Свойства дискретного преобразования Фурье

Введение Линейность ДПФ ДПФ сигнала с циклическим временным сдвигом ДПФ циклической свертки сигналов ДПФ произведения двух сигналов Свойство циклического частотного сдвига ДПФ Симметрия ДПФ вещественного сигнала Частотная инверсия спектра вещественного сигнала для четного Нулевой отсчет ДПФ Свойство двойственности (дуальности) Формула Релея и равенство Парсеваля Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница библиотеки на GitHub

Ранее были получены выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье.

Приведем их еще раз:

Для сокращения записи введем следующие обозначения: где  — оператор ДПФ, а  — оператор обратного ДПФ, а носят название поворотных коэффициентов ДПФ, или фазовых множителей, потому что умножение на комплексную экспоненту не изменяет амплитуды сигнала, но добавляет фазовый сдвиг.

Везде далее в этом разделе считается, что и индексируют временные и спектральные отсчеты соответственно.

В данном разделе будут рассмотрены некоторые свойства ДПФ.

ДПФ суммы сигналов равен сумме ДПФ этих сигналов. Если , то:

где и ДПФ сигналов и соответственно.

При умножении сигнала на константу ДПФ сигнала также умножается на константу:

Пусть  — ДПФ сигнала .

Если сдвинуть исходный сигнал циклически на отсчетов, как это показано на рисунке 1, т.е. .

Сплошными линиями верхнем графике показан исходный сигнал , на среднем — с циклическим сдвигом отсчета (с опережением), а на нижнем графике — , циклически сдвинутый на отсчета (с запаздыванием).

Видно, что при циклическом сдвиге с опережением, первые отчетов переносятся из начала в конец выборки.

При запаздывании последние отчетов переносятся из конца выборки в начало.

Запись говорит о том, что все индексы берутся по модулю , т.е. для любых целых и , всегда принимает значения от до включительно.

Тогда ДПФ сдвинутого сигнала равно:

Представим (5) в виде двух сумм как: В первой сумме всегда отрицательно и по модулю меньше , поэтому

Во второй сумме всегда положительно, т.е.

Тогда сумму (6) с учетом (7) и (8) можно представить:

Введем замену переменной в первой сумме , тогда , нижний предел переходит в , верхний предел переходит в .

Аналогично введем замену для второй суммы. Тогда , нижний предел переходит в , верхний предел переходит в .

С учетов введенных замен, выражение (9) можно записать:

Заметим, что тогда обе суммы (10) можно объединить в одну:

Таким образом, циклический сдвиг сигнала на отсчетов приводит к повороту фазового спектра, в то время как амплитудный спектр не меняется.

Почему мы должны говорить о циклическом сдвиге при рассмотрении ДПФ? Ответ кроется в переходе от ДВПФ к ДПФ. ДПФ возвращает дискретный спектр, который соответствует периодическому сигналу. Периодический сигнал получается из исходной выборки путем бесконечного повторения по времени как это показано на рисунке 1 пунктирными линиями. Т.е. ДПФ это спектр периодического сигнала. А значит при сдвиге периодического сигнала по времени мы получаем циклическую задержку.

Пусть сигнал есть результат циклической свертки сигналов и :

Рассчитаем ДПФ сигнала :

Поменяем местами операции суммирования:

При выводе выражения (15) было использовано свойство циклического временного сдвига.

Таким образом, ДПФ циклической свертки двух сигналов равен произведению ДПФ этих сигналов.

Это свойство позволяет использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье для вычисления сверток сигналов.

Пусть сигнал равен произведению сигналов и , т.е. , причем и  — ДПФ сигналов и соответственно.

Тогда ДПФ сигнала равно:

Подставим в (16) в виде ОДПФ от спектра :

Поменяем местами операции суммирования в выражении (17) и получим:

Таким образом, ДПФ произведения сигналов представляет собой циклическую свертку ДПФ этих сигналов. Цикличность свертки также объясняется периодичностью спектров ДПФ. Именно по этому был добавлен индекс взятия сдвинутого спектрального отсчета по модулю . При мы должны взять спектральный отсчет c отрицательным индексом, который соответствует отсчету .

Пусть  — ДПФ сигнала .

