Преобразование ФНЧ–ПФ

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Введение

В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопросы частотного преобразования передаточных характеристик H_{н}(s) нормированных ФНЧ в ФНЧ с произвольной частотой среза, а также в фильтры верхних частот.

В данном разделе мы рассмотрим частотное преобразование ФНЧ–ПФ передаточной характеристики нормированного ФНЧ H_{н}(s) в передаточную характеристику H(s) полосового фильтра (ПФ).

Параметры квадрата АЧХ |H(j\omega)|^2 полосового фильтра представлены на рисунке 1.

Параметры квадрата АЧХ полосового фильтра
Рисунок 1. Параметры квадрата АЧХ полосового фильтра

В отличии от рассмотренных выше фильтров нижних и верхних частот, полосовой фильтр пропускает некоторую полосу B и имеет две частоты среза: \omega_{pl} — нижняя частота среза и \omega_{ph} — верхняя частота среза. Кроме того имеется нижняя \omega_{sl} и верхняя \omega_{sh} частоты заграждения, также показанные на рисунке 1.

Преобразование ФНЧ--ПФ

Для частотного преобразования ФНЧ–ПФ применяют следующую рациональную композицию:

equation 1
(1)
Преобразование ФНЧ–ПФ трансформирует ось частот \Omega исходного нормированного ФНЧ в ось частот \omega полосового фильтра, согласно выражению:

equation 2
(2)
откуда

equation 3
(3)
Частотное преобразование ФНЧ–ПФ графически представлено на рисунке 2.

Частотное преобразование ФНЧ–ПФ
Рисунок 2. Частотное преобразование ФНЧ–ПФ

При частотном преобразовании ФНЧ–ПФ нулевая частота нормированного ФНЧ \Omega = 0 переносится на частоты \pm \omega_c, при этом вся ось частот нормированного ФНЧ \Omega дважды преобразуется для положительной и отрицательной полуосей \omega полосового фильтра.

Важно отметить, что при рациональной композиции (1) наличие квадратичного члена приводит к удвоению порядка полосового фильтра относительно порядка нормированного ФНЧ.

Рассмотрим некоторые свойства частотного преобразования ФНЧ–ПФ. Пусть некоторая частота \Omega_x комплексного коэффициента передачи нормированного ФНЧ преобразуется согласно (3) в частоту \omega_x, частота -\Omega_x преобразуется в некоторую частоту \omega_y. Тогда из (3) можно записать равенство:

equation 4
(4)
откуда

equation 5
(5)
или окончательно

equation 6
(6)
Таким образом, симметричные относительно нуля частоты \pm \Omega_x нормированного ФНЧ преобразуются в частоты \omega_x и \omega_y с геометрической симметрией относительно центральной частоты \omega_c. Другими словам \omega_c это среднее геометрическое частот \omega_x и \omega_y, полученных в результате преобразования симметричных частот \pm \Omega_x нормированного ФНЧ.

Расчет полосового фильтра по заданным параметрам квадрата АЧХ

Геометрическая симметрия (6) частот полученного ПФ относительно \omega_c позволяет произвести пересчет частоты заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ таким образом, что при нелинейном преобразовании оси частот согласно выражению (1), квадрат АЧХ полученного ПФ полностью удовлетворял заданным параметрам.

В случае с ФНЧ и ФВЧ задача сводилать к пересчету переходной полосы результирующего фильтра, в частоту заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ. Полосовой фильтр имеет две переходные полосы, и нужно произвести пересчет частоты заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ таким образом, чтобы удовлетворить обоим переходным полосам одновременно. Поэтому прежде мы должны выработать правило выбора переходной полосы на основе которой мы будем производить пересчет частоты заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ.

Параметры квадрата АЧХ полосового фильтра задаются частотами 0 < \omega_{sl} < \omega_{pl} <  \omega_{ph} < \omega_{sh} (смотри рисунок 1), а также уровнями неравномерности в полосе пропускания R_p и уровнем минимального подавления в полосе заграждения R_s.

На первом шаге рассчитывается частота симметрии \omega_c^2 = \omega_{pl} \cdot \omega_{ph}, согласно (1).

Теперь воспользовавшись правилом геометрической симметрии, мы можем проверить куда относительно нижней частоты заграждения \omega_{sl} попадает частота \xi_{sh} симметричная, относительно верхней частоты заграждения \omega_{sh}:

equation 7
(7)
На рисунке 3 показано два варианта. Рисунок 3a, означает, что если мы возьмем для расчета нижнюю переходную полосу, то полученный квадрат АЧХ не удовлетворит верхней переходной полосе ввиду свойства симметрии, так как \xi_{sl} > \omega_{sh}. Тогда для этого случая надо пересчет вести по верхней переходной полосе.

Второй вариант рисунок 3б говорит о том, что выбрав нижнюю переходную полосу мы одновременно удовлетворим и верхней переходной полосе, поскольку \xi_{sl} в силу свойств симметрии меньше \omega_{sh}.

Выбор переходной полосы ПФ для пересчета частоты заграждения  нормированного ФНЧ
Рисунок 3. Выбор переходной полосы ПФ для пересчета частоты заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ

Таким образом, мы можем выбрать по какой переходной полосе вести пересчет частоты заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ:

equation 8
(8)

Пример 1. Пусть \omega_{sl} = 5 рад/с, \omega_{pl} = 6 рад/с, \omega_{ph} = 10 рад/с и \omega_{sh} = 20 рад/с. Пересчитаем \xi_{sh}:

equation 9
(9)
что соответствует рисунку 3б, потому что \xi_{sh} < \omega_{sl} и пересчет частоты заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ необходимо вести по нижней переходной полосе при \omega_{sx} = \omega_{sl}:

equation 10
(10)

Пример 2. Пусть \omega_{sl} = 5 рад/с, \omega_{pl} = 6 рад/с, \omega_{ph} = 9 рад/с и \omega_{sh} = 10 рад/с. Пересчитаем \xi_{sh}:

equation 11
(11)
что соответствует рисунку 3а, потому что \xi_{sh} > \omega_{sl} и пересчет частоты заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ необходимо вести по верхней переходной полосе при \omega_{sx} = \omega_{sh}:

equation 12
(12)

Таким образом, мы рассмотрели вопрос пересчета частоты заграждения \Omega_s нормированного ФНЧ для удовлетворения заданных параметров квадрата АЧХ полосового фильтра. Нам осталось лишь рассмотреть пример расчета полосового фильтра по заданным параметрам.

