Свойства дискретного преобразования Фурье
Ранее были получены выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье.
Приведем их еще раз:


![\text{DFT}\big[ \bullet \big]](img/eqlin-01.png)
![\text{IDFT}\big[\bullet \big]](img/eqlin-02.png)

Везде далее в этом разделе считается, что и
индексируют временные и спектральные отсчеты соответственно.
В данном разделе будут рассмотрены некоторые свойства ДПФ.
ДПФ суммы сигналов равен сумме ДПФ этих сигналов. Если , то:





При умножении сигнала на константу ДПФ сигнала также умножается на константу:

Пусть — ДПФ сигнала
.
Если сдвинуть исходный сигнал циклически на
отсчетов, как это показано на рисунке 1,
т.е.
.

Сплошными линиями верхнем графике показан исходный сигнал ,
на среднем —
с циклическим сдвигом
отсчета (с опережением),
а на нижнем графике —
, циклически сдвинутый на
отсчета (с запаздыванием).
Видно, что при циклическом сдвиге с опережением,
первые отчетов переносятся из начала в конец выборки.
При запаздывании последние отчетов переносятся из конца выборки в начало.
Запись говорит о том, что все индексы берутся по модулю
, т.е. для любых целых
и
,
всегда принимает значения от
до
включительно.
Тогда ДПФ сдвинутого сигнала равно:














Аналогично введем замену для второй суммы. Тогда
, нижний предел
переходит в
, верхний предел
переходит в
.
С учетов введенных замен, выражение (9) можно записать:




Почему мы должны говорить о циклическом сдвиге при рассмотрении ДПФ? Ответ кроется в переходе от ДВПФ к ДПФ. ДПФ возвращает дискретный спектр, который соответствует периодическому сигналу. Периодический сигнал получается из исходной выборки путем бесконечного повторения по времени как это показано на рисунке 1 пунктирными линиями. Т.е. ДПФ это спектр периодического сигнала. А значит при сдвиге периодического сигнала по времени мы получаем циклическую задержку.
Пусть сигнал есть результат циклической свертки сигналов
и
:



Поменяем местами операции суммирования:

Таким образом, ДПФ циклической свертки двух сигналов равен произведению ДПФ этих сигналов.
Это свойство позволяет использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье для вычисления сверток сигналов.
Пусть сигнал равен произведению сигналов
и
,
т.е.
, причем
и
—
ДПФ сигналов
и
соответственно.
Тогда ДПФ сигнала равно:









Пусть — ДПФ сигнала
.
Произведем циклический сдвиг спектра
и рассмотрим ОДПФ, тогда:




Таким образом, циклический частотный сдвиг ДПФ осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту.
Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту вещественного сигнала, результирующий сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.
Если исходный сигнал действительный,
то есть для
, тогда для четного
:


Рассмотрим теперь
и
:



В этом случае:

На рисунке 2а представлен вид действительной и мнимой частей комплексного спектра
действительного сигнала при четном .
Красным отмечены чисто вещественные и
спектральные составляющие.

На рисунке 2б показана действительная и мнимая части комплексного спектра
действительного сигнала при нечетном .
В случае нечетного только первый спектральный отсчет
ДПФ вещественного сигнала является вещественным.
Остальные спектральные отсчеты в общем случае комплексные.

Инверсия по частоте спектра сигнала показана на рисунке 3 для четного .


Если - спектр сигнала
, то инверсный спектр
равен:

В силу симметрии ДПФ вещественного сигнала мы можем произвести частотную инверсию спектра сигнала путем перестановки спектральных составляющих.
Рассмотрим инверсный спектр для
:




Таким образом, для частотной инверсии спектра вещественого сигнала,
в соответствии с (24), необходимо каждый второй отсчет умножить на .
При этом важно отметить, что умножать необходимо отсчеты начиная со второго,
т.е. для
, потому что индексация отсчетов начинается с
.
Если же умножить на каждый второй отсчет начиная с первого,
то получим инверсный спектр с отрицательным знаком
.
Отметим, что (26) справедливо только для четного .
На рисунке 4 показано, что частотная инверсия спектра соответствует
циклическому частотному сдвигу спектра на
спектральных отсчетов в сторону опережения, или запаздывания.

Тогда сигнал с инверсным по частоте спектром, согласно свойству о частотном сдвиге спектра (19), равен:

Нулевой отчет ДПФ есть сумма отсчетов сигнала.

У ДПФ есть еще одно замечательно свойство: свойство двойственности (или, как еще часто говорят, дуальности), которое заключается в том, что все свойства ДПФ справедливы как для временного, так и для частотного представления сигнала.
Рассмотрим ДПФ спектра сигнала:










В то же время это можно сформулировать и в обратную сторону: ДПФ произведения сигналов есть циклическая свертка ДПФ этих сигналов.
Аналогично можно переформулировать свойство частотного сдвига. Так, сдвиг во времени приводит к умножения спектра на комплексную экспоненту, в то время как умножение сигнала на комплексную экспоненту приводит к циклическому сдвигу спектра в частотной области.
Пусть даны выборки отсчетов двух дискретных сигналов и
,
, которые можно считать двумя векторами размерности
. Скалярным произведением двух векторов, содержащих отсчеты сигналов
и
будет величина:















Если сигнал , то формула Релея переходит в равенство Парсеваля:
