Альтернатива дискретизации по времени

Post Reply
SoftCat
Posts: 23
Joined: 08 Feb 2018, 16:27

Альтернатива дискретизации по времени

Post by SoftCat » 08 Feb 2018, 16:37

Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Я хочу предложить следующую альтернативу дискретизации по времени. Разумеется, тут ничего принципиально нового нет. Просто необычное применение рядов Фурье.

Берем произвольную функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (аналоговый сигнал): кусочно непрерывную, кусочно монотонную (количество кусков конечное) и ограниченную. Разбиваем ее область определения на равные отрезки. И на каждом отрезке раскладываем функцию в ряд Фурье. То есть на каждом отрезке будут свои коэффициенты Фурье. Еще хотелось бы рассмотреть дополнительно два варианта:
1) раскладываем только по косинусам, дополняя функцию на каждом отрезке до четной;
2) раскладываем только по синусам, дополняя функцию на каждом отрезке до нечетной.

В случаях чётного и нечётного доопределений каждый отрезок мы будем для нахождения коэффициентов Фурье сдвигать так, чтобы его левый конец попал в точку x = 0. При восстановлении функции отрезки будут возвращаться на своё место.

Хотелось бы оценить погрешность такого представления, при условии если брать конечное количество коэффициентов Фурье. И, самое главное, хотелось бы понять, что лучше:

1) дискретизация исходной функции по времени;

или

2) дискретизация её спектра тем способом, который я описал выше?

При дискретизации самой функции (1) будет отражение спектра, а также невозможность восстановить исходную функцию из-за ошибок:

-- первого рода, связанных с отражением спектра при несоблюдении условий теоремы Котельникова;
-- второго рода, связанных с невозможностью физической реализации идеального фильтра нижних частот.

При дискретизации спектра исходной функции (2) будет возникать эффект Гиббса в точках разрыва первого рода (и не только).

User avatar
Бахурин Сергей
Администратор
Posts: 696
Joined: 05 Oct 2010, 16:55
Contact:

Re: Альтернатива дискретизации по времени

Post by Бахурин Сергей » 14 Feb 2018, 20:35

Ну попробуйте такой способ моделировать и посмотреть что получится. Предполагаю проблемы на сшивке кусков разложения между собой.
На самом деле дискретизация во времени сигнала это и есть разложение в ряд Фурье периодически повторенного по частоте спектра сигнала. Собственно отсюда и вытекают требования теоремы дискретизации (ограниченный спектр и частота дискретизации в два раза выше верхней частоты).

SoftCat
Posts: 23
Joined: 08 Feb 2018, 16:27

Re: Альтернатива дискретизации по времени

Post by SoftCat » 15 Feb 2018, 13:18

Бахурин Сергей wrote:
14 Feb 2018, 20:35
Ну попробуйте такой способ моделировать и посмотреть что получится. Предполагаю проблемы на сшивке кусков разложения между собой.
Да, будут проблемы на границах интервалов. Вообще в моём способе можно убрать все точки разрыва, возникающие при периодизации сигнала. Но для этого потребуется ультразвуковая линия задержки, такая как в СЕКАМ-декодере. Но вот точки разрыва производной сигнала (изломы) убрать намного сложнее.
Бахурин Сергей wrote:
14 Feb 2018, 20:35
На самом деле дискретизация во времени сигнала это и есть разложение в ряд Фурье периодически повторенного по частоте спектра сигнала. Собственно отсюда и вытекают требования теоремы дискретизации (ограниченный спектр и частота дискретизации в два раза выше верхней частоты).
Да, в статье Котельникова это очень хорошо описано. Но на практике при обратном преобразовании сигнала в аналоговый невозможно точно депериодизировать спектр. Например, если взять синус с частотой, чуть меньшей, но близкой к половине частоты дискретизации, то после оцифровки его не удастся удовлетворительно восстановить. Возникнут биения.
Кстати, известен способ восстановления аналогового сигнала с применением ДПФ:
https://studopedia.su/5_20478_spektraln ... atsii.html
http://www.findpatent.ru/patent/225/2259591.html
Разумеется, генераторы гармоник лучше аналоговые. Не знаю, насколько это всё хорошо.
Я же вообще хочу уйти от дискретизации по времени и применять аналоговое преобразование Фурье.

Post Reply

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 1 guest