Цифровой формирователь аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge |
Ранее мы ввели
понятия аналитического сигнала, как
комплексного сигнала вида
(1) |
где – ортогональное дополнение сигнала , вычисляемое при помощи преобразования Гильберта. Мы говорили, что основным свойством аналитического сигнала является отсутствие спектральных составляющих в отрицательной области частот, что достигается при использовании идеального фильтра Гильберта, представляющего собой идеальный фазовращатель. Мы также рассмотрели физически реализуемый КИХ фильтр Гильберта, который вносит амплитудные искажения в исходный сигнал и не обеспечивает полного подавления спектральных составляющих в отрицательной области частот. Также мы рассмотрели цифровой формирователь аналитического сигнала на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ). В данной статье мы рассмотрим цифровой формирователь аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя. Его отличительной особенностью является возможность обеспечения заданного уровня подавления составляющих в отрицательной области частот, возможность применения БИХ фильтров, а также более простая аппаратная реализуемость по сравнению с формирователем на основе БПФ.
Пусть имеется
цифровой сигнал, представленный своими
отсчетами
.
Спектр такого сигнала
– периодическая функция,
с периодом
,
где
– частота дискретизации. Далее мы будем
вести рассмотрение относительно
нормированной частоты
,
тогда сигнал
имеет периодический спектр относительно
нормированной частоты
с периодом
.
Умножим данный сигнал на цифровую
комплексную экспоненту
получим:
(2) |
Обратим внимание, что экспонента имеет нормированную частоту . Спектр комплексной экспоненты представляет собой дельта-импульс на частоте , . В результате умножения на комплексную экспоненту спектр исходного сигнала сдвинется влево как это показано на рисунке 1.
Рисунок 1: Умножение дискретного сигнала на комплексную экспоненту
На верхнем графике рисунка 1 показан амплитудный спектр исходного сигнала (красным выделен один период повторения от 0 до . Синим показан спектр комплексной экспоненты в виде периодических дельта-импульсов. Согласно свойствам преобразования Фурье, умножение на комплексную экспоненту приведет к свертке спектра исходного сигнала и дельта-импульса , который обладает фильтрующим свойством и сдвинет спектр влево (сдвиг показана серыми стрелочками). В результате получим спектр . Амплитудный спектр полученного сигнала показан на нижнем графике рисунка 1, один период также выделен красным. Зеленым цветом на нижнем графике рисунка 1 показана АЧХ полуполосного ФНЧ (half band filter), который имеет частоту среза равную . В результате фильтрации сигнала полуполосным фильтром получим также комплексный сигнал .
Необходимо
сделать замечание. Для фильтрации
комплексного сигнала
необходимо пропустить через фильтр его
реальную
и мнимую
части (смотри выражение (2)).
Амплитудный
спектр
отфильтрованного комплексного сигнала
показан на рисунке 2 верхний график.
Рисунок 2: Умножение отфильтрованного комплексного сигнала на экспоненту
Можно заметить, что полуполосным фильтром оказалась подавлена та часть спектра комплексного сигнала , которая представляла собой отрицательную область частот исходного не сдвинутого по частоте сигнала . Таким образом нам осталось произвести сдвиг спектра полученного комплексного сигнала по частоте на вправо. Для этого надо умножить на комплексную экспоненту , как это показано на нижнем графике рисунка 2. В результате получим спектр аналитического сигнала :
(3) |
Если полуполосный фильтр – идеальный ФНЧ, то , а .
Для физически реализуемых ФНЧ равенство лишь приблизительное. На нижнем графике рисунка 2 зеленым показана эквивалентная АЧХ комплексного фильтра формирователя аналитического сигнала, которая в точности повторяет АЧХ полуполосного ФНЧ, но сдвинута по частоте на вправо. Разумеется для сохранения полной энергии аналитического сигнала необходимо удвоить и , как мы это делали раньше.
Структурная
схема формирователя аналитического
сигнала на основе квадратурного
преобразователя показана на рисунке 3.
Рисунок 3: Формирователь аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя
Входной сигнал умножается на комплексную экспоненту согласно (2), в результате получаются реальная и мнимая части комплексного сигнала . После реальная и мнимая части сигнала
фильтруются полуполосным ФНЧ и на выходе
имеем отфильтрованный сигнал
,
который сдвигается по частоте умножением
на комплексную экспоненту в соответствии
с (3) и
умножается на два.
Основная
задача при формировании аналитического
сигнала – подавление спектральных
составляющих в отрицательной области
частот ложится на полуполосные ФНЧ. При
этом можно использовать как КИХ так и
БИХ фильтры. При использовании БИХ
фильтров мы сможем сэкономить
вычислительные ресурсы, и рассчитать
фильтр исходя из требуемого коридора
АЧХ. Однако использование
физически-реализуемого ФНЧ приведет к
искажениям сигнала в области нижних и
верхних частот, как это показано на
рисунке 4.
