Частотные преобразования передаточных характеристик аналоговых фильтров. Преобразование ФНЧ–ФНЧ и ФНЧ–ФВЧ

Содержание

Постановка задачи

Преобразование ФНЧ--ФНЧ

Расчет ФНЧ с произвольной частотой среза на основе параметров квадрата АЧХ

Преобразование ФНЧ--ФВЧ

Расчет ФВЧ с заданной частотой среза по заданным параметрам квадрата АЧХ

Выводы

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Постановка задачи

В предыдущих разделах мы рассмотрели вопросы расчета аналоговых нормированных фильтров нижних частот. Был рассмотрен расчет фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра (эллиптических фильтров). Однако это были лишь ФНЧ с частотой среза равной 1 рад/с. На практике требуется рассчитать различные типы фильтров: фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные фильтры (РФ). Кроме того ФНЧ тоже может потребоваться с различной частотой среза.

В данном разделе мы рассмотрим частотные преобразования передаточных характеристик нормированных ФНЧ в передаточные характеристики фильтров всех типов (ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ).

Пусть мы рассчитали передаточную характеристику нормированного ФНЧ $H_{н}\left( s \right)$ при использовании выбранной аппроксимации АЧХ фильтра (Баттерворта, Чебышева или эллиптический):

(1)

Частота среза нормированного ФНЧ равна ${{\Omega }_{p}}=1$ рад/с. В данном разделе мы будем обозначать циклическую частоту аналогового нормированного ФНЧ заглавной греческой буквой $\Omega$ чтобы отличить шкалу частот, относящуюся к нормированному ФНЧ, от шкалы частот $\omega$ фильтра после частотного преобразования.

Смысл частотных преобразований заключается в рациональной композиции передаточной характеристики $H_{н}\left( s \right)$ нормированного ФНЧ:

(2)

— передаточная характеристика фильтра после преобразования, F(s)

— дробно-рациональная функция первого или второго порядка. Таким образом дробно-рациональная композиция заключается в подстановке вместо переменной

в передаточную характеристику нормированного ФНЧ некоторой рациональной функции F(s)

С математической точки зрения дробно-рациональная композиция (2) осуществляет комфорное отображение передаточной функции нормированного ФНЧ $H_{н}\left( s \right)$ в передаточную функцию H(s) . В результате такого отображения происходит трансформация шкалы частот комплексного коэффициента передачи $H_{н}\left( j \Omega \right)$ нормированного ФНЧ в комплексный коэффициент передачи $H(j\omega)$ фильтра другого типа (ФНЧ, ФВЧ, ПФ или РФ).

Необходимо заметить, что при композиции передаточной функции $H_{н}\left( s \right)$ и функции преобразования F(s) второго порядка, порядок результирующего фильтра удваивается, потому что вместо переменной появляется переменная во второй степени. Это свойство важно для преобразования ФНЧ–ПФ и ФНЧ–РФ, поскольку, как мы увидим ниже, именно для них используется F(s) второго порядка.

Преобразование ФНЧ--ФНЧ

Первое что мы рассмотрим, это преобразование передаточной характеристики $H_{н}\left( s \right)$ нормированного ФНЧ, в ФНЧ, с передаточной характеристикой $H\left( s \right)$ , но с другой частотой среза ${{\omega }_{p}}$ . При этом неравномерность в полосе пропускания фильтра R_p дБ и уровень подавления в полосе заграждения R_s дБ остаются неизменными. Для этого используют дробно-рациональную композицию вида:

(3)

Такая подстановка эквивалентна подстановке частоты в выражения для комплексного коэффициента передачи:

(4)

где $\Omega$ — циклическая частота нормированного ФНЧ с комплексным коэффициентом передачи $H_{н}\left( j {{\Omega }} \right)$ . Графическое представление частотного преобразования ФНЧ–ФНЧ показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Графическое представление частотного преобразования ФНЧ–ФНЧ

На верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ $\left| H_{н}\left( j {\Omega } \right) \right|$ , а на верхнем правом — АЧХ $|H(j \omega)|$ после частотного преобразования. Для преобразования оси частот используют проекцию (4), как это показано на нижнем левом графике. Также на рисунке 1 показано преобразование нескольких точек АЧХ исходного нормированного ФНЧ в АЧХ ФНЧ с заданной частотой среза ${{\omega }_{p}}$ . Заштрихованные области показывают полосы АЧХ исходного нормированного ФНЧ и соответствующие полосы АЧХ фильтра после частотного преобразования.

Как следует из выражения (4) и рисунка 1, преобразование ФНЧ–ФНЧ осуществляет линейное масштабирование оси частот нормированного ФНЧ.

