<
Преобразование Лапласа и его некоторые свойства

Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент
Ранее мы рассмотрели преобразование Фурье сигнала :
(1)
где — спектральная плотность сигнала , и — операторы прямого и обратного преобразования Фурье соответственно.
Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость [1 стр. 510, 2 стр. 17] исходного сигнала сигнала , т.е. сходимость интеграла:
(2)
При рассмотрении преобразования Фурье предполагается, что время измеряется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Кроме того, условие (2) сужает класс сигналов, для которых существует преобразование Фурье.
С другой стороны, все физические процессы имеют начало, поэтому мы можем считать, что исходный сигнал определён на положительном интервале времени, т.е , при .
Для того, чтобы предотвратить расхождение интеграла (2), умножим входной сигнал на , где  — вещественная величина. Рассмотрим преобразование Фурье полученного сигнала:
(3)
Очевидно, зависит от параметра . Тогда можно трактовать как функцию двух вещественных переменных , или как функцию одной комплексной переменной . Обозначив получим:
(4)
Выражение (4) представляет собой разложение по системе затухающих комплексных экспонент , которое носит название преобразования Лапласа, где  — оператор преобразования.
Исходный сигнал называют оригиналом, а  — образом, или изображением оригинала.
Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование Фурье (3) имеет вид:
(5)
Умножим левую и правую части (5) на , получим:
(6)
Учтём, что , изменим переменную интегрирования с на :
(7)
При этом верхний и нижний пределы интегрирования равны:
(8)
Окончательно (6) с учётом (7) и (8):
(9)
Выражение (9) определяет обратное преобразование Лапласа, которое обозначается оператором .
Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.
Свойство линейности
Пусть сигнал . Тогда преобразование Лапласа
(10)
Следствием (10) является умножение на константу:
(11)
Свойство подобия (масштабирование по аргументу)
Пусть сигнал имеет образ . Тогда изображение масштабированного во времени сигнала равно:
(12)
Аналогично можно показать [2 стр. 39, 3 стр. 219], что масштабирование образа по аргументу приводит к оригиналу вида:
(13)
Преобразование Лапласа задержанного сигнала
Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала , задержанного во времени на положительную величину .
(14)
Важно отметить, что (14) справедливо, если задержка положительна, как это показано на рисунке 1.
Рисунок 1. Пример положительной и отрицательной задержки сигнала
Если же задержка отрицательна, то [2 стр. 40–41]:
(15)
Аналогичное свойство смещения образа:
(16)
Таким образом, смещение образа на произвольное комплексное приводит к умножению сигнала на .
Свойство дифференцирования оригинала и образа
Пусть дан сигнал и его преобразование Лапласа равно . Рассмотрим преобразование Лапласа производной сигнала :
(17)
Применяя правило интегрирования по частям [4 стр. 330]:
(18)
где — значение сигнала при . Если функция при имеет разрыв, то вместо необходимо брать правый предел :
(19)
при стремлении к нулю справа.
Таким образом, использование аппарата преобразования Лапласа позволяет заменить дифференцирование умножением образа на переменную . Это важнейшее свойство дало возможность перейти от дифференциальных уравнений при анализе цепей переменного тока к алгебраическим, и использовать всю мощь аппарата операционного исчисления и теории функций комплексного переменного для синтеза и анализа электрических цепей.
Приведем также выражение для обратного преобразования Лапласа производной образа [3 стр. 224]. Пусть  — образ сигнала . Тогда
(20)
где  — производная -го порядка образа .
Свойство интегрирования оригинала и образа
Пусть сигнал есть результат интегрирования входного сигнала :
(21)
Рассмотрим преобразование Лапласа от :
(22)
Изменим порядок интегрирования и получим:
(23)
Получили еще одно важнейшее свойство: образ интеграла от входного сигнала равен образу этого сигнала, деленного на переменную . Это свойство также позволяет заменить интегральные уравнения и системы на алгебраические.
Преобразование Лапласа свертки двух сигналов
Пусть сигнал представляет собой свертку двух сигналов и :
(24)
Важность интеграла свертки (24) в том, что им описывается результат прохождения сигнала через линейный фильтр с импульсной характеристикой .
Обратим внимание, что пределы интегрирования от 0 до обусловлены тем, что и отличны от нуля только для положительных значений переменной .
Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала :
(25)
Поменяем местами операции интегрирования, и учтем свойство временного сдвига (14):
(26)
Таким образом, интеграл свертки заменяется произведением образов входного сигнала и образа импульсной характеристики фильтра .
Данное свойство также является очень важным поскольку анализ многокаскадных фильтров заменяется простым произведением образов импульсных характеристик этих фильтров.
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели преобразование Лапласа и его некоторые свойства. Аппарат операционного исчисления является основным инструментом анализа электрических цепей переменного тока, ввиду возможности замены операций дифференцирования и интегрирования алгебраическим умножением и делением на переменную .
Подробнее использование преобразования Лапласа для анализа цепей переменного тока будет рассмотрено в следующем разделе.
Список литературы
[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды Москва, Наука, 1965.

[2] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа Москва, Наука, 1965.

[3] Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной Москва, Наука, 1967.

[4] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа Москва, Наука, 1965.