Сигналы с минимальной частотной манипуляцией (minimum shift key MSK)

Введение Условие ортогональности. Минимальный индекс CPFSK модуляции Схема MSK модулятора на основе CPFSK Комплексная огибающая MSK Схема формирования MSK сигналов на основе OQPSK Осциллограмма и спектр MSK сигнала Выводы Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge

Ранее были рассмотрены сигналы с частотной манипуляцией FSK и CPFSK. При этом было введено понятие индекса частотной манипуляции , который задает девиацию частоты манипуляции:

,

(1)

где — скорость передачи информации. Также было установлено, что фазовый набег на одном информационном символе длительностью составляет

(2)

В данном статье речь пойдет о сигналах с минимальной частотной манипуляцией ( minimum shift key MSK ) . MSK модуляция это частный случай CPFSK модуляции, при минимально возможном индексе , обеспечивающим ортогональность сигналов передающих «0» и «1» цифровой информации. Другими словами, MSK сигнал — сигнал с минимальным разносом частот «0» и «1» (т.е. с минимальной девиацией), при котором эти частоты можно различить на интервале времени .

Пусть «0» и «1» цифровой информации передаются при помощи CPFSK модуляции, тогда логической «1» будет соответствовать сигнал а логическому нулю где — несущая частота.

Сигналы и будут ортогональны на интервале времени при условии:

(3)

Рассчитаем минимальный индекс модуляции, при котором выполняется условие ортогональности.

(4)

Поскольку на интервале укладывается множество периодов на удвоенной частоте несущего колебания , то первый интеграл можно считать равным нулю (так как площадь косинуса будет равна нулю). Остается второй интеграл:

(5)

Таким образом можно записать:

(6)

Учтем (1), а также заметим что и получим:

(7)

Поскольку индекс модуляции не может быть отрицательный и не может равняться 0, то минимальное будет при , т.е.

(8)

Таким образом, мы получили, что это минимальный индекс CPFSK, при котором возможно выделение цифровой информации. Конечно, при меньших также возможно выделить информацию, но будут иметь место ошибки, связанные с неортогональностью сигналов «0» и «1».

Таким образом, при частотная манипуляция с непрерывной фазой CPFSK превращается в минимальную частотную манипуляцию MSK (теперь ясно почему минимальную).

Схема формирования MSK сигнала та же, что и CPFSK, приведем ее еще раз (рисунок 1).

Рассмотрим параметры MSK сигнала более подробно. Ранее говорилось, что набег фазы на одном информационном символе можно рассчитать следующим образом:

(9)

Тогда в случае MSK и Тогда полная фазовая диаграмма может быть представлена, как это показано на рисунке

Рассмотрим теперь квадратурные составляющие комплексной огибающей MSK.

Согласно рисунку 1 комплексная огибающая MSK сигнала равна:

(10)

Согласно выражению (1) с учетом того что получим .

Поскольку модулирующий сигнал можно представить как сумму прямоугольных импульсов с амплитудами (последовательность плюс минус единиц) длительностью каждый, то

(11)

Графически это показано на рисунке 3

Тогда подставим (11) в (10) и получим следующие выражения для квадратурных компонент комплексной огибающей MSK сигнала:

(12)

С учетом того что получим:

(13)

За интервал времени равный длительности одного импульса фаза квадратурных компонент набегает на в зависимости от текущего значения передаваемой информации . Тогда в моменты времени , когда происходит смена информационных символов (на фронтах импульсов), получим значения квадратурных компонент равные:

(14)

Если

- четно, то сумма содержит четное количество элементов равных , а значит эта сумма всегда четна, в результате

(15)

Напротив если - нечетно, то сумма содержит нечетное количество элементов равных , а значит эта сумма всегда нечетна, и в результате

(16)

Графически это показано на рисунке 4.

На векторной диаграмме показан вектор комплексной огибающей в моменты времени . Красным показан вектор при четных , синим при нечетных. За интервал времени равный длительности одного информационного символа вектор поворачивается на радиан, меняя положение вертикально горизонтально. Так из векторной диаграммы можно заметить, что при четных в моменты времени вектор всегда горизонтален и справедливо выражение (15), а при нечетных вектор расположен вертикально и справедливо выражение (16).

При смене информационных бит вектор комплексной огибающей также меняет направление вращения. При этом изменяются и знаки квадратурных компонент (получается фазовая манипуляция), причем изменение знаков квадратурных компонент зависит от суммы всех предыдущих символов.

Это замечание позволяет нам рассмотреть схему формирования MSK сигналов на основе OQPSK модуляции (рисунок 5).

Блок повторения импульса работает, как это показано на рисунке 6. Он повторяет 2 раза импульс на входе.

Временные диаграммы работы MSK модулятора на базе OQPSK представлены на рисунке 7.

Тактовый генератор формирует тактовые синхроимпульсы через время . На входе имеется цифровая информация в виде последовательности бит 0 и 1. Интегратор производит суммирование по модулю два входного цифрового сигнала, и на выходе получаем

(17)

Суммирование по модулю два позволяет оценить знак квадратурных каналов комплексной огибающей MSK сигнала.

После интегрирования ключ, управляемый тактовым сигналом, делит один поток на четные и нечетные последовательности. При этом необходимо получить биполярный сигнал .

На осциллограмме «А» показаны четные биполярные символы (красным), на осциллограмме «B» синим показаны нечетные биполярные символы (напомню что нумерация символов начинается с нуля). После сигналы «A» и «B» проходят через блок повторения импульсов и получаем осциллограммы « C » (красная) и«D» (синяя) соответственно. Сформированные сигналы «C» и«D» умножаются на

(18)

показанный на соответствующей осциллограмме. Длительность одного символа цифрового потока равна четверти периоду сигнала . В результате умножения сигнала « C » на получаем квадратурную составляющую комплексной огибающейMSK. Аналогично, умножением сигнала«D» на получим синфазную составляющую (осциллограмма«E»), которую необходимо сдвинуть по фазе на относительно . Сдвиг по фазе осуществляется путем задерживания сигнала на один символ длительности , что наглядно представлено на осциллограмме«E».

На рисунках 8 и 9 показан пример осциллограммы MSK сигнала и его амплитудного спектра. Пример осциллограммы приведен при и несущей частоте , Амплитудный спектр показан для сигнала при при и несущей частоте

Рисунок8: Осциллограмма MSK сигнала

Рисунок9: Амплитудный спектр MSK сигнала

Из анализа спектра можно сделать вывод, что ширина главного лепестка спектра MSK сигнала равна , что является минимальным значением среди всех видов модуляции на основе двоичной частотной манипуляции. Это обстоятельство обеспечило очень широкое распространение MSK сигналов. Кроме того, на основе MSK была реализована гауссова MSK (GMSK), нашедшая повсеместное применение в стандарте сотовой связи GSM. GMSK модуляцию мы рассмотрим в следующем разделе. Подведем итоги.

В данной статье рассмотрены MSK сигналы как частный случай FSK сигналов с непрерывной фазой (CPFSK) при индексе модуляции равном . Показано, что - минимальный индекс, при котором обеспечивается ортогональность сигналов нуля и единицы. При этом подробно проанализированы квадратурные компоненты комплексной огибающей MSK и приведена структура модулятора MSK на основе OQPSK модуляции. Рассмотрены спектральные характеристики MSK и показано, что ширина главного лепестка спектра MSK минимальна среди всех возможных сигналов с двоичной частотной манипуляцией.