Пример расчета полосового фильтра по заданным параметрам квадрата АЧХ

Требуется рассчитать полосовой эллиптический фильтр, квадрат АЧХ которого задан следующими параметрами:

equation 13
(13)
Шаг 1. Рассчитываем квадрат частоты геометрической симметрии АЧХ \omega_c^2 и полосу пропускания B полосового фильтра согласно (1):
equation 14
(14)
Шаг 2. Пересчитываем полосу заграждения \Omega_s нормированного эллиптического ФНЧ. Для этого проверяем частоту \xi_{sh} согласно (7):
equation 15
(15)
Поскольку полученное значение \xi_{sh} больше чем \omega_{sl}, то согласно (8), \omega_{sx} = \omega_{sh}, и получаем частоту заграждения нормированного ФНЧ:
equation 16
(16)
Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику H_{н}(s) нормированного эллиптического ФНЧ по следующим параметрам квадрата АЧХ: частота среза \Omega_p = 1 рад/с, частота заграждения \Omega_s = 1.383 рад/с, неравномерность в полосе пропускания R_p = 1 дБ и подавление в полосе заграждения R_s = 40 дБ. Передаточная характеристика нормированного ФНЧ, рассчитанная по заданным параметрам квадрата АЧХ имеет вид:

equation 17
(17)
Шаг 4. Осуществляем преобразование ФНЧ–ПФ согласно (1) и после приведения подобных слагаемых получим передаточную функцию H(s) полосового фильтра десятого порядка:
equation 18
(18)
На рисунке 4 показаны квадрат АЧХ |H_{н}(j\Omega)|^2 нормированного ФНЧ, а также квадрат АЧХ |H(j\omega)|^2 полученного полосового фильтра.
Квадрат АЧХ   исходного нормированного ФНЧ, и квадрат АЧХ  полосового фильтра рассчитанного по заданным параметрам АЧХ
Рисунок 4. Квадрат АЧХ |H_{н}(j\Omega)|^2 исходного нормированного ФНЧ, и квадрат АЧХ |H(j\omega)|^2 полосового фильтра рассчитанного по заданным параметрам АЧХ

Как можно заметить из рисунка 4, квадрат АЧХ |H(j\omega)|^2 полученного полосового фильтра полностью укладывается в заданные параметры, ограниченные наклонной штриховкой.

Реализация в библиотке DSPL-2.0

Пребразование ФНЧ–ПФ реализовано в библиотке DSPL-2.0 в виде функции low2bp .

Исходный код программы, реализующий рассчет приведенного в разделе примера преобразования ФНЧ–ПФ приведен в следующем листинге:


#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include "dspl.h"

#define N  2000
#define ORD 5




int main(int argc, char* argv[]) 
{
    double w[N], h[N];
    double bn[ORD+1],   an[ORD+1];
    double bt[2*ORD+1], at[2*ORD+1];
    int k;
    
    void* handle;           /* DSPL handle        */
    handle = dspl_load();   /* Load DSPL function */
        
    
    ellip_ap(1, 40, ORD, bn, an);
    
    for(k = 0; k < ORD+1; k++)
        printf("bn[%d] = %9.3f  an[%d] = %9.3f\n",k,bn[k],k,an[k]);
    
    
    logspace(-2, 3,N, DSPL_SYMMETRIC, w);
    filter_freq_resp(bn, an, ORD, w, N, DSPL_FLAG_ANALOG|DSPL_FLAG_LOGMAG, 
                                                                 h, NULL, NULL);
        
    writetxt(w, h, N, "dat/low2bp_mag_norm.txt");
    
    
    low2bp(bn, an, ORD, 1.0, 5.0, 15.0, bt, at);
    
    logspace(0, 2,N, DSPL_SYMMETRIC, w);
    filter_freq_resp(bt, at, 2*ORD, w, N, DSPL_FLAG_ANALOG|DSPL_FLAG_LOGMAG, 
                                                                 h, NULL, NULL);
    
    for(k = 0; k < 2*ORD+1; k++)
        printf("bt[%d] = %9.3e  at[%d] = %9.3e\n",k, bt[k],k,at[k]);
    writetxt(w, h, N, "dat/low2bp_mag_tr.txt");
    
    
    dspl_free(handle);      /* free dspl handle */
    return 0;
}




Выводы

Таким образом, мы рассмотрели как преобразовать нормированный ФНЧ в полосовой с заданными параметрами квадрата АЧХ.

Преобразование ФНЧ–ПФ удваивает количество коэффициентов полосового фильтра относительно количества коэффициентов ФНЧ. При этом полученная АЧХ обладает свойством геометрической симметрии относительно центральной частоты.

Список литературы
[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Daniels R. Approximation Methods for Electronic Filter Design. New York, McGraw-Hill, 1974, 388 p.

[3] Orfanidis S.J. Lecture notes on elliptic filter design. Rutgers University, 2006. [PDF]

Последнее изменение страницы: 15.11.2020 (16:31:51)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14