Ошибки в формулах

Ответить
Dmitri Seva
Сообщения: 30
Зарегистрирован: 07 дек 2010, 09:29

Ошибки в формулах

Сообщение Dmitri Seva » 25 фев 2011, 12:10

Просмотрел статью Расчет аналогового нормированного фильтра нижних частот Баттерворта. В формуле 7 при подстановке комплексной экспоненты через тождество Эйлера индекс периодичности косинуса начинается с 1. При этом мы теряем угол PI. Либо нужно исправить на 2*n-1 при подстановке, либо начинать n c 0. В формуле 13 при нечетных N у нас есть вещественные полюса, следовательно есть полюс с углом равным нулю, поэтому n должно начинаться либо с 0, либо если оно начинается с 1 то при подстановке необходимо 2*(n-1)*pi.
Далее если внимательно посмотреть на рисунок 2, то можно вывести формулу для углов полюсов при четных и нечетных N.

При четных N: или
При нечетных N: или

В формуле 19 выражения для вычисления углов странным образом обобщаются в общую формулу. В формуле 24 достаточно подставить в выражение N = 5 и сравнить с рисунком 2. Первый угол для биквадратного блока должен быть pi/5, второй 2*pi/5 и тд. Формула же выдает pi/10, 3*pi/10 и тд.

В формуле 25 при объединении формул 23 и 24, разные формулы в зависимости от четности N тоже должны учитываться. т.е. исходя из вышесказанного общая формула должна быть:
или .

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 623
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: Ошибки в формулах

Сообщение Бахурин Сергей » 25 фев 2011, 13:01

Ошибки никакой нет. Рассмотрим формулу (12) например:


Очевидно, s при n = 2N равно


Теперь рассмотрим выражение



в этом случае s при n=0



другими словами начав нумерацию с единицы мы пропустили первую пи, но догнали ее на элементе с номером 2N, а начав с нуля мы бы начали с пи, но 2N-го полюса бы не получили, т.к. последний номер был бы 2N-1. С этой точки зрения формулы равнозначны.

Теперь что касается объединения в одну формулу. Перед выражением (19) сказано цитирую:

Ранее говорилось, что для получения устойчивого и физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все нули и полюса располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости. Тогда для расчета передаточной функции фильтра Баттерворта необходимо из всех полюсов выбрать только те, что лежат в левой полуплоскости. Тогда все полюса расположенные в левой полуплоскости могут быть записаны как для четного , так и для нечетного (смотри рисунок 2)

Жирным выделено, что формулой (19) представлены все полюса как при четном так и при нечетном N, но только из левой полуплоскости. Обратите внимание n нумеруется от 1 до N, а не до 2N как было ранее, а значит меняется от до , и соотвественно в (19) находится в левой полуплоскости.

Dmitri Seva
Сообщения: 30
Зарегистрирован: 07 дек 2010, 09:29

Re: Ошибки в формулах

Сообщение Dmitri Seva » 25 фев 2011, 14:38

Да, вы правы, мои формулы для диапазона (что вообще говоря неверно). А для устойчивого фильтра необходимо чтобы его действительная часть была меньше 0, т.е. чтобы коэффициенты затухания в s-плоскости были отрицательные. Поэтому нужен диапазон углов полюсов . Для этого диапазона формулы приведенные в статье верны.

Аватара пользователя
Бахурин Сергей
Администратор
Сообщения: 623
Зарегистрирован: 05 окт 2010, 19:55
Контактная информация:

Re: Ошибки в формулах

Сообщение Бахурин Сергей » 25 фев 2011, 14:47

Тем не менее все равно будьте бдительны. Я сам периодически обнаруживаю ошибки в формулах :oops: поэтому доверяй но проверяй.

Gregor812
Сообщения: 6
Зарегистрирован: 04 апр 2016, 23:51

Re: Ошибки в формулах

Сообщение Gregor812 » 05 апр 2016, 00:04

http://www.dsplib.ru/content/filters/ch1/ch1.html
Это ничего не меняет в дальнейших расчётах, но всё же...
В окончательном выводе формулы (9) последняя скобка равна

Ответить

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость