Спектральный анализ ограниченных во времени сигналов. Эффект растекания спектра

Содержание
Введение
В основе цифрового спектрального анализа лежит аппарат дискретного преобразования Фурье (ДПФ). При этом ДПФ имеет высокоэффективные быстрые алгоритмы (БПФ). Однако при использовании ДПФ часто возникают трудности обусловленные конечностью интервала обработки. В данном разделе статье мы проанализируем эффекты возникающие при ограничении интервала анализа.
Иллюстрация эффекта растекания спектра
Пусть имеется два синусоидальных сигнала с частотами Гц и Гц. Произведем дискретизацию данных сигналов с частотой Гц и возьмем две выборки и по отсчетов:
(1)
(1)
Рассчитаем точечные ДПФ сигналов и и получим два комплексных спектра и , . На рисунке 1a показаны дискретные сигналы и ,а на рисунке 1б их амплитудные спектры и .
Замечание. На рисунке 1б как и на всех рисунках ниже, амплитудный спектр сигнала приводится после перетсановки спектральных отсчетов в интервале от до . Индексы спектральных отсчетов пересчитаны в значения частоты , которые приведены по оси абсцисс рисунка 1б.
Рисунок 1. Иллюстрация эффекта растекания спектра
На рисунке 1 можно видеть, что амплитудный спектр содержит только гармоники на частотах Гц, как мы и задавали в сигнале . Однако амплитудный спектр содержит множество гармоник, хотя для сигнала мы также задавали только одну частоту Гц. При этом заметим, что значение амплитуд гармоник ниже амплитуды . Таким образом, мы имеем эффект растекания спектра (англ. spectral leakage) для сигнала , который наглядно показан на рисунке 1.
Анализ эффекта растекания спектра в частотной области
Рассматривая дискретное преобразование Фурье мы говорили, что спектр дискретного сигнала , это периодическая функция нормированной циклической частоты , определяемая через дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ):
(2)
(2)
При этом ДПФ получатся путем дискретизации ДВПФ на сетке частот Соотвественно, при расчете ДПФ мы получаем только значения дискретно-временного преобразования Фурье (2) для дискретной сетки частот . Для того, чтобы получить более подробную информацию о ДВПФ необходимо дискретизировать на более частой сетке частот где целое число больше единицы. Например в вышеприведенном примере мы рассчитывали точечные ДПФ, так для получения аппроксимации ДВПФ мы должны использовать точечные ДПФ . Но как посчитать точечное ДПФ, если выборка всего 50 отсчетов?
Для ответа на данный вопрос надо вспомнить, что дискретизация ДВПФ на сетке соотвествует периодическому сигналу, повторенному во времени бесконечное количество раз с периодом отсчетов. Для того чтобы сетка дискретизации стала более частой: небходимо повторять сигнал во времени с периодом отсчетов. Таким образом, мы должны дополнить исходный сигнал нулями до длительности отсчетов.
На рисунке 2 и 3 показаны сигналы и , которые представляют собой дополненные нулями до длины отсчетов сигналы и , Также на рисунках 2 и 3 показаны амплитудные спектры ДПФ и , на сетке где . Красным отмечены значения ДПФ и рассчитанные без добавления нулей в исходные сигналы, а непрерывной линией - амплитудные спектры ДПФ, на сетке где .
Рисунок 2. ДПФ сигнала , дополненного нулями до 200 отсчетов
Рисунок 3. ДПФ сигнала , дополненного нулями до 200 отсчетов
Из рисунков 2 и 3 следует, что ДВПФ сигналов и имеют схожую форму, но сдвинуты по частоте. При этом в ДПФ сигнала не наблюдается растекания спектра ввиду того, что частота выбрана так, что дискретизация ДВПФ данного сигнала была произведена в нулях ДВПФ. Дискретизация ДВПФ cигнала приозводилась на боковых лепестках из-за сдвига частоты относительно .
Представим сигналы и как произведение сигналов и согласно (1) при и сигнала , называемого оконной функцией:
(3)
(3)
как это показано на рисунках 4 и 5 для сигналов и , соответственно.
Рисунок 4. Сигнал как произведение и оконной функции .
Рисунок 5. Сигнал как произведение и оконной функции .
В соответсвии со свойствами ДПФ, ДПФ сигнала можно представить как циклическую свертку ДПФ исходного сигнала и ДПФ оконной функции
(4)
(4)
Графически ДПФ и сигналов и при ограниченных во времени оконной функцией , как результат циклических сверток (4) приведены на рисунках 6 и 7.
Рисунок 6. ДПФ ограниченного во времени сигнала .
Рисунок 7. ДПФ ограниченного во времени сигнала .
Из анализа рисунков 6 и 7 можно сделать вывод, что растекание спектра повторяет по форме спектр оконной функции , перенесенную на частоты несущих и
Анализ эффекта растекания спектра во временной области
В предыдущем параграфе мы проанализировали эффект растекания спектра в частотной области как результат дискретизации ДВПФ на фиксированной сетке частот При этом мы наблюдали, что в некоторых случаях эффект растекания не проявляется ввиду дискретизации ДВПФ в частотных точках, соответствующих нулевым значениям ДВПФ . В данном параграфе мы проанализируем это во временной области.
При рассмотрении дискретного преобразования Фурье мы отмечали, что дискретизация ДВПФ равнозначна периодическому повторению сигналов (1) во времени с периодом равным длине сигнала . На рисунке 8 синим показаны исходные сигналы и , а красным их периодические повторения с периодом отсчетов.
Рисунок 8. Периодическое повторение выборок сигналов и .

