Индексация и перестановка спектральных отсчетов дискретного преобразования Фурье

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница библиотеки на GitHub

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter
Введение

В предыдущем разделе мы получили выражения для прямого и обратного ДПФ:

equation 1
(1)
Расчет ДПФ и ОДПФ ведется на основе индексов временных n=0 \ldots N-1 и частотных k = 0 \ldots N-1 отсчетов без учета частоты дискретизации. Таким образом, можно использовать выражения для ДПФ и ОДПФ при любой частоте дискретизации, не меняя вычислительную программу. В данном разделе мы рассмотрим, как привязать индексы ДПФ к значениям частоты f, выраженной в Герц, или к значениям циклической частоты \omega = 2  \pi  f рад/c.

Индексация спектральных отсчетов

При рассмотрении ДПФ мы говорили, что спектр S(\omega) дискретного сигнала s(n), n = 0 \ldots N-1, это периодическая функция с периодом \Omega_{\textrm{max}} = 2 \pi  F_{\textrm{s}} рад/c, где F_{\textrm{s}}-частота дискретизации исходного сигнала (Гц). Соответственно период повторения спектра S(f) дискретного сигнала s(n), n = 0 \ldots N-1, для частоты f, выраженной в Герц, равен частоте дискретизации F_{\textrm{max}} = F_{\textrm{s}} Гц.

ДПФ получается путем дискретизации периодической функции S(\omega) на одном периоде повторения с шагом \Delta \omega

equation 2
(2)
Таким образом, k-ый спектральный отсчет S(k) соответствует частоте

equation 3
(3)
или

equation 4
(4)
Пример 1. При частоте дискретизации F_{\text{s}} = 120 \text{ кГц}, при N = 1024, первый спектральный отсчет S(0) соответствует частоте f = \frac{0}{1024} \cdot 120 = 0 \text{ Гц}.

Пример 2. При частоте дискретизации F_{\text{s}} = 120 \text{ кГц}, при N = 1024, спектральный отсчет с номером k = 128, S(128) соответствует частоте f = \frac{128}{1024} \cdot 120 = 15 \text{ кГц}.

Перестановка спектральных отсчетов ДПФ

Пусть входной сигнал s(n), n = 0 \ldots N-1, является комплексным и состоит из одной комплексной экспоненты с частотой f_0 = -20 Гц:

equation 5
(5)
Зададим частоту дискретизации равной F_{\textrm{s}} = 120 Гц и возьмем N = 30 отсчетов исходного сигнала.

Амплитудный спектр сигнала
Рисунок 1. Амплитудный спектр сигнала s(n)

Рассчитаем ДПФ S(k), k = 0 \ldots N-1, данного сигнала и получим амплитудный спектр, как это показано на рисунке 1.

Как можно заметить на рисунке 1, в спектре сигнала присутствует только одна компонента с индексом k = 25, что согласно (4) соответствует частоте

equation 6
(6)
что может показаться странным, потому что мы задавали частоту исходного сигнала f_0 = -20 Гц.

Однако ничего особенного в этом нет, если вспомнить, что спектр S(f) нашего дискретного сигнала s(n) является периодической функцией с периодом F_{\textrm{s}} = 120 Гц, т.е. для нашего дискретного сигнала спектр S(f) состоит из бесконечного числа гармоник с частотами f = f_0 + m  F_{\textrm{s}}, m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots, как это показано на рисунке 2.

Периодический спектр  сигнала
Рисунок 2. Периодический спектр S(f) сигнала s(n)

Из рисунка 2 следует, что при дискретизации спектра S(f) на одном периоде повторения от 0 до F_{\textrm{s}} Гц (на рисунке 1 обозначено как период ДПФ) в выборку попадает периодическая гармоника на частоте 100 Гц.

При этом спектр S(f) в интервале частот от \frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц до F_{\textrm{s}} Гц периодически повторяет спектр S(f) в интервале частот от -\frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц до 0 Гц.

Таким образом, мы можем произвести перестановку спектральных отсчетов ДПФ для анализа спектра сигнала в интервале частот от -\frac{F_{\textrm{s}}}{2} до \frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц.

Сделаем важное замечание. Частотная компонента, соответствующая частоте \frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц, в силу периодичности спектра дискретного сигнала, также соответствует частоте -\frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц.

При перестановке мы будем относить эту компоненту к частоте -\frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц.