Произведем циклический сдвиг спектра и рассмотрим ОДПФ, тогда:

Введем замену переменной , тогда и (19) принимает вид:

Таким образом, циклический частотный сдвиг ДПФ осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту.

Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту вещественного сигнала, результирующий сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.

Если исходный сигнал действительный, то есть для , тогда для четного :

Спектральный отсчет также не имеет мнимой части.

Рассмотрим теперь и :

Учтем, что для любого целого .

В этом случае:

Получили, что вторая половина спектральных отсчетов комплексно сопряжена с первой.

На рисунке 2а представлен вид действительной и мнимой частей комплексного спектра действительного сигнала при четном .

Красным отмечены чисто вещественные и спектральные составляющие.

На рисунке 2б показана действительная и мнимая части комплексного спектра действительного сигнала при нечетном .

В случае нечетного только первый спектральный отсчет ДПФ вещественного сигнала является вещественным.

Остальные спектральные отсчеты в общем случае комплексные.

Инверсия по частоте спектра сигнала показана на рисунке 3 для четного .

Если - спектр сигнала , то инверсный спектр равен:

В силу симметрии ДПФ вещественного сигнала мы можем произвести частотную инверсию спектра сигнала путем перестановки спектральных составляющих.

Рассмотрим инверсный спектр для :

Аналогично для равно:

Таким образом, для частотной инверсии спектра вещественого сигнала, в соответствии с (24), необходимо каждый второй отсчет умножить на . При этом важно отметить, что умножать необходимо отсчеты начиная со второго, т.е. для , потому что индексация отсчетов начинается с .

Если же умножить на каждый второй отсчет начиная с первого, то получим инверсный спектр с отрицательным знаком .

Отметим, что (26) справедливо только для четного .

На рисунке 4 показано, что частотная инверсия спектра соответствует циклическому частотному сдвигу спектра на спектральных отсчетов в сторону опережения, или запаздывания.

Тогда сигнал с инверсным по частоте спектром, согласно свойству о частотном сдвиге спектра (19), равен:

Нулевой отчет ДПФ есть сумма отсчетов сигнала.

У ДПФ есть еще одно замечательно свойство: свойство двойственности (или, как еще часто говорят, дуальности), которое заключается в том, что все свойства ДПФ справедливы как для временного, так и для частотного представления сигнала.

Рассмотрим ДПФ спектра сигнала:

Поменяем местами операторы суммирования и объединим степени поворотных коэффициентов: Учтем, что Откуда окончательно можно заключить, что

Таким образом, ДПФ от спектра сигнала возвращает инверсный во времени сигнал, умноженный на длину выборки . Наличие отрицательных индексов в выражении (32) не должно смущать, потому что мы производили периодическое повторение сигнала во времени. Тогда окончательно можно записать:

Например пусть входной сигнал имеет отсчетов:

тогда

Таким образом, двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временно́го, так и для частотного представления сигналов. Например, можно рассмотреть свойство ДПФ циклической свертки, которое гласит: ДПФ циклической свертки сигналов есть произведение ДПФ сворачиваемых сигналов.

В то же время это можно сформулировать и в обратную сторону: ДПФ произведения сигналов есть циклическая свертка ДПФ этих сигналов.

Аналогично можно переформулировать свойство частотного сдвига. Так, сдвиг во времени приводит к умножения спектра на комплексную экспоненту, в то время как умножение сигнала на комплексную экспоненту приводит к циклическому сдвигу спектра в частотной области.

Пусть даны выборки отсчетов двух дискретных сигналов и , , которые можно считать двумя векторами размерности . Скалярным произведением двух векторов, содержащих отсчеты сигналов и будет величина:

Подставим в (36) выражения для ОДПФ сигналов и : где и  — ДПФ сигналов и соответственно, . Поменяем местами операторы суммирования и получим: Как мы уже неоднократно показывали: тогда от суммы по выражения (38) останется только одно слагаемое при и окончательно можно записать:

Таким образом, скалярное произведение векторов отсчетов двух сигналов, с точностью до множителя , равно скалярному произведению их спектров. Данное выражение, по аналогии со скалярным произведением аналоговых сигналов, носит название формулы Релея.

Если сигнал , то формула Релея переходит в равенство Парсеваля:

которое устанавливает связь энергии сигнала во временно́й частотной областях. При этом энергия сигнала задается как квадрат второй нормы вектора отсчетов сигнала.