Свойства дискретного преобразования Фурье

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge libdspl-2.0 on SourceForge

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Введение

Ранее были получены выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье.

Приведем их еще раз:

equation 1
(1)
Для сокращения записи введем следующие обозначения:

equation 2
(2)
где \text{DFT}\big[ \bullet \big] — оператор ДПФ, а \text{IDFT}\big[\bullet \big] — оператор обратного ДПФ, а W_N^{n  k} носят название поворотных коэффициентов ДПФ, или фазовых множителей, потому что умножение на комплексную экспоненту не изменяет амплитуды сигнала, но добавляет фазовый сдвиг.

Везде далее в этом разделе считается, что n = 0 \ldots N-1 и k = 0 \ldots N-1 индексируют временные и спектральные отсчеты соответственно.

В данном разделе будут рассмотрены некоторые свойства ДПФ.

Линейность ДПФ

ДПФ суммы сигналов равен сумме ДПФ этих сигналов. Если s(n)=x(n) + y(n), то:

equation 3
(3)
где X(k) и Y(k) ДПФ сигналов x(n) и y(n) соответственно.

При умножении сигнала на константу a ДПФ сигнала также умножается на константу:

equation 4
(4)

ДПФ сигнала с циклическим временным сдвигом

Пусть S(k) — ДПФ сигнала s(n).

Если сдвинуть исходный сигнал s(n) циклически на m отсчетов, как это показано на рисунке 1, т.е. x(n) = s(n-m)_{\Mod N}.

Пример циклического сдвига сигнала
Рисунок 1. Пример циклического сдвига сигнала

Сплошными линиями верхнем графике показан исходный сигнал s(n), на среднем — s(n) с циклическим сдвигом m=-3 отсчета (с опережением), а на нижнем графике — s(n), циклически сдвинутый на m=3 отсчета (с запаздыванием).

Видно, что при циклическом сдвиге с опережением, первые m отчетов переносятся из начала в конец выборки.

При запаздывании последние m отчетов переносятся из конца выборки в начало.

Запись s(n-m)_{\Mod N} говорит о том, что все индексы берутся по модулю N, т.е. для любых целых n и m, (n-m)_{\Mod N} всегда принимает значения от 0 до N-1 включительно.

Тогда ДПФ сдвинутого сигнала равно:

equation 5
(5)
Представим (5) в виде двух сумм как:

equation 6
(6)
В первой сумме n-m всегда отрицательно и по модулю меньше N, поэтому

equation 7
(7)
Во второй сумме n-m всегда положительно, т.е.

equation 8
(8)
Тогда сумму (6) с учетом (7) и (8) можно представить:

equation 9
(9)
Введем замену переменной в первой сумме N + n-m=r, тогда n = -N + m + r, нижний предел n = 0 переходит в r = N-m, верхний предел n = m-1 переходит в r = N-1.

Аналогично введем замену n-m=r для второй суммы. Тогда n =  m + r, нижний предел n = m переходит в r = 0, верхний предел n = N-1 переходит в r = N-m-1.

С учетов введенных замен, выражение (9) можно записать:

equation 10
(10)
Заметим, что

equation 11
(11)
тогда обе суммы (10) можно объединить в одну:
equation 12
(12)
Таким образом, циклический сдвиг сигнала на m отсчетов приводит к повороту фазового спектра, в то время как амплитудный спектр не меняется.

Почему мы должны говорить о циклическом сдвиге при рассмотрении ДПФ? Ответ кроется в переходе от ДВПФ к ДПФ. ДПФ возвращает дискретный спектр, который соответствует периодическому сигналу. Периодический сигнал получается из исходной выборки путем бесконечного повторения по времени как это показано на рисунке 1 пунктирными линиями. Т.е. ДПФ это спектр периодического сигнала. А значит при сдвиге периодического сигнала по времени мы получаем циклическую задержку.

ДПФ циклической свертки сигналов

Пусть сигнал s(n) есть результат циклической свертки сигналов a(n) и b(n):

equation 13
(13)
Рассчитаем ДПФ сигнала s(n):

equation 14
(14)

Поменяем местами операции суммирования:

equation 15
(15)
При выводе выражения (15) было использовано свойство циклического временного сдвига.