Рассмотрим пример частотного преобразования ФНЧ–ФНЧ. Передаточная характеристика $H_{н}\left( s \right)$ нормированного эллиптического ФНЧ 3-го порядка при неравномерности в полосе пропускания R_p = 1 дБ и уровне подавления в полосе заграждения R_s = 30 дБ имеет вид:

(5)

Пересчитаем передаточную характеристику $H_{н}\left( s \right)$ в передаточную характеристику H(s)

эллиптического ФНЧ с частотой среза $\omega_p=10$ рад/с без изменения параметров R_p

. Для этого в выражение (5) сделаем подстановку (3) и получим:

(6)

На рисунке 2 показаны квадрат АЧХ $|H_{н}( j\Omega )|^2$ исходного нормированного ФНЧ и квадрат АЧХ $|{H}( j\omega )|^2$ ФНЧ после частотного преобразования.

квадрат АЧХ нормированного ФНЧ и квадрат АЧХ ФНЧ с частотой среза рад/c

Рисунок 2. квадрат АЧХ $|H_{н}( j\Omega )|^2$ нормированного ФНЧ и квадрат АЧХ $|{H}( j\omega )|^2$ ФНЧ с частотой среза $\omega_p = 10$ рад/c

Расчет ФНЧ с произвольной частотой среза на основе параметров квадрата АЧХ

Преобразование ФНЧ–ФНЧ не изменяет неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения, но производит линейное масштабирование оси частот при изменении частоты среза. Переходная полоса фильтра также растягивается (сжимается), поэтому для расчета ФНЧ с заданной частотой среза $\omega_p$ и переходной полосой, заданной $\omega_s$ , необходимо рассчитывать передаточную характеристику $H_{н}(s)$ нормированного ФНЧ с учетом масштабирования при преобразовании ФНЧ–ФНЧ.

Пусть даны частота среза ${{\omega }_{p}}$ и частота заграждения рассчитываемого фильтра ${{\omega }_{s}}$ . Тогда параметры квадрата АЧХ нормированного ФНЧ задаются следующим образом:

(7)

Использование частот (7) при расчете передаточной характеристики ${{H}_{н}}\left( s \right)$ нормированного ФНЧ, обеспечит удовлетворение заданных параметров квадрата АЧХ и после преобразования ФНЧ–ФНЧ (3). При этом параметры R_p

, задающие неравномерность квадрата АЧХ в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения остаются без изменений.

Например рассчитаем эллиптический ФНЧ исходя из следующих начальных данных:

(8)

Шаг 1. Рассчитываем частоты нормированного ФНЧ:

(9)

Шаг 2. Рассчитываем передаточную характеристику нормированного ФНЧ, удовлетворяющей полученным ограничениям по частоте с заданными параметрами R_p и R_s . Подробно вопрос расчета нормированного эллиптического ФНЧ был изложен в предыдущем параграфе, мы лишь приведем конечный результат:

(10)

Таким образом, пересчитанные частоты нормированного ФНЧ требуют фильтр шестого порядка для удовлетворения заданной переходной полосы.

Шаг 3. Осуществляем подстановку $H(s) = H_{н}\left(\frac{s}{10}\right)$ и получим передаточную характеристику требуемого ФНЧ:

(11)

Квадраты АЧХ $|H_{н}(j\Omega)|^2$ исходного нормированного ФНЧ и $|H(j\omega)|^2$ ФНЧ после частотного преобразования показаны на рисунке 3.

Квадрат АЧХ исходного нормированного ФНЧ, и квадрат АЧХ ФНЧ рассчитанного по заданным параметрам АЧХ

Рисунок 3. Квадрат АЧХ $|H_{н}(j\Omega)|^2$ исходного нормированного ФНЧ, и квадрат АЧХ $|H(j\omega)|^2$ ФНЧ рассчитанного по заданным параметрам АЧХ

Преобразование ФНЧ--ФВЧ

В данном параграфе мы рассмотрим вопрос частотного преобразования передаточной характеристики $H_{н}\left(s\right)$ нормированного ФНЧ в передаточную характеристику H(s) фильтра верхних частот с частотой среза ${{\omega }_{p}}$ . Неравномерность квадрата АЧХ в полосе пропускания R_p и уровень подавления в полосе заграждения R_s остаются неизменными. Для частотного преобразования ФНЧ–ФВЧ применяют следующую рациональную композицию:

(12)

Рисунок 4. Графическое представление частотного преобразования ФНЧ–ФВЧ

Как нетрудно заметить, композиция (12) обратна подстановке (3), при этом преобразование ФНЧ–ФВЧ трансформирует ось частот $\Omega$ исходного нормированного ФНЧ в ось частот $\omega$ фильтра верхних частот, согласно выражению:

(13)

Частотное преобразование ФНЧ–ФВЧ графически представлено на рисунке 4.