Рисунок 4: Искажения при использовании физически реализуемого фильтра
Видно, что реальный ФНЧ обладает неравномерностью в полосе пропускания (в положительной области частот), обладает конечным подавлением в области отрицательных частот, и некоторой переходной полосой, в результате чего сигнал в НЧ и ВЧ областях искажается. Но для практического использования такого формирователя для SSB модуляции при передаче речи, искажения в НЧ и ВЧ областях не играют существенной роли, в то время как использование, например, эллиптических БИХ фильтров позволяет регулировать уровень подавления боковой полосы и неравномерности АЧХ.
Рассмотрим
структурную схему формирователя
аналитического сигнала (рисунок 3)
более внимательно. Во первых обратим
внимание на то что для всех целых
значения
и
могут принимать только значения 0 1 и –1
(смотри рисунок 6).
Таким образом можно заключить, что все
умножения в структуре формирователя
представленной на рисунке 3
– тривиальные, заключающиеся только в
изменении знака.
Также заметим,
что
(4) |
т.е. множители синуса могут быть получены из отсчетов косинуса, задержанных на один или три отсчета. Тогда структурную схему формирователя можно представить как это показано на рисунке 5.
Рисунок 5: Измененная структурная схема формирователя аналитического сигнала
На рисунке синим показаны ветви соответствующие
,
которые задерживаются на 1 отсчет
превращаются в синусы
(зеленые ветви), а задержка на 2 отсчета
инвертирует синус. Наглядно это
проиллюстрировано на рисунке 6.
Рисунок 6: Тривиальные множители схемы формирователя
При
этом обратим внимание, что каждый второй
отсчет
и
равен нулю, тогда можно записать:
(5) |
Аналогично после фильтрации можно записать:
(6) |
Таким образом, все умножения могут быть заменены переиндексацией отсчетов и изменением их знака. Приведенная структура требует только умножения для осуществления фильтрации, что делает ее привлекательной как для программной реализации, так и для аппаратной на базе FPGA.
Для экспериментальной
проверки возьмем тот же гауссов
радиоимпульс, что и при моделировании
преобразования Гильберта:
(7) |
Возьмем отсчетов данного сигнала с частотой дискретизации . В качестве полуполосного ФНЧ был выбран эллиптический БИХ фильтр с неравномерностью в полосе пропускания 0.5 дБ и уровнем подавления в полосе заграждения 60 дБ. На рисунке 7 показан квадрат модуля спектра полученного аналитического сигнала (красный график), а также квадрат модуля АЧХ полуполосного фильтра, сдвинутый по частоте на вправо (зеленый график). Из рисунка 7 видно, что составляющая в отрицательной области частот подавлена фильтром на 60 дБ. На рисунке 8 показаны реальная и мнимая части аналитического сигнала на выходе формирователя.
Рисунок
7: Спектр аналитического сигнала и
АЧХ полуполосного фильтра
|
Рисунок
8: Аналитический сигнал
на выходе формирователя
|
Анализируя рисунок 8 можно заметить, что сигнал сдвинут относительно ввиду задержки вносимой ФНЧ, но поскольку используется один фильтр для обоих каналов и (смотри рисунок 5), то задержка будет одинаковой и сигналы и остаются взаимно почти ортогональны (слово почти употребляется ввиду того что реальный ФНЧ не обеспечивает бесконечного подавления в отрицательной области).
Необходимо сделать важное замечание. Использование полуполосного БИХ фильтра приведет к фазовым искажениям как исходного сигнала , так и его ортогонального дополнения . Поэтому БИХ фильтр можно применять только в том случае, если фазовые искажения сигнала допустимы. К счастью, человеческое ухо слабо чувствительно к фазовым искажениям сигнала, поэтому применение БИХ фильтров при формировании аналитического сигнала в SSB радиосвязи вполне допустимо.
В данной статье мы рассмотрели вопрос формирования аналитического сигнала на основе квадратурного преобразователя. Мы показали, что такая структура реализуется при помощи полуполосных ФНЧ, выполняющих роль формирователей аналитического сигнала и двух квадратурных преобразований: сначала сигнал сдвигается по частоте для фильтрации, а затем возвращается на исходную частоту. Полученная структура позволяет использовать только тривиальные умножения (за исключением умножений на коэффициенты фильтра), и реализуется программно только переиндексацией отсчетов. В этом смысле быстродействие такого формирователя полностью зависит от порядка используемых ФНЧ. Приведен пример расчета аналитического сигнала при использовании рассматриваемой структуры формирователя.