Алиасинг при дискретизации сигналов

Содержание

Вводные замечания

Частотные зоны Найквиста

Дискретизация сигнала из высших зон Найквиста

Использование аналогового фильтра для устранения алиасинга на выходе АЦП

Демонстрация алиасинга во временно́й области

Дискретизации гармонических сигналов на границах зон Найквиста

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Вводные замечания

В предыдущих параграфах мы неоднократно говорили, что при дискретизации аналогового сигнала s(t) происходит бесконечное периодическое копирование спектральной плотности сигнала $S(\omega)$ c периодом, равным частоте дискретизации $\Omega = \frac{2\pi}{T}$ рад/с.

Котельников Владимир Александрович
1908–2005

Тогда спектральная плотность $S_д(\omega)$ дискретного сигнала

принимает вид:

(1)

В результате, $S_д(\omega)$ становится периодической функцией частоты $\omega$ , и при соблюдении условий теоремы Котельникова, копии $S(\omega)$ не перекрываются, что дает возможность произвести восстановление исходного аналогового сигнала s(t)

по дискретному s_д(t)

. Однако в общем случае, в результате копирования $S(\omega)$ по частоте, может наблюдаться эффект наложения спектра сигнала, который носит название алиасинга [1, стр. 197].

В данном разделе мы проанализируем данный эффект и рассмотрим пути подавления алиасинга при дискретизации сигналов.

Частотные зоны Найквиста

Ввиду того, что спектральная плотность $S_д(\omega)$ после дискретизации становится периодической, с периодом равным $\Omega$ рад/с, мы можем разбить ось частот на зоны шириной $\Omega$ как это показано на рисунке 1

Рисунок 1. Разбиение оси частот на зоны Найквиста

Частотные зоны, обозначенные римскими цифрами, разделяют ось частот $\omega$ на полосы шириной $\Omega/2$ рад/с симметрично относительно нулевой частоты. В результате суммарная ширина каждой зоны равна частоте дискретизации $\Omega$ , так как каждая зона состоит из полосы $\Omega/2$ как в положительной, так и в отрицательной полуоси частот.

Частотные зоны, показанные на рисунке 1, носят название зон Найквиста. При этом выделяют первую зону Найквиста, занимающую полосу $-\Omega/2 \leq \omega \leq \Omega/2$ рад/с, а также высшие зоны: вторую, третью и т.д.

Частота $\omega = \Omega/2$ , отделяющая границу первой зоны называется частотой Найквиста [2, стр. 169].

Дискретизация сигнала из высших зон Найквиста

Пусть исходный вещественный сигнал s(t) имеет спектральную плотность $S(\omega)$ , расположенную в одной из высших зон Найквиста, как это показано на рисунке 2а.

Дискретизация сигнала из третьей зоны Найвиста:
а — Спектральная плотность исходного сигнала;
б — Спектральная плотность дискретного сигнала

Рисунок 2. Дискретизация сигнала из третьей зоны Найвиста:
а — Спектральная плотность $S(\omega)$ исходного сигнала;
б — Спектральная плотность $S_д(\omega)$ дискретного сигнала

Гарри Найквист
1889–1976

Тогда при копировании $S(\omega)$ , в соответствии с (1), спектральная плотность дискретного сигнала $S_д(\omega)$ будет иметь вид, как это показано на рисунке 2б.

Можно видеть, что при дискретизации сигнала, спектральные компоненты $S(\omega)$ «размножаются» во все зоны Найквиста, в результате сигнал из высшей зоны (заштрихованные компоненты) отображается в первую зону. Такое «просачивание» сигнала из высшей зоны Найквиста в первую зону называется эффектом наложения [2, стр. 168], или алиасингом[1] [1, стр. 197].

Важно отметить, что по дискретному сигналу невозможно определить из какой зоны Найквиста исходный аналоговый сигнал был дискретизирован.

Если исходный аналоговый сигнал s(t) будет представлен сразу в нескольких зонах Найквиста, то при дискретизации произойдет смешение спектральных компонент сигнала, как это показано на рисунке 3

Дискретизация сигнала, представленного в нескольких зонах Найвиста:
а — Спектральная плотность исходного сигнала;
б — Спектральная плотность дискретного сигнала

Рисунок 3. Дискретизация сигнала, представленного
в нескольких зонах Найвиста:
а — Спектральная плотность $S(\omega)$ исходного сигнала;
б — Спектральная плотность $S_д(\omega)$ дискретного сигнала

Спектральная плотность $S(\omega)$ входного аналогового сигнала s(t) представлена в первой и третьей зонах одновременно (рисунок 3а). Тогда на выходе АЦП мы будем иметь дискретный сигнал, чья спектральная плотность $S_д(\omega)$ показана на рисунке 3б. Копии спектральной плотности $S(\omega)$ из третье зоны Найквиста смешиваются с сигналом в первой зоне, и мы не сможем их разделить в цифровой области.

Разумеется, последний пример не выполняет условий теоремы Котельникова, в результате чего алиасинг вносит неустранимые искажения в дискретный сигнал на выходе АЦП. В большинстве случаев алиасинг вреден и требуется применять методы для его устранения при дискретизации сигналов.

Использование аналогового фильтра для устранения алиасинга на выходе АЦП

Подавить алиасинг на выходе АЦП можно при помощи аналогового ФНЧ с частотй среза равной частоте Найквиста (половине частоты дискретизации), как это показано на рисунке 4.

Рисунок 4. Подавление алиасинга на выходе АЦП при помощи ФНЧ

На верхнем графике показана спектральная плотность исходного сигнала (как на рисунке 3), содержащая компоненты в первой и третьей зонах Найквиста. Также показана АЧХ $H(\omega)$ аналогового ФНЧ, который пропускает только сигнал в первой зоне Наквиста и подавляет сигнал во всех высших зонах. В результате вход АЦП не будет содержать компонент из высших зон Найквиста и на выходе АЦП алиасинг не будет наблюдаться.

Таким образом, ФНЧ перед АЦП призван гарантировать соблюдение условий теоремы Котельникова при дискретизации сигнала.

Разумеется, реальные ФНЧ не могут обеспечить полного подавления в полосе заграждения, но могут обеспечить подавление до заданного уровня, например до уровня шумов АЦП. При этом будут наблюдаться незначительные искажения сигнала в полосе пропускания ФНЧ в первой зоне Найквиста. Допустимый уровень искажений в полосе пропускания должны быть заданы при проектировании ФНЧ.

Демонстрация алиасинга во временно́й области

В предыдущих параграфах мы рассмотрели эффект алиасинга в частотной области, возникающий в результате копирования спектральной плотности $S(\omega)$ при дискретизации сигнала. В данном параграфе мы покажем эффект алиасинга во временно́й области.

Пусть исходный сигнал s(t) имеет вид (см. рисунок 5а):

(2)

Спектральная плотность $S(\omega)$

(3)

сигнала (2) показана на рисунке 5б. Пунктирная линия означает чисто мнимую спектральную плотность $S(\omega)$ .

Возьмем дискретные отсчеты сигнала (2) с периодом T = 1 с. Тогда частота дискретизации F_s=1 Гц, или $\Omega = 2\pi$ рад/с. Частота Найквиста равна половине частоты дискретизации, т.е. $\pi$ рад/с.

Алиасинг во временно́й области a — исходный сигнал во второй зоне Найквиста; б — спектральная плотность исходного сигнала в — дискретный сигнал на частоте рад/с;
г — Спектральная плотность дискретного сигнала.

Рисунок 5. Алиасинг во временно́й области
a — исходный сигнал во второй зоне Найквиста;
б — спектральная плотность исходного сигнала
в — дискретный сигнал на частоте $-0.3\pi$ рад/с;
г — Спектральная плотность дискретного сигнала.

Поскольку сигнал s(t) находится во второй зоне Найквиста, то при дискретизации мы будем иметь алиасинг, как это показано на рисунке 5в, и спектральная плотность $S_д(\omega)$ будет иметь вид, показанный на рисунке 5г. Из рисунка 5г видно, что в первой зоне Найвиста появились компоненты на частотах $\pm 0.3\pi$ рад/с. Во временно́й области это огибающая на частоте $-0.3\pi$ рад/с, причем по дискретному сигналу непонятно в какой зоне Найквиста находится исходный сигнал.

Дискретизации гармонических сигналов на границах зон Найквиста

В конце данного раздела рассмотрим любопытный эффект, возникающий при дискретизации гармонического сигнала, расположенного на границе зон Найквиста (если частота дискретизации точно равна удвоенной частоте сигнала $\Omega = 2\omega_0$ ).

Пусть дано два сигнала $s(t) = \sin(\pi t)$ и $c(t) = \cos(\pi t)$ . Продискретизируем оба сигнала с частотой дискретизации $\Omega = 2\pi$ рад/с (интервал дискретизации T = 1 с), как это показано на рисунке 6.

Дискретизация гармонических сигналов на границе зон Найквиста: a — сигнал ; б — сигнал .

Рисунок 6. Дискретизация гармонических
сигналов на границе зон Найквиста:
a — сигнал $c(t) = \cos(\pi t)$ ; б — сигнал $s(t) = \sin(\pi t)$ .

Можно видеть, что дискретизация сигнала c(t) произведена в точках максимума и минимума и аналоговый сигнал c(t) может быть полностью восстановлен. Сигнал s(t) дискретизирован в нулях, в результате, все отсчеты данного сигнала равны нулю и сигнал полностью потерян.

Чтобы понять данный эффект необходимо вновь обратиться к (1), а также вспомнить выражения для спектральных плотностей $C(\omega)$ и $S(\omega)$ сигналов c(t) и s(t) соответственно

(4)

При дискретизации сигналов c(t) и s(t) , их спектральный плотности $C(\omega)$ и $S(\omega)$ будут копированы с периодом $\Omega = 2\pi$ рад/c и сложены со своими частотными копиями как это показано на рисунке 7.

Спектральные плотности при дискретизации сигналов на границе зон Найквиста: a — сигнал ; б — сигнал .

Рисунок 7. Спектральные плотности
при дискретизации сигналов на границе зон Найквиста:
a — сигнал $c(t) = \cos(\pi t)$ ; б — сигнал $s(t) = \sin(\pi t)$ .

Тогда при дискретизации сигнала c(t) , копии спектральной плотности $C(\omega)$ будут попадать строго на одни и те же частоты и при сложении удвоятся. Используя идеальный фильтр нижних частот с АЧХ вида $H(\omega) = \text{п}_{2\pi}(\omega)$ , мы можем восстановить исходный сигнал[2].

Для сигнала s(t) копии $S(\omega)$ также попадают на одни и те же частоты, но при сложении взаимно уничтожаются, потому что имеют различные знаки. В результате спектральная плотность дискретного сигнала s(t) становится тождественно равна нулю, что мы и видим во временной области.

Дискуссия

Приведенный пример демонстрирует эффект который возникает при попадании сигнала на границу зон Найквиста. Часто при формулировке теоремы Котельникова говорят [3, 4], что частота дискретизации должна быть больше или равна удвоенной верхней частоте сигнала. Такая формулировка неточна, так как не учитывает приведенный граничный эффект. Поэтому правильнее говорить, что частота дискретизации должна быть строго больше верхней частоты сигнала для исключения граничных эффектов. И тут, необходимо отметить, что термин верхняя частота также видится не вполне корректным. И вот почему.

Рассмотрим сигнал $s(t) = \cos(\omega_0 t)$ , где $\omega_0 = 2\pi 10^6$ рад/c, или проще говоря, частота гармонического сигнала равна 1 МГц. Тогда если руководствоваться понятием верхней частоты, что для представления данного сигнала необходима частота дискретизации больше 2 МГц. С другой стороны полоса самого сигнала $s(t) = \cos(\omega_0 t)$ равна нулю, а это значит, что сам гармонический сигнал может быть описан всего тремя числами: амплитудой, начальной фазой и частотой. Но если отталкиваться от верхней частоты, то для его описания требуется более 2 миллионов отсчетов каждую секунду. Если мы увеличим частоту до 1 ГГц, то потребуется уже более 2 миллиардов отсчетов каждую секунду, в то время как мы лишь однократно изменили одно число, описывающее частоту колебания.

Таким образом, «синусоида» не несет никакой информации. Чтобы передавать информацию одной «синусоиды» недостаточно, необходимо какой-то параметр из трех менять во времени. Этот процесс мы называем модуляцией. Модуляция приводит к тому, что полоса модулированного сигнала уже не будет нулевой и станет зависеть от полосы модулирующего сигнала. При этом оказывается, что имея сигнал полосой , неважно на какой несущей частоте, мы можем всю полезную информацию получить при дискретизации данного сигнала с частотой, большей или равной данной полосе. Такой метод дискретизации носит название субдискретизации (или полосовая дискретизация), и он основан на доказанной В.А. Котельниковым теореме, которая в работе [5] обозначена как теорема 5.

В таком подходе термин верхняя частота перестает играть роль. Важна полоса сигнала, потому что она определяет количество информации в сигнале. Если вернуться к теореме Котельникова, то она была изначально сформулирована в терминах полосы видеосигнала, причем мы требовали чтобы $S(\pm B/2)=0$ для исключения эффекта дискретизации на границах зоны Найквиста.

Если продолжать рассуждения, то можно пойти еще дальше, и не использовать полосу, а ставить частоту дискретизации напрямую в зависимость от количества информации в сигнале. Именно такой подход лег в основу техники дискретизации, которая носит название compressed sensing [6, 7] и является неким гибридным методом одновременной дискретизации и сжатия данных с возможностью полного восстановления и сокращения частоты отсчетов.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели эффект алиасинга, возникающий при дискретизации аналоговых сигналов, если не соблюдать условия теоремы Котельникова.

Мы ввели понятие зон Найквиста и показали, что при дискретизации сигналов, представленных в нескольких зонах Найквиста наблюдается смешение частотных компонент на выходе дискретизатора.

Также мы рассмотрели использование аналогового фильтра для ограничении полосы сигнала при дискретизации для устранения эффекта алиасинга.

Алисаинг был продемонстрирован как во временной, так и в частотной областях.

В конце раздела мы продемонстрировали и пояснили краевой эффект при дискретизации гармонических сигналов на границе зон Найквиста.

Смотри также

Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы
Теорема Котельникова

Примечания

[1] от англ. alias (псевдоним)

[2] Заметим, что мы в параграфе «Спектральная плотность прямоугольного импульса» доопределили функцию прямоугольного импульса в момент скачка до величины $\text{п}_{2\pi} (\pm\pi) = 0.5$ . В результате при прохождении дискретного сигнала через такой фильтр удвоенные компоненты на частотах $\pm \pi$ будут снова уменьшены в два раза.

Список литературы

[1] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

[2] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[3] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[4] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[5] Котельников В.А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи. Материалы к 1 Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности,1933, Всесоюзный энергетический комитет.

[6] Donoho, D., Vetterli, M., DeVore, R.A., Daubechies, I. Data Compression and Harmonic Analysis //IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, Oct. 1998, №6, Vol. 44, pp 2435-2476.

[7] Donoho, D. Compressed Sensing //IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, Apr. 2006, №4, Vol. 52, pp. 1289-1305.

[8] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

Последнее изменение страницы: 20.01.2024 (19:20:28)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14