Преобразование Лапласа и его свойства
Содержание
|
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на SourceForge
|
Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите
Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент
Ранее мы рассмотрели преобразование Фурье сигнала :
(1)
где
— спектральная плотность сигнала
,
и
— операторы
прямого и обратного преобразования Фурье соответственно.
Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала сигнала , т.е. сходимость интеграла:
(2)
При рассмотрении преобразования Фурье предполагается, что время
измеряется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Кроме того (2) сужает класс сигналов, для которых существует преобразование Фурье.
С другой стороны, все физические процессы имеют начало, поэтому мы можем считать, что исходный сигнал определён на положительном интервале времени, т.е , при .
Для того, чтобы предотвратить расхождение интеграла (2) умножим входной сигнал на , где — вещественная величина.
Рассмотрим преобразование Фурье полученного сигнала:
(3)
Очевидно,
зависит от параметра
. Тогда
можно трактовать как функцию двух вещественных переменных
или как функцию одной комплексной переменной
. Обозначив
получим:
(4)
Выражение (4) представляет собой разложение
по системе затухающих комплексных экспонент
, которое носит название преобразования Лапласа, где
— оператор преобразования.
Исходный сигнал называют оригиналом, а — образом, или изображением оригинала.
Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование Фурье (3) от имеет вид:
(5)
Умножим левую и правую части (5) на
, получим:
(6)
Учтём, что
, изменим переменную интегрирования с
на
:
(7)
При этом верхний и нижний пределы интегрирования равны:
(8)
Окончательно (6) с учётом 7 и (8):
(9)
Выражение (9) определяет обратное преобразование Лапласа, которое обозначается оператором
.
Некоторые свойства преобразования Лапласа
Свойство линейности
Пусть сигнал
. Тогда преобразование Лапласа
:
(10)
Следствием (10) является умножение на константу:
(11)
Свойство подобия (масштабирование по аргументу)
Пусть сигнал
имеет образ
. Тогда изображение масштабированного во времени сигнала
равно:
(12)
Аналогично можно показать , что масштабирование образа по аргументу
приводит к оригиналу вида:
(13)
Преобразование Лапласа задержанного сигнала
Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала
, задержанного во времени на положительную величину
.
(14)
Важно отметить, что (14) справедливо, если задержка
положительна, как это показано на рисунке 1.
Рисунок 1. Пример положительной и отрицательной
задержки сигнала
Если же задержка отрицательна, то :
(15)
Аналогичное свойство смещения образа:
(16)
Таким образом, смещение образа
на произвольное комплексное
приводит к умножению сигнала на
.
Свойство дифференцирования оригинала и образа
Пусть дан сигнал
и его преобразование Лапласа равно
. Рассмотрим преобразование Лапласа производной сигнала
:
(17)
Применяя правило интегрирования по частям :
(18)
где
— значение сигнала при
. Если функция
при
имеет разрыв, то вместо
необходимо брать правый предел
:
(19)
при стремлении
к нулю справа.
Таким образом, использование аппарата преобразования Лапласа позволяет заменить дифференцирование умножением образа на переменную . Это важнейшее свойство дало возможность перейти от дифференциальных уравнений при анализе цепей переменного тока к алгебраическим и использовать всю мощь аппарата операционного исчисления и теории функций комплексного переменного для синтеза и анализа электрических цепей.
Приведем также выражение для обратного преобразования Лапласа производной образа .
Пусть — образ сигнала . Тогда
(20)
где
— производная
-го порядка образа
.
Свойство интегрирования оригинала и образа
Пусть сигнал
есть результат интегрирования сигнала
:
(21)
Рассмотрим преобразование Лапласа
от
:
(22)
Изменим порядок интегрирования и получим:
(23)
Получили еще одно важнейшее свойство: образ интеграла от входного сигнала
равен образу
этого сигнала, деленного на переменную
. Это свойство также позволяет заменить интегральные уравнения и системы на алгебраические.
Преобразование Лапласа свертки двух сигналов
Пусть сигнал
представляет собой свертку двух сигналов
и
, определяемую соотношением:
(24)
Важность интеграла свертки (24) в том, что им описывается результат прохождения сигнала
через линейный фильтр с импульсной характеристикой
.
Обратим внимание, что пределы интегрирования от 0 до обусловлены тем, что и отличны от нуля только для положительных значений переменной .
Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала :
(25)
Поменяем местами операции интегрирования, и учтем свойство временного сдвига (14):
(26)
Таким образом, интеграл свертки заменяется произведением образов
входного сигнала
и образа
импульсной характеристики фильтра
.
Данное свойство также является очень важным, поскольку анализ многокаскадных фильтров заменяется простым произведением образов импульсных характеристик этих фильтров.
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели преобразование Лапласа и его некоторые свойства.
Аппарат операционного исчисления является основным инструментом анализа
электрических цепей переменного тока, ввиду возможности замены операций
дифференцирования и интегрирования алгебраическим умножением и делением
на переменную .
Подробнее использование преобразования Лапласа для анализа цепей
переменного тока будет рассмотрено в следующем разделе.
Информация была полезна? Поделитесь с друзьями!
Facebook
Мой мир
Вконтакте
Одноклассники
Список литературы
[1]
Будак, Б.М., Фомин, С.В.
Кратные интегралы и ряды.
Москва, Наука, 1965, 608 c.
[2]
Дёч, Г.
Руководство по практическому применению преобразования Лапласа.
Москва, Наука, 1965, 288 c.
[3]
Ильин, В.А., Позняк Э.Г.
Основы математического анализа.
Москва, Наука, 1965, 572 c.
[4]
Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н.
Теория функций комплексной переменной.
Москва, Наука, 1967, 304 с.
Последнее изменение страницы: 20.01.2024 (19:26:52)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14