Таким образом, ДПФ циклической свертки двух сигналов равен произведению ДПФ этих сигналов.

Это свойство позволяет использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье для вычисления сверток сигналов.

ДПФ произведения двух сигналов

Пусть сигнал s(n) равен произведению сигналов a(n) и b(n), т.е. s(n)= a(n)  b(n), причем A(k) и B(k) — ДПФ сигналов a(n) и b(n) соответственно.

Тогда ДПФ сигнала s(n) равно:

equation 16
(16)
Подставим в (16) a(n) в виде ОДПФ от спектра A(k):

equation 17
(17)
Поменяем местами операции суммирования в выражении (17) и получим:

equation 18
(18)
Таким образом, ДПФ произведения сигналов представляет собой циклическую свертку ДПФ этих сигналов. Цикличность свертки также объясняется периодичностью спектров ДПФ. Именно по этому был добавлен индекс взятия сдвинутого спектрального отсчета B(k-m)_{\Mod N} по модулю N. При k-m < 0 мы должны взять спектральный отсчет c отрицательным индексом, который соответствует отсчету B(N+k-m).

Свойство циклического частотного сдвига ДПФ

Пусть S(k) — ДПФ сигнала s(n).

Произведем циклический сдвиг спектра S(k-m)_{\Mod N} и рассмотрим ОДПФ, тогда:

equation 19
(19)
Введем замену переменной r = k-m, тогда k = r+m и (19) принимает вид:
equation 20
(20)

Таким образом, циклический частотный сдвиг ДПФ осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту.

Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту вещественного сигнала, результирующий сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.

Симметрия ДПФ вещественного сигнала

Если исходный сигнал действительный, то есть \operatorname{Im}[s(n)] = 0 для n = 0 \ldots N-1, тогда для четного N:

equation 21
(21)
Спектральный отсчет S\left( \frac{N}{2} \right) также не имеет мнимой части.

Рассмотрим теперь S(m), m=1 \ldots \frac{N}{2} - 1 и S(N-m):

equation 22
(22)
Учтем, что \exp(-j  2  \pi  n) = 1 для любого целого n.

В этом случае:

equation 23
(23)
Получили, что вторая половина спектральных отсчетов комплексно сопряжена с первой.

На рисунке 2а представлен вид действительной и мнимой частей комплексного спектра действительного сигнала при четном N.

Красным отмечены чисто вещественные S(0) и S \left(\frac{N}{2} \right) спектральные составляющие.

Реальная и мнимая части ДПФ действительного сигнала
Рисунок 2. Реальная и мнимая части ДПФ действительного сигнала

На рисунке 2б показана действительная и мнимая части комплексного спектра действительного сигнала при нечетном N.

В случае нечетного N только первый спектральный отсчет ДПФ вещественного сигнала является вещественным.

Остальные спектральные отсчеты в общем случае комплексные.

Частотная инверсия спектра вещественного сигнала для четного N

Инверсия по частоте спектра сигнала показана на рисунке 3 для четного N.

Частотная инверсия спектра  вещественного сигнала для четного
Рисунок 3. Частотная инверсия спектра вещественного сигнала для четного N

Если S(k) - спектр сигнала s(n), то инверсный спектр S_{\text{инв}}(k) равен:

equation 24
(24)

В силу симметрии ДПФ вещественного сигнала мы можем произвести частотную инверсию спектра сигнала путем перестановки спектральных составляющих.

Рассмотрим инверсный спектр S_{\text{инв}}(k) для k = 0 \ldots \frac{N}{2}-1:

equation 25
(25)
Аналогично S_{\text{инв}}(k) для k = \frac{N}{2} \ldots N-1 равно:
equation 26
(26)

Таким образом, для частотной инверсии спектра вещественого сигнала, в соответствии с (24), необходимо каждый второй отсчет умножить на -1. При этом важно отметить, что умножать необходимо отсчеты начиная со второго, т.е. для n = 1,3,5,7, \dots, потому что индексация отсчетов начинается с n = 0.

