Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Исходные данные для расчета нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

В данном разделе мы рассмотрим расчет нормированного ФНЧ Чебышева первого рода по заданным параметрам квадрата АЧХ, показанным на рисунке 1. В отличии от фильтров Баттерворта, фильтры Чебышева первого рода имеют равноволновые пульсации квадрата АЧХ в полосе пропускания.

Параметры квадрата АЧХ аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода
Рисунок 1. Параметры квадрата АЧХ аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева первого рода представляется в виде:

equation 1
(1)
где {{C}_{N}}\left( \omega  \right)=\cos \big( N\arccos \left( \omega  \right) \big) – многочлен Чебышева первого рода.

Порядок нормированного ФНЧ Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения:

equation 2
(2)
решение которого имеет вид:

equation 3
(3)
где \operatorname{arch}\left( \bullet \right) - арккосинус гиперболический.

Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены в предыдущих разделах. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при расчете нормированного ФНЧ Чебышева первого рода.

Исходными данными для расчета нормированного ФНЧ Чебышева первого рода служат: частота среза {{\omega }_{p}} = 1 рад/с, переходная полоса, задаваемая {{\omega }_{s}}, допустимое искажение в полосе пропускания {{R}_{p}} и требуемое подавление в полосе заграждения {{R}_{s}}.

На первом шаге рассчитываются параметры {{\varepsilon }_{p}} и {{\varepsilon }_{s}} (смотри рисунок 1), после чего производится расчет требуемого порядка фильтра N согласно выражению (3) при округлении N до бо́льшего целого значения.

Для расчета передаточной функции H(s) необходимо найти выражения для нулей и полюсов квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода.

Нули и полюсы квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Предварительно вспомним некоторые свойства тригонометрических функций комплексного переменного. Рассмотрим косинус комплексной переменной z=x+jy. Представим как косинус суммы и получим:

equation 4
(4)
Учтем, что тригонометрические функции связаны с гиперболическими следующими соотношениями:

equation 5
(5)
Тогда (4), с учетом выражения (5):

equation 6
(6)
Соотношение (6) мы будем широко использовать в дальнейшем.

Из выражения (1) можно заключить, что нормированный ФНЧ Чебышева первого рода не имеет конечных нулей, так как ни при каких комплексных значениях \omega квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева (1) не обращается в ноль.

Для расчета полюсов модуля квадрата передаточной характеристики |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода приравняем знаменатель (1) к нулю:

equation 7
(7)

Комплексный коэффициент передачи H(j\omega) есть сечение передаточной характеристики H(s), s = \sigma+j\omega плоскостью \sigma = 0. Тогда s = j\omega и уравнение (7) можно переписать к виду:

equation 8
(8)
Представим (8) в виде произведения комплексно-сопряженных множителей:

equation 9
(9)
Уравнение (9) можно переписать:

equation 10
(10)
Для расчета полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода необходимо решить уравнение (10) относительно s. Для этого введем обозначение

equation 11
(11)
тогда

equation 12
(12)
или, с учетом соотношения (6), можно записать:

equation 13
(13)
Приравняем реальные и мнимые части в левой и правой частях уравнения (13) и получим систему:

equation 14
(14)
Гиперболический косинус \operatorname{ch}\left( N\beta  \right) никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (14) можно записать:

equation 15
(15)
Из второго уравнения (14), с учетом (15) можно заметить, что \sin \left( N\alpha_n  \right)=\pm 1 и тогда

equation 16
(16)
Таким образом, мы рассчитали значения \alpha_n и \beta в выражении (11). Теперь необходимо решить уравнение (11) относительно s:

equation 17
(17)
откуда с учетом выражения (6) можно записать:

equation 18
(18)
Тогда окончательно полюсы квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно записать с учетом (15) и (16):

equation 19
(19)
Для анализа расположения полюсов нормированного ФНЧ Чебышева рассмотрим соотношение:

equation 20
(20)
Тогда вспомнив каноническое уравнение эллипса:

equation 21
(21)
можно сделать вывод о том, что полюсы квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода расположены на эллипсе с осями:

equation 22
(22)
Графически это показано на рисунке 2 для нечетного N=3 и для четного N=4 порядков фильтра.

Расположение полюсов  нормированного ФНЧ Чебышева первого рода при  (слева) и  (справа)
Рисунок 2. Расположение полюсов |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода при N=3 (слева) и N = 4 (справа)

Крестиками показаны полюсы квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода. Также показана внутренняя окружность радиуса {a}/{2} и полюсы нормированного ФНЧ Баттерворта при N=3 и N=4 и неравномерности фильтра Баттерворта равной {{\varepsilon }_{p}}={{\left( {2}/{a} \right)}^{N}}.

Аналогично показана внешняя окружность радиуса {b}/{2} и полюсы нормированного ФНЧ Баттерворта при N=3 и N=4 и при неравномерности фильтра Баттерворта равной {{\varepsilon }_{p}}={{\left( {2}/{b} \right)}^{N}}.

Пунктирными линиями показано геометрическое расположение полюсов |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, относительно полюсов «большого» и «малого» фильтров Баттерворта.

