Использование оператора Лапласа для описания электрических цепей переменного тока

Введение
В предыдущем разделе мы рассмотрели выражения для прямого и обратного преобразования Лапласа, а также его некоторые свойства. Мы говорили, что преобразование Лапласа ставит в соответствие вещественному сигналу его образ , который определяет разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент, где  — комплексная переменная.
В данном разделе мы рассмотрим использование аппарата преобразования Лапласа для описания цепей переменного тока, и рассмотрим понятие комплексного сопротивления двухполюсника и передаточной характеристики четырехполюсника . Мы также рассмотрим понятие комплексного коэффициента передачи , а также амплтудно- и фазочастотных характеристик фильтра.
Функции комплексного сопротивления и передаточные характеристики четырехполюсников
Рассмотрим следующий пример (рисунок 1):
Рисунок 1. Замкнутый контур с сосредоточенными элементами
Пусть имеется одиночный замкнутый контур с сосредоточенными элементами: сопротивление (Ом), индуктивность (Гн) и емкость (Ф). В контуре имеется источник электродвижущей силы , который создает в контуре переменный ток . Падение напряжения на элементах цепи , и равно:
(1)
Тогда, согласно закону Кирхгофа, суммарное падение напряжения равно электродвижущей силе :
(2)
Таким образом, для анализа тока , возникающего в контуре необходимо решить интерго-дифференциальное уравнение (2). Это очень трудоемкая задача, и аналитически не всегда возможная. Однако, если мы перейдем к преобразованию Лапласа от правой и левой частей уравнения (2), то получим:
(3)
и (2) можно представить в операторном виде:
(4)
Вынесем образ тока за скобки:
(5)
Таким образом, мы перешли от интегро-дифференциального уравнения к алгебраическому , которое можно трактовать как закон Ома в операторном виде. Здесь  — образ исходной электродвижущей силы ,  — образ тока , а называется комплексным сопротивлением (импедансом), которое полностью характеризует исходную цепь.
Тогда можно заменить рисунок 1 как источник ЭДС , который нагружен на двухполюсник , как это показано на рисунке 2.
Рисунок 2. Замещение контура комплексным сопротивлением
Если мы выведем клеммы с емкости и будем измерять падение напряжения , то в терминах преобразования Лапласа:
(6)
где  — передаточная функция четырехполюсника, как это показано на рисунке 3.
Рисунок 3. Замена четырехполюсника передаточной функцией
В данном примере, передаточная функция  — безразмерная величина, характеризующая отношение образов выходного напряжения к образу исходной ЭДС .
Обратим внимание, что согласно (6), преобразование Лапласа выходного напряжения четырехполюсника равно произведению передаточной функции и преобразования Лапласа исходной ЭДС . Тогда перейдя во временную область, используя свойства преобразования Лапласа , можно заключить, что напряжения на выходе фильтра равно свертке входной ЭДС и обратного преобразования от :
(7)
Характеристика представляет собой обратное преобразование Лапласа от передаточной функции и называется импульсной характеристикой фильтра.
Аналогично для двухполюсника согласно (5), и ток в контуре есть свертка исходной ЭДС и обратного преобразования Лапласа от функции комплексной проводимости :
(8)
Свойства передаточных функций аналоговых четырехполюсников. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики фильтра
Рассмотрим свойства передаточной функции аналогового четырехполюсника на примере показанной на рисунке 3:
(9)
Передаточная функция представляет собой рациональную функцию комплексной переменной c положительными вещественными коэффициентами (номиналы , и положительные вещественные).
Отметим, что любой двухполюсник или четырехполюсник, который состоит из сосредоточенных элементов может быть описан комплексным сопротивлением или передаточной функцией вида [1, стр. 80]:
(10)
с вещественными коэффициентами и .
Из курса теории функций комплексной переменной [2, стр. 33–34] известно, что функции (10) являются аналитическими, и могут быть полностью описаны как:
(11)
где  — нули , т.е. корни полинома числителя , а  — полюсы , т.е. корни полинома знаменателя .
Мы уже отмечали, что сигнал на выходе четырехполюсника описывается сверткой (7) исходного сигнала с импульсной характеристикой фильтра . При этом
(12)
представляет собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики .
Также заметим, что при , , т.е. выражение (12) преобразуется к виду:
(13)
Таким образом, ничто иное, как преобразование Фурье импульсной характеристики , в предположении, что при (данное предположение выполняется в силу принципа причинности, т.е. реакция физической системы не может наступать раньше воздействия).
Полученная характеристика носит название комплексного коэффициента передачи. Величина имеет смысл циклической частоты, а сам комплексный коэффициент передачи характеризует избирательные свойства фильтра с передаточной характеристикой в частотной области.
Коэффициент передачи также является комплексным и может быть представлен в виде:
(14)
где  — амплитудно-частотная характеристика фильтра (АЧХ), представляет собой модуль комлплексного коэффициента передачи, а  — фазочастотная характеристика (ФЧХ), т.е. фаза :
(15)
Комплексную переменную можно отобразить на плоскости, тогда и можно отобразить на 3-мерном графике, как это показано на рисунке 4.
Рисунок 4. 3-мерное представление передаточной характеристики и сечение плоскостями и
На 3-мерном рисунке 4 можно выделить горизонтальную плоскость , в которой можно отобразить нули и полюсы (показаны крестиками), а также вертикальную плоскость , в которой будет располагаться комплексный коэффициент передачи , который можно представить двумерными графиками и , или графиками АЧХ и ФЧХ в соответствии с (15).
Ранее мы уже анализировали цепь, представленную на рисунке 3, и получили для нее выражение передаточной характеристики (9). На рисунке 5 показан 3-мерный график модуля , в зависимости от комплексной переменной . В плоскости крестиками показаны полюсы для номиналов элементов контура  (Ом),  (Гн) и  (Ф).
Рисунок 5. Пример 3-мерного графика
В сечении вертикальной плоскостью имеем АЧХ контура (толстая сплошная линия). Приведенный график наглядно показывает связь частотных характеристик фильтра и его передаточной функции , описываемой расположением полюсов на комплексной плоскости .
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели использование аппарата преобразования Лапласа для описания цепей переменного тока. Мы произвели переход от интегро-дифференциальных уравнений во времени к алгебраическим уравнениям в Лаплас-образах от токов и напряжений в контуре. В результате были введены понятия комплексного сопротивления двухполюсника и передаточной функции четырехполюсника.
Также произведен анализ некоторых свойств передаточных функций аналоговых четырехполюсников, введено понятие амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики фильтра. Особое внимание уделено геометрической трактовке передаточной функции и ее параметров как 3-мерной функции и приведены характеристики фильтра как сечения 3-мерной функции различными плоскостями.
Список литературы
[1] Лэм, Г. Аналоговые и цифровые фильтры Москва, Мир, 1982.

[2] Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной Москва, Наука, 1967.

[3] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа Москва, Наука, 1965.