Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Исходные данные для расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В данном разделе мы рассмотрим расчет передаточной функции H\!\left( s \right) аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (инверсный фильтр Чебышева) по заданным параметрам квадрата АЧХ |H(j\omega)|^2, показанным на рисунке 1.

Параметры квадрата АЧХ  нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
Рисунок 1. Параметры квадрата АЧХ |H(j \omega)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В отличие от фильтров Чебышева первого рода, инверсные фильтры Чебышева обладают гладкой АЧХ в полосе пропускания и обеспечивают равноволновые пульсации в полосе заграждения с амплитудой G_s.

Также важно отметить, что нормированный ФНЧ Чебышева второго рода на частоте \omega = 1 рад/с обеспечивает подавление сигнала в G_s^2 раз по мощности, в отличии от рассмотренных выше нормированных ФНЧ Баттерворта и Чебышева первого рода.

Основные соотношения связывающие параметры квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода приведены на рисунке 1.

Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода представляется в виде:

equation 1
(1)
где {{C}_{N}}\left( \omega  \right)=\cos \left( N\arccos \left( \omega  \right) \right) – многочлен Чебышева порядка первого рода N.

Порядок нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, как и порядок нормированного ФНЧ Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения

equation 2
(2)
решение которого имеет вид:

equation 3
(3)

Исходными данными для расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода служат: частота среза {{\omega }_{p}}, переходная полоса, задаваемая {{\omega }_{s}} = 1 рад/с, допустимое искажение в полосе пропускания {{R}_{p}} (дБ) и требуемое подавление в полосе заграждения {{R}_{s}} (дБ).

На первом шаге рассчитываются параметры {{\varepsilon }_{p}} и {{\varepsilon }_{s}}, после чего производится оценка требуемого порядка фильтра N согласно выражению (3) при округлении N до бо́льшего целого значения. Для расчета передаточной функции H(s) необходимо найти выражения для нулей и полюсов квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.

Нули и полюсы квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В отличие от нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода имеет нули, которые находятся из уравнения:

equation 4
(4)
Комплексный коэффициент передачи H(j\omega) есть сечение передаточной характеристики H(s), s = \sigma+j\omega, плоскостью \sigma = 0. Тогда s = j\omega и в уравнение (4) можно подставить \omega = s/j:

equation 5
(5)
Из (5) можно получить выражение для нулей {{\zeta}_{n}} квадрата модуля |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода:

equation 6
(6)
Нули нормированного ФНЧ Чебышева второго рода всегда чисто мнимые и по модулю больше единицы. Заметим, что в выражении (6) индексация n ограничена 2N, из-за периодичности функции косинуса. Кроме того из анализа (6) следует, что все нули квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 имеют кратность равную двум. Это означает, что среди 2N нулей {{\zeta}_{n}}, имеется всего N различных значений и каждый ноль повторяется два раза.

Для расчета полюсов квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 приравняем знаменатель (1) к нулю:

equation 7
(7)
Выражение (7) можно представить в виде произведения комплексно-сопряженных множителей:

equation 8
(8)
Уравнение (8) можно переписать:

equation 9
(9)
Теперь необходимо решить уравнение (9) относительно s. Для этого введем обозначение

equation 10
(10)
тогда

equation 11
(11)
или с учетом соотношения

equation 12
(12)
можно записать

equation 13
(13)
Приравняем реальные и мнимые части в левой и правой частях уравнения (13) и получим систему:

equation 14
(14)
Гиперболический косинус \operatorname{ch}\left( N\beta  \right) никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (14) можно записать:

equation 15
(15)
Из второго уравнения, с учетом (15) можно заметить, что \sin \left( N\alpha_n  \right)=\pm 1 и тогда

equation 16
(16)
Таким образом, мы рассчитали значения \alpha_n и \beta в выражении (10). Теперь необходимо решить уравнение (10) относительно s:

equation 17
(17)
откуда, с учетом выражения

equation 18
(18)
можно записать:
equation 19
(19)
Тогда окончательно полюсы \rho_n квадрата модуля передаточной функции |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно записать с учетом (15) и (16):

equation 20
(20)

Расположение нулей и полюсов квадрата модуля |H(s)|^2 передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на комплексной плоскости s представлено на рисунке 2 для фильтров 8-го (слева) и 9-го (справа) порядков при подавлении в полосе заграждения R_s = 40 дБ.

Нули |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (обозначены кружками) расположены на мнимой оси j\omega, а полюсы (крестики) – на замкнутой параметрической кривой \sigma(t) + j\omega(t):

equation 21
(21)
где t – параметр кривой, а \beta зависит от порядка фильтра N и уровня подавления в полосе заграждения, определяемого параметром \varepsilon_s согласно (16).

Параметрические кривые (21) показаны на рисунке 2 непрерывными и пунктирными линиями для различного уровня подавления R_s от 20 до 80 дБ при фиксированном порядке фильтра (левые кривые для N=8, правые для N=9).

Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции  нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го и 9-го порядков
Рисунок 2. Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го и 9-го порядков

Из анализа рисунка 2 можно заметить, что |H(s)|^2 фильтра нечетного порядка имеет чисто вещественные полюсы, а все полюсы |H(s)|^2 фильтра четного порядка образуют комплексно-сопряженные пары.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Для получения передаточной характеристики H(s) физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все ее нули и полюсы располагались в левой полуплоскости s, или на мнимой оси j\omega. При этом нули и полюсы на мнимой оси должны быть простыми.

Тогда из всех 2N нулей \zeta_n квадрата модуля передаточной функции |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода необходимо выбрать N различных нулей кратности один, а из полюсов |H(s)|^2 необходимо выбрать только те, у которых {{\sigma }_{n}}<0. Тогда все полюсы \rho_n нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить в виде:

equation 22
(22)
Передаточная характеристика H(s) может быть записана в виде:

equation 23
(23)
Для представления передаточной характеристики H(s) нормированного ФНЧ Чебышева второго рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка N при n={\left( N+1 \right)}/{2}\;, {{\alpha }_{n}}={\pi }/{2}\;, получим некратный вещественный полюс \sigma_0 = -1/\operatorname{sh(\beta)}. При остальных n полюсы будут комплексно-сопряженные.

Тогда для любого N=2L+r, где r может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию H(s) нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить через биквадратную форму:

equation 24
(24)
где

equation 25
(25)
Нормировочный коэффициент передачи G_0 на нулевой частоте фильтра при s=0 равен:

equation 26
(26)
На рисунке 3 показаны квадрат АЧХ \left| H\left( j\omega  \right) \right|^2, ФЧХ \Phi \left( \omega  \right), групповая задержка \tau \left( \omega  \right) и временна́я импульсная характеристика h(t) нормированных ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (сплошная линия) и 9-го (пунктирная линия) порядков, с подавлением в полосе заграждения R_s =40 дБ. Нули и полюсы данных фильтров показаны на рисунке 2.

Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (сплошная линия) и 9-го (пунктирная линия) порядков
Рисунок 3. Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (сплошная линия) и 9-го (пунктирная линия) порядков

Из рисунка 3 хорошо видно, что квадрат АЧХ |H(j\omega)|^2 фильтра Чебышева второго рода имеет равноволновые колебания в полосе заграждения, обеспечивая тем самым заданный уровень подавления R_s дБ. При этом можно заметить, что квадрат АЧХ |H(j\omega)|^2 при четном порядке фильтра при увеличении частоты стремится к значению {G}_{s}^2, или -R_s дБ, а при нечетном порядке фильтра – к нулю (к бесконечному подавлению).

Пример расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева второго рода исходя из следующих параметров квадрата АЧХ:

equation 27
(27)
Обратим внимание, что в спецификации (27) параметр \omega_p < 1, а \omega_s  =1 рад/с.

Шаг 1. Рассчитаем параметры {\varepsilon }_{p} и {\varepsilon }_{s}:

equation 28
(28)

Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра N удовлетворяющий заданным параметрам АЧХ согласно выражению (3):

equation 29
(29)
Округляем в бо́льшую сторону, таким образом порядок фильтра N=5.

Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику H(s) на основе биквадратной формы согласно выражению (24). Для этого произведем предварительные расчеты.

Порядок фильтр N=5=2L+r, откуда L=2, r=1. Параметр \beta равен:

equation 30
(30)
Параметры {{\alpha }_{n}}, где n принимает значения 1 и 2 равны:

equation 31
(31)
Тогда свободные члены числителя передаточной функции H(s) равны:

equation 32
(32)
Рассчитаем параметры {{\sigma }_{n}} и {{\omega }_{n}}, а также рассчитаем {\sigma }_{n}^{2}+{\omega }_{n}^{2}:

equation 33
(33)
Обратим внимание, что r=1 и требуется также рассчитать некратный вещественный полюс {{\sigma }_{0}}:

equation 34
(34)
Рассчитаем нормировочный коэффициент G_0 согласно выражению (26):

equation 35
(35)
Теперь можно рассчитать передаточную характеристику H(s) нормированного ФНЧ Чебышева второго рода:
equation 36
(36)
На этом расчет передаточной функции H(s) нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно считать оконченным.

Подставив в выражение (36) для передаточной характеристики s=j\omega , получим комплексный коэффициент передачи H\left( j\omega  \right) из которого можно рассчитать квадрат АЧХ |H(j\omega)|^2, ФЧХ \Phi(\omega), групповую задержку \tau(\omega) и временну́ю импульсную характеристику h(t) фильтра.

На рисунке 4 показаны характеристики рассчитанного ФНЧ Чебышева второго рода.

Характеристики рассчитанного нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
Рисунок 4. Характеристики рассчитанного нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.

Были получены выражения для нулей и полюсов передаточной характеристики H(s) нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости s.

Приведено выражение для передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра.

Показан вид АЧХ фильтра Чебышева второго рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданным параметрам АЧХ.

Список литературы
[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Orfanidis S.J. Lecture notes on elliptic filter design. Rutgers University, 2006. [PDF]

[3] Orfanidis S.J. Introduction to Signal Processing. Rutgers University, 2010. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:17:34)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14