Преобразование ФНЧ–ФВЧ нелинйно преобразует шкалу частот исходного нормированного ФНЧ, таким образом, нулевая частота исходного нормированного ФНЧ переносится на бесконечность, полоса нормированного ФНЧ от 0 до 1 рад/с (вертикальная штриховка) преобразуется в полосу ФВЧ от $-{{\omega }_{p}}$ до минус бесконечности, а полоса нормированного ФНЧ от 1 рад/с до бесконечности рад/с (точечное заполнение) полностью размещается внутри полосы от $-{{\omega }_{p}}$ до 0 пересчитанного ФВЧ. Таким образом ось частот «выворачивается» относительно частоты 1 рад/с и переносится на ${{\omega }_{p}}$ .

Например преобразуем передаточную характеристику $H_{н}\left(s\right)$ нормированного эллиптического ФНЧ (5) в ФВЧ с частотой среза ${{\omega }_{p}}=10$ рад/с. Произведем подстановку (12) и получим передаточную характеристику ${H}\left( s \right)$ :

(14)

Квадрат АЧХ $|H_{н}(j\Omega)|^2$ исходного нормированного ФНЧ, а также квадрат АЧХ $|H(j\omega)|^2$ фильтра после преобразования показаны на рисунке 5.

Квадрат АЧХ нормированного ФНЧ и квадрат АЧХ ФВЧ с частотой среза рад/c

Рисунок 5. Квадрат АЧХ $|{H}_{н}\left( j\Omega \right)|^2$ нормированного ФНЧ и квадрат АЧХ $|{H}\left( j\omega \right)|^2$ ФВЧ с частотой среза $\omega_p = 10$ рад/c

Расчет ФВЧ с заданной частотой среза по заданным параметрам квадрата АЧХ

Рисунок 6. Параметры квадрата АЧХ ФВЧ

При расчете ФВЧ, также как и в случае с ФНЧ, мы можем задать параметры квадрата АЧХ, как это показано на рисунке 6

Обратим внимание, что в отличии от параметров квадрата АЧХ фильтра нижних частот, частота заграждения $\omega_s$ меньше частоты среза $\omega_p$ фильтра верхних частот. Тогда для расчета ФВЧ по заданным параметрам квадрата АЧХ необходимо исходный нормированный ФНЧ рассчитать исходя из следующих параметров:

(15)

Например рассчитаем эллиптический ФВЧ исходя из следующих начальных данных:

(16)

Шаг 1. Рассчитываем частоты нормированного ФНЧ согласно (15):

(17)

Шаг 2. Рассчитываем передаточную характеристику ${{H}_{н}}\left( s \right)$ нормированного ФНЧ:

(18)

Шаг 3. Осуществляем подстановку (12):

(19)

И получаем передаточную характеристику ФВЧ ${{H}}\left( s \right)$ , рассчитанную по заданным параметрам квадрата АЧХ.

Квадрат АЧХ $|H_{н}\left(j \Omega\right)|^2$ исходного нормированного ФНЧ и квадрат АЧХ $|H\left(j \omega\right)|^2$ ФВЧ после частотного преобразования показаны на рисунке 7.

Квадрат АЧХ исходного нормированного ФНЧ, и квадрат АЧХ ФВЧ рассчитанного по заданным параметрам квадрата АЧХ

Рисунок 7. Квадрат АЧХ $|H_{н}(j\Omega)|^2$ исходного нормированного ФНЧ, и квадрат АЧХ $|H(j\omega)|^2$ ФВЧ рассчитанного по заданным параметрам квадрата АЧХ

Выводы

Таким образом, мы рассмотрели как преобразовать нормированный ФНЧ в ФНЧ с заданной частотой среза, а также в ФВЧ с заданной частотой среза. При этом важно подчеркнуть, что пересчет ФНЧ-ФНЧ и ФНЧ-ФВЧ не изменяет количества коэффициентов передаточной характеристики фильтра.

В следующем разделе мы рассмотрим оставшиеся два преобразования: ФНЧ — полосовой фильтр и ФНЧ — режекторный фильтр.

Список литературы

[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Daniels R. Approximation Methods for Electronic Filter Design. New York, McGraw-Hill, 1974, 388 p.

[3] Orfanidis S.J. Lecture notes on elliptic filter design. Rutgers University, 2006. [PDF]

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:26)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14