Важно отметить, что если малую ось эллипса приближать к большой оси, то фильтр Чебышева будет приближаться к фильтру Баттерворта. Если эллипс на котором расположены полюсы фильтра Чебышева превратить в окружность (a=b), то фильтр Чебышева автоматически переходит в фильтр Баттерворта:

equation 23
(23)
Таким образом, при уменьшении неравномерности в полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода, его характеристики приближаются к характеристикам фильтра Баттерворта.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Для получения передаточной характеристики H(s) физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все его нули и полюсы располагались в левой полуплоскости s или на мнимой оси j\omega. Тогда из всех 2N полюсов квадрата модуля передаточной функции |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода (19) необходимо выбрать только те N полюсов, у которых {{\sigma }_{n}}<0, тогда все полюсы \rho_n передаточной характеристики H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно представить в виде:

equation 24
(24)
Передаточная характеристика H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода будет иметь вид:

equation 25
(25)
Для представления передаточной характеристики H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка N при n={\left( N+1 \right)}/{2} получим {{\alpha }_{n}}={\pi }/{2} некратный вещественный полюс (смотри рисунок 2). Остальные полюсы будут образовывать комплексно-сопряженные пары.

Тогда для любого N=2L+r, где r может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно записать как:

equation 26
(26)
Коэффициент передачи G_0 на нулевой частоте фильтра при s=0 равен:

equation 27
(27)
Кроме того, при нормировке необходимо учесть, что при нечетных порядках фильтра, многочлен Чебышева {{C}_{N}}\left( 0 \right)=0 и соответственно {{\left| H\left( j\cdot 0 \right) \right|}^{2}}=1 согласно выражению (1), а при четных порядках фильтра, многочлен Чебышева {{C}_{N}}\left( 0 \right)=1 и соответственно {{\left| H\left( j\cdot 0 \right) \right|}^{2}}={1}/{\left( 1+{{\varepsilon }_{p}}^{2} \right)} = G_p^2\;.

Таким образом, при четном порядке фильтра N, его коэффициент передачи на нулевой частоте должен быть меньше единицы и равен:

equation 28
(28)
С учетом (28), передаточная функция H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода для любого порядка N=2L+r имеет вид:

equation 29
(29)
На рисунке 3 показаны квадрат АЧХ \left| H\left( j\omega  \right) \right|^2, ФЧХ \Phi \left( \omega  \right), групповая задержка \tau \left( \omega  \right) и временна́я импульсная характеристика h(t) нормированных ФНЧ Чебышева первого рода 4-го (сплошная линия) и 5-го (пунктирная линия) порядков с неравномерностью квадрата АЧХ в полосе пропускания 2 дБ.

Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода 4-го (сплошная) и 5-го (пунктирная) порядков
Рисунок 3. Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода 4-го (сплошная) и 5-го (пунктирная) порядков

Из графиков хорошо видно, что квадрат АЧХ |H(j\omega)|^2 фильтра Чебышева имеет равноволновые колебания в полосе пропускания и монотонно убывает в полосе заграждения.

Пример расчета нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева первого рода исходя из следующих параметров квадрата АЧХ |H(j \omega)|^2:

equation 30
(30)
Шаг 1. Рассчитаем параметры \varepsilon_p, \varepsilon_s и G_p:

equation 31
(31)

Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданным параметрам квадрата АЧХ согласно выражению (3):

equation 32
(32)
Округляем в бо́льшую сторону, таким образом порядок фильтра N=4.

Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику H(s) на основе биквадратной формы согласно выражению (29). Для этого произведем предварительные расчеты.

Порядок фильтра N=4=2L+r, откуда L=2, r=0. Параметр \beta равен:

equation 33
(33)
Параметры {{\alpha }_{n}}, где n принимает значения 1 и 2 равны:

equation 34
(34)
Рассчитаем параметры {{\sigma }_{n}} и {{\omega }_{n}}, а также рассчитаем {\sigma }_{n}^{2}+{\omega }_{n}^{2}:

equation 35
(35)
Обратим внимание, что r=0 и рассчитывать параметр {{\sigma }_{0}} не требуется. Теперь можно рассчитать передаточную характеристику фильтра:

equation 36
(36)
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим передаточную характеристику в окончательном виде:

equation 37
(37)
На этом расчет нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно считать оконченным.

Подставив в выражение для передаточной характеристики s=j\omega получим комплексный коэффициент передачи H\left( j\omega  \right), из которого можно рассчитать квадрат АЧХ |H(j \omega)|^2, ФЧХ \Phi(\omega), групповую задержку \tau(\omega) и временну́ю импульсную характеристику h(t), графики которых показаны на рисунке 4

Квадрат АЧХ, ФЧХ, групповая задержка и импульсная характеристика
	рассчитанного фильтра Чебышева первого рода
Рисунок 4. Квадрат АЧХ, ФЧХ, групповая задержка и импульсная характеристика рассчитанного фильтра Чебышева первого рода

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода. Были получены выражения для нулей и полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости.

Приведено выражение для передаточной характеристики H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра. Показан вид АЧХ фильтра Чебышева первого рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.

Список литературы
[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Orfanidis S.J. Lecture notes on elliptic filter design. Rutgers University, 2006. [PDF]

[3] Orfanidis S.J. Introduction to Signal Processing. Rutgers University, 2010. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:17:06)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14