Перестановка спектральных отсчетов ДПФ для четного N

В случае четного N спектральный отсчет S\left( \frac{N}{2}\right), согласно (4), соответствует частоте \frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц. Как мы отметили выше, этот же отсчет соответствует частоте -\frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц. Тогда можно записать спектр S_\textrm{sh}(k) после перестановки для четного N в виде:

equation 7
(7)
k-ый спектральный отсчет после перестановки S_\textrm{sh}(k) соответствует частоте

equation 8
(8)
или

equation 9
(9)
Таким образом, отсчет S_\textrm{sh}(0) соответствует частоте f_\textrm{sh}(0) = -\frac{F_{\textrm{s}}}{2} Гц, отсчет S_\textrm{sh} \left( \frac{N}{2} \right) соответствует частоте f_\textrm{sh}\left( \frac{N}{2} \right) = 0 Гц и отсчет S_\textrm{sh}(N-1) соответствует частоте f_\textrm{sh}\left( N-1\right) = \frac{F_{\textrm{s}}}{2} - \frac{F_{\textrm{s}}}{N} Гц.

Перестановка спектральных отсчетов для четного N показана на рисунке 3.

Перестановка спектральных отсчетов для четного
Рисунок 3. Перестановка спектральных отсчетов для четного N

Перестановка спектральных отсчетов ДПФ для нечетного N

В случае нечетного N спектральный отсчет S\left( \frac{N-1}{2}\right), согласно (4), соответствует частоте \frac{F_{\textrm{s}}}{2} - \frac{F_{\textrm{s}}}{2  N} Гц, а спектральный отсчет S\left( \frac{N+1}{2}\right) соответствует частоте \frac{F_{\textrm{s}}}{2} + \frac{F_{\textrm{s}}}{2  N} Гц.

Спектр S_\textrm{sh}(k) после перестановки для нечетного N:

equation 10
(10)
k-ый спектральный отсчет после перестановки S_\textrm{sh}(k) соответствует частоте
equation 11
(11)
или
equation 12
(12)
После перестановки спектральных отсчетов, в случае нечетного N, спектральный отсчет S_\textrm{sh}(0), согласно (12), соответствует частоте f_\textrm{sh}(0) = -\frac{F_{\textrm{s}}}{2} + \frac{F_{\textrm{s}}}{2  N} Гц, спектральный отсчет S_\textrm{sh} \left(\frac{N-1}{2} \right) соответствует частоте f_\textrm{sh}\left(\frac{N-1}{2} \right) = 0 Гц и последний отсчет S_\textrm{sh}(N-1) соответствует частоте f_\textrm{sh}(N-1) = \frac{F_{\textrm{s}}}{2} - \frac{F_{\textrm{s}}}{2  N} Гц.

Перестановка спектральных отсчетов для нечетного N показана на рисунке 4.

Перестановка спектральных отсчетов для нечетного
Рисунок 4. Перестановка спектральных отсчетов для нечетного N

Пример перестановки спектральных отсчетов

Произведем перестановку спектральных отсчетов для корректного отображения отрицательных частот для приведенного выше примера (рисунок 1).

Количество отсчетов в приведенном примере N = 30, значит, мы можем воспользоваться выражением (7) для получения S_\textrm{sh}(k). Тогда после перестановки спектральные отсчеты будут соответствовать частотам (9).

На рисунке 5 приведен амплитудный спектр |S_\textrm{sh}(k)| после перестановки, а также значения частоты f_\textrm{sh}(k) (Гц), которой соответствуют спектральные отсчеты S_\textrm{sh}(k).

Амплитудный  спектр  после   перестановки  и  соответствующие значения  частоты 
Рисунок 5. Амплитудный спектр |S_\textrm{sh}(k)| после перестановки и соответствующие значения частоты f_\textrm{sh}(k)

Как можно видеть на рисунке 5, после перестановки спектральных отсчетов компонента S_\textrm{sh}(10) соответствует частоте f_\textrm{sh}(10) = -20 Гц, как мы и задавали для исходного сигнала.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели вопрос индексации и перестановки спектральных отсчетов на выходе ДПФ.

Были приведены выражения для перестановки спектральных отсчетов для четного и нечетного N для корректного отображения отрицательных частот после ДПФ.

Более детально свойства ДПФ будут рассмотрены в следующих разделах.

странице обсуждения статьи

Последнее изменение страницы: 14.11.2020 (11:14:45)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14