Комплексные числа и операции с ними
![]() DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
|
Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена.
Например функция определена для
, аналогично можно вспомнить,
что функция
определена для
, а функция
определена для
.
Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает,
что ,
или
не имеют смысла.
Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том,
что
не может быть представлено вещественным числом.
Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа
, квадрат которого был бы равен
.
При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.
Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1),
на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа.
Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой.
Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения
,
или
уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве,
как
на множестве вещественных чисел.
Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью.
Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1.
Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число.
Например на рисунке 1 показано число .

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.
Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и
,
которые пересекаются в начале координат.
Прямая
это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа.
Прямая
называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси
.
Оси
и
делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.
Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и
по осям
и
соответственно.
При этом само комплексное число можно записать как
, где
называется реальной частью
и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой
, а
называется мнимой частью
и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси
.
Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число ,
называемое мнимой единицей.
Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел.
Оно обладает особым свойством:
.
Тогда комплексное число
может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево,
но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей
.
Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква
уже закреплена
за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой
.
Если и
, тогда число
является действительным и располагается на реальной оси
.
Если и
, тогда число
является чисто мнимым и располагается на мнимой оси
.
Если и
, тогда число
располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.
Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи.
Если из начала координат комплексной плоскости к точке
восстановить вектор (смотри рисунок 1),
то можно вычислить длину этого вектора как






Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:












![\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]](img/eqlin-37.png)


На рисунке 2 показаны значения параметра , в зависимости от того
в какой четверти комплексной плоскости расположено число.

На рисунке 2а исходное комплексное число расположено
в первой четверти комплексной плоскости
и
.
Тогда и значение фазы комплексного числа равно:

Рассмотрим случай, когда комплексное число расположено
во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 2б), т.е.
и
.
В этом случае
и угол
также будет отрицательным (красная пунктирная линия).
Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы
необходимо ввести поправку
рад:

Пусть комплексное число расположено в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 2в),
т.е.
и
.
В этом случае
и угол
будет
положительным (красная пунктирная линия).
Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы
необходимо ввести поправку
рад:

Если расположено в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 2г),
т.е.
и
, то в этом случае
и угол
будет отрицательным и равным фазе комплексного числа
без поправок (
рад):



Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного угла поворота вектора комплексного числа.
Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа. Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:


Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:


Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях.
Из определения мнимой единицы можно сделать вывод, что , тогда
,
в свою очередь
.
Таким образом, можно сделать вывод что .
Построим аналогичным образом соотношение для нечетных степеней: , тогда
,
в свою очередь
и окончательно можно записать:
. Тогда (14) можно представить как:



Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного.
Так например при помощи формулы Эйлера можно связать математические константы и
с использованием мнимой единицы
:

В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами.
Сумма двух комплексных чисел и
представляет
собой комплексное число
:

При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются. На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).

Разность двух комплексных чисел и
представляет собой комплексное число





Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:

При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются. Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.
Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число является
комплексно-сопряженным числу
.
Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью.
Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г.
При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны
, а фазы имеют противоположные знаки.
Произведение комплексно-сопряженных чисел

Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел. Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:

Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел, а фаза равна разности фаз исходных чисел.
При этом необходимо потребовать, чтобы был не равен нулю,
иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.
Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:

Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:

В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.
Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.
Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.
Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме, введено понятие комплексно-сопряженных чисел, а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.