Из рисунка 8 можно заметить, что на одном периоде повторения укладывается целое число периодов синусоидального сигнала с частотой . В результате сам сигнал и его повторения "стыкуются в фазе" (отмечено зеленой заливкой) и представляют собой единый синусоидальный сигнал бесконечной длительности. Как результат мы не наблюдаем эффекта растекания спектра.
В случае сигнала на одном периоде повторения не укладывается целое число периодов синусоидального сигнала с частотой В результате, при стыковке мы можем видеть скачки фазы (отмечено зеленой заливкой), которые расширяют спектр, что мы и видим на выходе ДПФ.
Таким образом, эффект растекания возникает если на длине выборки сигнала не укладывается целое число периодов повторения сигнала. Очевидно, что обеспечить целое число периодов сигнала на ограниченной выборке можно лишь в некторых частных случаях. В общем случае для полосовых сигналов это невозможно. При этом встает вопрос: а насколько вреден эффект растекания?
Негативное влияние эффекта растекания спектра в цифровом спектральном анализе
В данном параграфе мы рассмотрим негативные эффекты которые возникают в результате растекания ДПФ.
Эффект 1. Искажение амплитуды спектрального отсчета. Гребешковые искажения спектра.
На рисунке 1 были показаны амплитудные спектры сигналов и и мы наблюдали уменьшение максимального значения амплитудного спектра сигнала Далее мы показали, что значение амплитуд спектральных отсчетов зависят от соотношения частоты сигнала и частотной сетки дискретизации ДВПФ. Анимация 1 иллюстрирует изменение максимального значения амплитудного спектра сигнала при изменение частоты сигнала во времени.
Пусть входной сигнал Гц. Синим цветом показан амплитудный спектр сигнала для изменяющейся во времени частоты сигнала . Зеленым цветом отображается максимальное значение , для соответствующей частоты сигнала а серым показана аппроксимация ДВПФ.
Анимация 1. Гребешковые искажения ДПФ
Можно заметить, что максимальное значение спектра достигается при совпадении частоты сигнала и частоты спектрального отсчета ДПФ (бина ДПФ), а минимальное при частоте сигнала посередине между спектральными отсчетами ДПФ. При этом зеленая кривая имеет форму гребешка, из-за чего данные искажения и называются гребешковыми искажениями.
Гребешковые искажения вносят потери на обработку сигнала, потому что максимальная амплитуда спектрального отсчета может быть уменьшена до 0.635 (-3.94 дБ по мощности) от истинного значения. Однако суммарная мощность остается постоянной, потому что недостающая мощность растекается по соседним спектральным отсчетам.
Эффект 2. Уменьшение динамического диапазона спектрального анализа.
Пусть имеется два входных сигнала и содержащие отсчетов:
(1)
(1)
где Гц, и Гц, Гц и Гц. Амплитуда гармоник с частотой в 50 раз (-34 дБ по мощности) ниже чем амплитуды гармоник с частотами и На рисунке 9 показаны оценки спектральной плотности мощности и в логарифмическом масштабе.
Рисунок 9. Уменьшение динамического диапазона спектрального анализа.

На рисунке 9а частоты гармоник и выбраны таким образом, что эффекта растекания спектра не наблюдается. В результате оценки спектральной плотности мощности наблюдается 2 гармоники на частотах Гц и Гц. На рисунке 9б гармоника с частотой Гц боковыми лепестками маскируют гармонику с частотой Гц. Таким образом динамический диапазон спектрального анализа сокращен до 34 дБ за счёт эффекта растекания спектра данный пример наглядно иллюстрирует проблемы уменьшение динамического диапазона спектрального анализа в условиях растекания спектра.
Выводы
Главный вывод который мы должны вынести из рассмотрения эффекта растекания при помощи вышеизложенных примеров заключается в том, что каждый отсчет ДПФ несет информацию не об амплитуде сигнала соответствующей частоты, но о мощности сигнала в некоторой полосе в окрестности частоты, соответствующей гармоники ДПФ. При этом растекание спектра приводит к взаимному влиянию спектральных отсчетов ДПФ друг на друга, искажая амплитуды гармоник и маскируя сигналы под боковыми лепестками других гармоник. В следующих разделах мы будем анализировать эффект растекания более детально и рассмотрим пути уменьшения влияния эффекта растекания спектра при цифровом спектральном анализе.
Список литературы
[1] Harris F. On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform. Proceedings of the IEEE. 66 (1) Jan., 1978, pp. 51–83

[2] Лайнос P. Цифровая обработка сигналов. Москва, OOO "Бином-Пресс", 2006.

[3] Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2006.

[4] Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обрботка сигналов. С приложением работы Д. Кайзера "Цифровые фильтры" Москва, Советское радио, 1973.