Альтернатива дискретизации по времени
Добавлено: 08 фев 2018, 19:37
Здравствуйте, уважаемые участники форума!
Я хочу предложить следующую альтернативу дискретизации по времени. Разумеется, тут ничего принципиально нового нет. Просто необычное применение рядов Фурье.
Берем произвольную функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (аналоговый сигнал): кусочно непрерывную, кусочно монотонную (количество кусков конечное) и ограниченную. Разбиваем ее область определения на равные отрезки. И на каждом отрезке раскладываем функцию в ряд Фурье. То есть на каждом отрезке будут свои коэффициенты Фурье. Еще хотелось бы рассмотреть дополнительно два варианта:
1) раскладываем только по косинусам, дополняя функцию на каждом отрезке до четной;
2) раскладываем только по синусам, дополняя функцию на каждом отрезке до нечетной.
В случаях чётного и нечётного доопределений каждый отрезок мы будем для нахождения коэффициентов Фурье сдвигать так, чтобы его левый конец попал в точку x = 0. При восстановлении функции отрезки будут возвращаться на своё место.
Хотелось бы оценить погрешность такого представления, при условии если брать конечное количество коэффициентов Фурье. И, самое главное, хотелось бы понять, что лучше:
1) дискретизация исходной функции по времени;
или
2) дискретизация её спектра тем способом, который я описал выше?
При дискретизации самой функции (1) будет отражение спектра, а также невозможность восстановить исходную функцию из-за ошибок:
-- первого рода, связанных с отражением спектра при несоблюдении условий теоремы Котельникова;
-- второго рода, связанных с невозможностью физической реализации идеального фильтра нижних частот.
При дискретизации спектра исходной функции (2) будет возникать эффект Гиббса в точках разрыва первого рода (и не только).
Я хочу предложить следующую альтернативу дискретизации по времени. Разумеется, тут ничего принципиально нового нет. Просто необычное применение рядов Фурье.
Берем произвольную функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (аналоговый сигнал): кусочно непрерывную, кусочно монотонную (количество кусков конечное) и ограниченную. Разбиваем ее область определения на равные отрезки. И на каждом отрезке раскладываем функцию в ряд Фурье. То есть на каждом отрезке будут свои коэффициенты Фурье. Еще хотелось бы рассмотреть дополнительно два варианта:
1) раскладываем только по косинусам, дополняя функцию на каждом отрезке до четной;
2) раскладываем только по синусам, дополняя функцию на каждом отрезке до нечетной.
В случаях чётного и нечётного доопределений каждый отрезок мы будем для нахождения коэффициентов Фурье сдвигать так, чтобы его левый конец попал в точку x = 0. При восстановлении функции отрезки будут возвращаться на своё место.
Хотелось бы оценить погрешность такого представления, при условии если брать конечное количество коэффициентов Фурье. И, самое главное, хотелось бы понять, что лучше:
1) дискретизация исходной функции по времени;
или
2) дискретизация её спектра тем способом, который я описал выше?
При дискретизации самой функции (1) будет отражение спектра, а также невозможность восстановить исходную функцию из-за ошибок:
-- первого рода, связанных с отражением спектра при несоблюдении условий теоремы Котельникова;
-- второго рода, связанных с невозможностью физической реализации идеального фильтра нижних частот.
При дискретизации спектра исходной функции (2) будет возникать эффект Гиббса в точках разрыва первого рода (и не только).