Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830
Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле
1805–1859
Леонард Эйлер
1707–1783

Спектральные плотности некоторых сигналов

Содержание

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Рассмотрим спектральную плотность прямоугольного импульса длительности и амплитуды :

(1)

Графически прямоугольный импульс показан на рисунке 1а.

Рисунок 1. Спектральная плотность прямоугольного импульса

а — временной сигнал; б — спектральная плотность


Спектральная плотность прямоугольного импульса (1) равна:

(2)

где . График спектральной плотности прямоугольного импульса показан на рисунке 1б. Приведем основные частотные свойства .
  • Спектральная плотность является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса..
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
  • Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна , ввиду наличия скачка сигнала во временной области.


Спектральная плотность треугольного импульса

Рассмотрим треугольный импульс длительности и амплитуды :

(3)



Графически прямоугольный импульс показан на рисунке 2а.

Рисунок 2. Спектральная плотность треугольного импульса

а — временной сигнал; б — спектральная плотность


Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.

Можно заметить, что треугольный импульс длительности и амплитуды может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса длительность и амплитуды c самим собой, как это показано на рисунке 3

Рисунок 3. Треугольный импульс как результат

свертки прямоугольных импульсов


Обратим внимание, что один из углов маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала . Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения сигнала и его сдвинутой инверсной во времени копии .

Таким образом мы можем применить свойство преобразования Фурье свертки сигналов и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности прямоугольного импульса :

(4)

Графически спектральная плотность треугольного импульса показана на рисунке 2б. Приведем основные частотные свойства .
  • Спектральная плотность треугольного импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
  • Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна . Это выше, чем скорость убывания боковых лепестков прямоугольного импульса, ввиду отсутствия разрывов сигнала во временной области при .
  • Главный лепесток спектральной плотности в два раза шире, чем главный лепесток спектральной плотности прямоугольного импульса при той же длительности .


Спектральная плотность гауссова импульса

Гауссов импульс задается выражением:

(5)

где  — амплитуда импульса, а  — положительный параметр, который задает ширину импульса.

График гауссова импульса при различном значении показан на рисунке 4а.

Рисунок 4. Спектральная плотность гауссова импульса

а — временной сигнал; б — спектральная плотность


Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:

(6)



Преобразуем показатель экспоненты (6) следующим образом:

(7)



Тогда (6) с учетом (7)

(8)



Из курса математического анализа известно [1, стр. 401], что:

(9)

Введем в выражении (8) замену переменной , тогда , пределы интегрирования остаются неизменными при положительном значении . Тогда (8) можно представить как:

(10)

и с учетом (9) окончательно можно записать:

(11)



Можно заметить, что временно́й гауссов импульс имеет спектральную плотность , которая также описывается гауссовской функцией.

График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра показан на рисунке 4б. C увеличением параметра увеличивается ширина гауссова импульса во временной области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.

Спектральная плотность экспоненциального импульса

Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс , который задается выражением:

(12)

где  — амплитуда импульса, а  — положительный параметр, который задает ширину импульса. График двустороннего экспоненциального импульса при различном значении параметра показан на рисунке 5а.

Рисунок 5. Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса

а — временной сигнал; б — спектральная плотность
Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра приводит к сужению импульса во временной области.

Рассмотрим спектральную плотность двустороннего экспоненциального импульса:

(13)

Разобьем ось времени на положительную и отрицательную полуоси, и учтем что для отрицательной полуоси времени. Тогда (13) можно записать:

(14)

Объединим показатели экспонент в обоих интегралах и получим:

(15)



Таким образом, спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса (12) представляет собой вещественную функцию частоты, обладающую следующими свойствами.
  • Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий характер.
  • Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна . Это обусловлено наличием разрыва во временной области при .


На рисунке 5б показан вид спектральной плотности при различном значении . Можно видеть, что при увеличении параметра , спектральная плотность сужается (импульс во временной области —расширяется).

Рисунок 6. Односторонний экспоненциальный импульс
Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:

(16)



Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:



(17)



Приведем основные частотные свойства одностороннего экспоненциального импульса:
  • Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , ввиду отсутствия временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий характер.
  • Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна . Это обусловлено наличием разрыва во временной области при .


АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса можно записать в виде:

(18)



На рисунке 7 показаны АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса для различных значения параметра .

Рисунок 7. АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса

а — АЧХ; б — ФЧХ

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[3] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[4] Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6