Быстрое вейвлет-преобразование

Аватара пользователя
Santik
Сообщения: 609
Зарегистрирован: 28 дек 2010, 08:04
Откуда: Мирный (Якутия)
Контактная информация:

Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Santik »

Простой алгоритм быстрого непрерывного
вейвлет-преобразования.

1. Делаем FFT исходного сигнала.
2. Обнуляем спектр на отрицательных частотах (преобразование Гильберта)
3. Для каждой частоты fi :
а. умножаем спектр на оконную функцию (с центром на частоте fi)
б. Делаем обратное преобразование Фурье

Аватара пользователя
Santik
Сообщения: 609
Зарегистрирован: 28 дек 2010, 08:04
Откуда: Мирный (Якутия)
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Santik »

В явном виде вейвлет-функции в этом алгоритме не используются. Если в качестве "окна" выбрать функцию
image010.png
image010.png (1011 байт) 13673 просмотра
, то это аналогично использованию вейвлета Морле.
Аналогично можно использовать окна Ханна, Блэкмана или Блэкмана-Харриса.

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 1114
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Бахурин Сергей »

не думаю что этот алгоритм относится к быстрым алгоритмам вейвлет преобразования. Это скорее оконное преобразование Фурье, поскольку в нем я не увидел кратномасштабного анализа. Вот например вейвлет преобразование в базисе Хаара куда быстрее, поскольку выполняется только сумматорами и вычитателями.

Аватара пользователя
Santik
Сообщения: 609
Зарегистрирован: 28 дек 2010, 08:04
Откуда: Мирный (Якутия)
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Santik »

Ортогональный вейвлет-анализ и непрерывный вейвлет-анализ, насколько я понимаю, разные вещи. То, что Вы говорите, относится к ортогональному вейвлет-анализу.
http://www.masters.donntu.edu.ua/2004/k ... kovich.htm

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 1114
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Бахурин Сергей »

Теория вейвлет анализа строится на понятии кратномасштабного анализа. Существуют две базовые функции: скелинг и вейвлет, целочисленные сдвиги которых есть ортогональный базис. Любой сигнал можно представить набором целочисленных сдвигов и сжатий растяжений базисных скейлинг и вейвлет функция. Для цифрового анализа они представляются к-тами h и g соответсвующих данному базису. Для Хаара это и . используя эти к-ты можно рекуррентно восстановить непрерывную базисную и .

Аватара пользователя
Santik
Сообщения: 609
Зарегистрирован: 28 дек 2010, 08:04
Откуда: Мирный (Якутия)
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Santik »

"Вейвлеты - это обобщенное название семейств математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте. Как правило, вейвлет-преобразования (WT) подразделяют на дискретное (DWT) и непрерывное (CWT). DWT используется для преобразований и кодирования сигналов, CWT - для анализа сигналов." http://prodav.narod.ru/wavelet/index.html
Вейвлет Хаара используется в DWT, вейвлет Морле - в CWT.
Я исключительно CWT рассматриваю.

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 1114
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Бахурин Сергей »

ну я бы не допускал таких вольностей. Поскольку колебательных функций локализованных во времени бесконечное множество, но все они не могут быть использованы для вейвлет анализа, поскольку вейвлеты помимо локализации во времени и частоте должны обеспечивать базис разложения и безошибочного восстановления. А это сразу сужает количество функций. Именно поэтому мы вейвлет базисы называем по имени первооткрывателя: Хаара, Добеши, Морле и т.д. Они тратили время на доказательство того что целочисленные сдвиги этих функций образуют ортогональную систему. Так что называть любую имеющую колебательный характер и локализованную по времени и частоте вейвлет-базисом не верно. Это дискредитирует само понятие и теорию.

Аватара пользователя
Santik
Сообщения: 609
Зарегистрирован: 28 дек 2010, 08:04
Откуда: Мирный (Якутия)
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Santik »

Давайте рассмотрим вейвлет Морле:
image004.png
image004.png (1 КБ) 13642 просмотра
Его преобразование Фурье имеет вид:
image010.png
image010.png (1011 байт) 13642 просмотра
Это чисто действительная функция.
Пусть спектр некоторой функции будет равен
image017.png
image017.png (1.19 КБ) 13642 просмотра
при
image012.png
image012.png (737 байт) 13642 просмотра
и F(w)=0 вне указанного интервала.

Аватара пользователя
Santik
Сообщения: 609
Зарегистрирован: 28 дек 2010, 08:04
Откуда: Мирный (Якутия)
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Santik »

Сделав обратное преобразование Фурье, найдём эту функцию:
image024.png
image024.png (2.4 КБ) 13642 просмотра
Почему эту функцию нельзя назвать вейвлетом?

Аватара пользователя
Santik
Сообщения: 609
Зарегистрирован: 28 дек 2010, 08:04
Откуда: Мирный (Якутия)
Контактная информация:

Re: Быстрое вейвлет-преобразование

Сообщение Santik »

Можно взять любую известную оконную функцию в частотной области и с помощью её синтезировать вейвлет. Вейвлет, синтезированный с помощью окна Блэкмана-Харриса можно назвать вейвлетом Блэкмора-Харрисона :D
Последний раз редактировалось Santik 10 ноя 2012, 22:18, всего редактировалось 1 раз.

Ответить