 3-го порядка при неравномерности в полосе пропускания
дБ и уровне подавления в полосе заграждения
дБ имеет вид:













Преобразование ФНЧ–ФНЧ не изменяет неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения, но производит линейное масштабирование оси частот при изменении частоты среза. Переходная полоса фильтра также растягивается (сжимается), поэтому для расчета ФНЧ с заданной частотой среза и переходной полосой, заданной
, необходимо рассчитывать передаточную характеристику
нормированного ФНЧ с учетом масштабирования при преобразовании ФНЧ–ФНЧ.
Пусть даны частота среза и частота заграждения рассчитываемого фильтра
. Тогда параметры квадрата АЧХ нормированного ФНЧ задаются следующим образом:




Например рассчитаем эллиптический ФНЧ исходя из следующих начальных данных:

Шаг 1. Рассчитываем частоты нормированного ФНЧ:

Шаг 2. Рассчитываем передаточную характеристику нормированного ФНЧ, удовлетворяющей полученным ограничениям по частоте с заданными параметрами и
. Подробно вопрос расчета нормированного эллиптического ФНЧ был изложен в
предыдущем параграфе,
мы лишь приведем конечный результат:

Шаг 3. Осуществляем подстановку и получим передаточную характеристику требуемого ФНЧ:






В данном параграфе мы рассмотрим вопрос частотного преобразования передаточной характеристики нормированного ФНЧ в передаточную характеристику
фильтра верхних частот с частотой среза
. Неравномерность квадрата АЧХ в полосе пропускания
и уровень подавления в полосе заграждения
остаются неизменными. Для частотного преобразования ФНЧ–ФВЧ применяют следующую рациональную композицию:


Как нетрудно заметить, композиция (12) обратна подстановке (3), при этом преобразование ФНЧ–ФВЧ трансформирует ось частот исходного нормированного ФНЧ в ось частот
фильтра верхних частот, согласно выражению:

Преобразование ФНЧ–ФВЧ нелинйно преобразует шкалу частот исходного нормированного ФНЧ, таким образом, нулевая частота исходного нормированного ФНЧ переносится на бесконечность, полоса нормированного ФНЧ от 0 до 1 рад/с (вертикальная штриховка) преобразуется в полосу ФВЧ от до минус бесконечности, а полоса нормированного ФНЧ от 1 рад/с до бесконечности рад/с (точечное заполнение) полностью размещается внутри полосы от
до 0 пересчитанного ФВЧ. Таким образом ось частот «выворачивается» относительно частоты 1 рад/с и переносится на
.
Например преобразуем передаточную характеристику нормированного эллиптического ФНЧ (5) в ФВЧ с частотой среза
рад/с. Произведем подстановку (12) и получим передаточную характеристику
:








При расчете ФВЧ, также как и в случае с ФНЧ, мы можем задать параметры квадрата АЧХ, как это показано на рисунке 6
Обратим внимание, что в отличии от параметров квадрата АЧХ фильтра нижних частот, частота заграждения меньше частоты среза
фильтра верхних частот. Тогда для расчета ФВЧ по заданным параметрам квадрата АЧХ необходимо исходный нормированный ФНЧ рассчитать исходя из следующих параметров:

Например рассчитаем эллиптический ФВЧ исходя из следующих начальных данных:

Шаг 1. Рассчитываем частоты нормированного ФНЧ согласно (15):

Шаг 2. Рассчитываем передаточную характеристику нормированного ФНЧ:


И получаем передаточную характеристику ФВЧ , рассчитанную по заданным параметрам квадрата АЧХ.
Квадрат АЧХ исходного нормированного ФНЧ и квадрат АЧХ
ФВЧ после частотного преобразования показаны на рисунке 7.



Таким образом, мы рассмотрели как преобразовать нормированный ФНЧ в ФНЧ с заданной частотой среза, а также в ФВЧ с заданной частотой среза. При этом важно подчеркнуть, что пересчет ФНЧ-ФНЧ и ФНЧ-ФВЧ не изменяет количества коэффициентов передаточной характеристики фильтра.
В следующем разделе мы рассмотрим оставшиеся два преобразования: ФНЧ — полосовой фильтр и ФНЧ — режекторный фильтр.