Спектральные плотности некоторых сигналов
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge |
Рассмотрим спектральную плотность прямоугольного импульса длительности и амплитуды . Функция описывает прямоугольный импульс длительности и единичной амплитуды:
Спектральная плотность прямоугольного импульса равна:
- Спектральная плотность является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса .
- Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
- носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
- Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна , ввиду разрыва первого рода (скачка) сигнала во временно́й области.
Рассмотрим треугольный импульс длительности и амплитуды :
Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.
Можно заметить, что треугольный импульс длительности и амплитуды может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса длительности и амплитуды c самим собой, как это показано на рисунке 3.
Обратим внимание, что один из углов маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала , входящего в интеграл свертки.
Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения сигнала и его сдвинутой инверсной во времени копии .
Таким образом, мы можем применить свойство преобразования Фурье свертки сигналов и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности прямоугольного импульса длительности и амплитуды :
- Спектральная плотность треугольного импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
- Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
- носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
- Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна . Это выше, чем скорость убывания боковых лепестков прямоугольного импульса, ввиду отсутствия разрывов сигнала во временно́й области.
- Главный лепесток спектральной плотности в два раза шире, чем главный лепесток спектральной плотности прямоугольного импульса при той же длительности .
Гауссов импульс задается выражением:
График гауссова импульса при различном значении и показан на рисунке 4а.
Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:
График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра показан на рисунке 4б. C увеличением увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.
Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс , который задается выражением:
Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра приводит к сужению импульса во временно́й области.
Рассмотрим спектральную плотность двустороннего экспоненциального импульса:
- Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
- Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
- носит затухающий характер.
- Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием излома во временно́й области при .
На рисунке 5б показан вид спектральной плотности при различном значении . Можно видеть, что при увеличении параметра , спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).
Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:
Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:
- Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , ввиду отсутствия временно́й симметрии импульса.
- Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
- носит затухающий характер.
- Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием разрыва во временной области при .
Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , то можно представить в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:
Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида , где — параметр определяющий ширину главного лепестка функции , как это показано на рисунке 8а.
Для получения спектральной плотности сигнала воспользуемся свойством двойственности преобразования Фурье, рассмотренным в в предыдущем параграфе. Тогда из выражения (2) можно записать:
Важным частным случаем является , тогда будет иметь спектральную плотность , что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.
В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса, а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.
Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов