Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830
Пьер-Симон де Лаплас
1749–1828
Леонард Эйлер
1707–1783

Преобразование Лапласа и его свойства

Содержание

Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент

Ранее мы рассмотрели преобразование Фурье сигнала :

(1)

где  — спектральная плотность сигнала , и  — операторы прямого и обратного преобразования Фурье соответственно.

Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость [1] исходного сигнала сигнала , т.е. сходимость интеграла:

(2)



При рассмотрении преобразования Фурье предполагается, что время  измеряется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Кроме того (2) сужает класс сигналов, для которых существует преобразование Фурье.

С другой стороны, все физические процессы имеют начало, поэтому мы можем считать, что исходный сигнал определён на положительном интервале времени, т.е , при .

Для того, чтобы предотвратить расхождение интеграла (2) умножим входной сигнал на , где  — вещественная величина. Рассмотрим преобразование Фурье полученного сигнала:

(3)



Очевидно, зависит от параметра . Тогда можно трактовать как функцию двух вещественных переменных или как функцию одной комплексной переменной . Обозначив получим:

(4)



Выражение (4) представляет собой разложение по системе затухающих комплексных экспонент , которое носит название преобразования Лапласа, где  — оператор преобразования.

Исходный сигнал называют оригиналом, а  — образом, или изображением оригинала.

Обратное преобразование Лапласа

Обратное преобразование Фурье (3) от имеет вид:

(5)



Умножим левую и правую части (5) на , получим:

(6)



Учтём, что , изменим переменную интегрирования с на :

(7)



При этом верхний и нижний пределы интегрирования равны:



(8)



Окончательно (6) с учётом 7 и (8):

(9)



Выражение (9) определяет обратное преобразование Лапласа, которое обозначается оператором .

Некоторые свойства преобразования Лапласа

Свойство линейности
Пусть сигнал . Тогда преобразование Лапласа :

(10)



Следствием (10) является умножение на константу:

(11)



Свойство подобия (масштабирование по аргументу)
Пусть сигнал имеет образ . Тогда изображение масштабированного во времени сигнала равно:

(12)



Аналогично можно показать [2], что масштабирование образа по аргументу приводит к оригиналу вида:

(13)



Преобразование Лапласа задержанного сигнала
Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала , задержанного во времени на положительную величину .

(14)



Важно отметить, что (14) справедливо, если задержка положительна, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Пример положительной и отрицательной

задержки сигнала


Если же задержка отрицательна, то [2, стр. 40–41]:

(15)



Аналогичное свойство смещения образа:

(16)



Таким образом, смещение образа на произвольное комплексное приводит к умножению сигнала на .

Свойство дифференцирования оригинала и образа
Пусть дан сигнал и его преобразование Лапласа равно . Рассмотрим преобразование Лапласа производной сигнала :

(17)

Применяя правило интегрирования по частям [3, стр. 330]:

(18)

где  — значение сигнала при . Если функция при имеет разрыв, то вместо необходимо брать правый предел :

(19)

при стремлении к нулю справа.

Таким образом, использование аппарата преобразования Лапласа позволяет заменить дифференцирование умножением образа на переменную . Это важнейшее свойство дало возможность перейти от дифференциальных уравнений при анализе цепей переменного тока к алгебраическим и использовать всю мощь аппарата операционного исчисления и теории функций комплексного переменного для синтеза и анализа электрических цепей.

Приведем также выражение для обратного преобразования Лапласа производной образа [4, стр. 224]. Пусть  — образ сигнала . Тогда



(20)

где  — производная -го порядка образа .

Свойство интегрирования оригинала и образа
Пусть сигнал есть результат интегрирования сигнала :

(21)



Рассмотрим преобразование Лапласа от :

(22)



Изменим порядок интегрирования и получим:

(23)



Получили еще одно важнейшее свойство: образ интеграла от входного сигнала равен образу этого сигнала, деленного на переменную . Это свойство также позволяет заменить интегральные уравнения и системы на алгебраические.

Преобразование Лапласа свертки двух сигналов
Пусть сигнал представляет собой свертку двух сигналов и , определяемую соотношением:

(24)



Важность интеграла свертки (24) в том, что им описывается результат прохождения сигнала через линейный фильтр с импульсной характеристикой .

Обратим внимание, что пределы интегрирования от 0 до обусловлены тем, что и отличны от нуля только для положительных значений переменной .

Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала :

(25)



Поменяем местами операции интегрирования, и учтем свойство временного сдвига (14):

(26)



Таким образом, интеграл свертки заменяется произведением образов входного сигнала и образа импульсной характеристики фильтра .

Данное свойство также является очень важным, поскольку анализ многокаскадных фильтров заменяется простым произведением образов импульсных характеристик этих фильтров.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели преобразование Лапласа и его некоторые свойства.

Аппарат операционного исчисления является основным инструментом анализа электрических цепей переменного тока, ввиду возможности замены операций дифференцирования и интегрирования алгебраическим умножением и делением на переменную .

Подробнее использование преобразования Лапласа для анализа цепей переменного тока будет рассмотрено в следующем разделе.

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[3] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[4] Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва, Наука, 1967, 304 с.