Если же умножить на -1 каждый второй отсчет начиная с первого, то получим инверсный спектр с отрицательным знаком -S_{\text{инв}}(k).

Отметим, что (26) справедливо только для четного N.

На рисунке 4 показано, что частотная инверсия спектра соответствует циклическому частотному сдвигу спектра на \frac{N}{2} спектральных отсчетов в сторону опережения, или запаздывания.

Частотная инверсия спектра сигнала за счет частотного сдвига ДПФ
Рисунок 4. Частотная инверсия спектра сигнала за счет частотного сдвига ДПФ

Тогда сигнал с инверсным по частоте спектром, согласно свойству о частотном сдвиге спектра (19), равен:

equation 27
(27)

Нулевой отсчет ДПФ

Нулевой отчет ДПФ есть сумма отсчетов сигнала.

equation 28
(28)

Свойство двойственности (дуальности)

У ДПФ есть еще одно замечательно свойство: свойство двойственности (или, как еще часто говорят, дуальности), которое заключается в том, что все свойства ДПФ справедливы как для временного, так и для частотного представления сигнала.

Рассмотрим ДПФ спектра сигнала:

equation 29
(29)
Поменяем местами операторы суммирования и объединим степени поворотных коэффициентов:
equation 30
(30)
Учтем, что
equation 31
(31)
Откуда окончательно можно заключить, что
equation 32
(32)
Таким образом, ДПФ от спектра сигнала возвращает инверсный во времени сигнал, умноженный на длину выборки N. Наличие отрицательных индексов s(-m) в выражении (32) не должно смущать, потому что мы производили периодическое повторение сигнала во времени. Тогда окончательно можно записать:
equation 33
(33)
Например пусть входной сигнал имеет N = 6 отсчетов:
equation 34
(34)
тогда
equation 35
(35)
Таким образом, двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временно́го, так и для частотного представления сигналов. Например, можно рассмотреть свойство ДПФ циклической свертки, которое гласит: ДПФ циклической свертки сигналов есть произведение ДПФ сворачиваемых сигналов.

В то же время это можно сформулировать и в обратную сторону: ДПФ произведения сигналов есть циклическая свертка ДПФ этих сигналов.

Аналогично можно переформулировать свойство частотного сдвига. Так, сдвиг во времени приводит к умножения спектра на комплексную экспоненту, в то время как умножение сигнала на комплексную экспоненту приводит к циклическому сдвигу спектра в частотной области.

Формула Релея и равенство Парсеваля

Пусть даны выборки отсчетов двух дискретных сигналов x(n) и y(n), n = 0\ldots N-1, которые можно считать двумя векторами размерности N \times 1. Скалярным произведением двух векторов, содержащих отсчеты сигналов x(n) и y(n) будет величина:

equation 36
(36)
Подставим в (36) выражения для ОДПФ сигналов x(n) и y(n):
equation 37
(37)
где X(m) и Y(k) — ДПФ сигналов x(n) и y(n) соответственно, m,k = 0\ldots N-1. Поменяем местами операторы суммирования и получим:
equation 38
(38)
Как мы уже неоднократно показывали:
equation 39
(39)
тогда от суммы по k выражения (38) останется только одно слагаемое при k = m и окончательно можно записать:
equation 40
(40)
Таким образом, скалярное произведение векторов отсчетов двух сигналов, с точностью до множителя 1/N, равно скалярному произведению их спектров. Данное выражение, по аналогии со скалярным произведением аналоговых сигналов, носит название формулы Релея.

Если сигнал y(n) = x(n), то формула Релея переходит в равенство Парсеваля:

equation 41
(41)
которое устанавливает связь энергии сигнала во временно́й частотной областях. При этом энергия сигнала задается как квадрат второй нормы вектора отсчетов сигнала.

странице обсуждения статьи

Список литературы
[1] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

[2] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[3] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

[4] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

Последнее изменение страницы: 20.01.2024 (19:20:16)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14