Дельта-функция Дирака и ее свойства

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Вводные замечания
Дельта-функция Дирака
Свойства дельта-функции Дирака
Преобразование Фурье дельта-функции Дирака
Выводы
Список литературы

Вводные замечания

При рассмотрении преобразования Фурье мы говорили, что условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала :

(1)
Данное ограничение существенно сужает класс функций, для которых может быть вычислено преобразование Фурье. Так например, постоянный сигнал , или гармоническое колебание , не являются абсолютно-интегрируемыми, поэтому мы не можем получить их спектральные плотности в рамках классической теории. Однако приведенные сигналы имеют огромное практическое значение и оставление их за бортом аппарата спектрального анализа являлось бы существенным тормозом развития радиотехники.

К счастью, в первой половине XX века в теоретической физике произошли большие перемены. Появилась теории относительности и квантовой механики, которые потребовали переосмыслить понятие функции в целом. В результате была разработана теория обобщенных функций, которые расширили область применения методов математического анализа, устранили некоторые неопределенности в физике, а также расширили применимость методов спектрального анализа на функции, для которых условие абсолютной интегрируемости не выполняется. Кроме того, использование аппарата обобщенных функций позволило сформулировать и обосновать переход от аналоговых непрерывных сигналов и систем к дискретным и цифровым.

Математическую теорию обобщенных функций можно найти в литературе [1, 2, 3]. Нас будет особенно интересовать дельта-функция Дирака, свойства которой позволяют распространить преобразование Фурье на случай неинтегрируемых сигналов, а также находят широкое применение в теории обработки сигналов.

Дельта-функция Дирака

Рассмотрим прямоугольный импульс длительности :

(2)
Тогда при нормировке амплитуды импульса к длительности , получим прямоугольный импульс , площадь которого равна единице при любом конечном значении :
(3)

Семейство сигналов показано на рисунке 1 пунктирными и сплошной линиями для различного значения длительность .

Если мы устремим длительность импульса к нулю, то прямоугольный импульс перейдет в так называемую сингулярную функцию :

(4)
которая также показана на рисунке 1. При этом свойство единичной площади
(5)
будет сохраняться и для функции (4).

Рисунок 1
Рисунок 1. Прямоугольный импульс единичной площади
Обратим внимание, что в (4) и на рисунке 1 использовалось обозначение  вместо бесконечности. Это сделано специально, чтобы подчеркнуть (5). Если умножить на произвольную константу , то можно записать: .

Впервые функция одновременно обладающая свойствами (4) и (5) была использована Полем Дираком [4, стр. 84–88], поэтому мы будем называть данную функцию дельта-функция Дирака.

Очевидно, что выражения (4) и (5) противоречат классическим определениям функции и интеграла, поэтому дельта-функция Дирака  описывается в классе обобщенных функций. Использование данной функции внутри линейного интегрального оператора: интеграла свертки, скалярного произведения, или интеграла Фурье, открывает определенные возможности для анализа.

Свойства дельта-функции Дирака

Чётность

Из выражения (2) и рисунка 1 можно заметить, что прямоугольный импульс является четной функцией времени. Тогда и дельта-функция Дирака также четная, т.е. .

Свойство скалярного произведения

Рассмотрим скалярное произведение некоторого непрерывного сигнала  и дельта-функции Дирака :
(6)
Подставим в (6) предел (4):
(7)

Представим интеграл (7) по определению Римана [5, стр. 301–302] в виде предела суммы площадей прямоугольных импульсов длительности , как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2
Рисунок 2. Интегрирование по Риману
Тогда выражение (7) можно представить как:
(8)

Заметим, что отличен от нуля только для . В результате, от суммы (8) останется только одно слагаемое, соответствующее :

(9)

Мы получили важнейшее свойство дельта-функции Дирака: скалярное произведение сигнала и возвращает значение сигнала при .

Фильтрующее свойство дельта-функции

Рассмотрим скалярное произведение и сдвинутой на дельта-функции :
(10)

Введем замену переменной , тогда , , пределы интегрирования не меняются, и выражение (10) принимает вид:

(11)

Выражение (11) является следствием свойства скалярного произведения и называется фильтрующим свойством дельта-функции [6, стр. 29]. Благодаря именно фильтрующему свойству, дельта-функция получила широкое распространение при описании дискретных систем.

Заметим, что равна нулю везде, за исключением . Тогда бесконечные пределы интегрирования (11) могут быть изменены на любой конечный интервал в окрестности , включающий данную точку:

(12)

Свертка с дельта-функцией

Рассмотрим интеграл свертки некоторого сигнала и дельта-функции :
(13)
В силу четности дельта-функции, а также используя фильтрующее свойство можно представить (13) в виде:
(14)

Таким образом, свертка с дельта-функцией не искажает и не задерживает сигнал. Выражение (14) называют динамическим представлением сигнала [6, стр. 29].

Если мы вспомним, что интеграл свертки описывает реакцию некоторого линейного фильтра на входной сигнал , то можно сделать вывод, что представляет собой импульсную характеристику идеального бесконечно короткого проводника, который никак не искажает сигнал. Сдвинутая на дельта-функция  описывает импульсную характеристику идеального элемента задержки на .

Размерность дельта-функцией

Рассматривая выражения (4) и (5) можно заметить, что размерность дельта функции обратна размерности ее аргумента. Так если аргумент функции описывает время и имеет размерность секунд, то размерность равна . Это легко проверить из выражения (5):
(15)

Аналогично, если дельта-функция описывает поведение в частотной области, и имеет аргумент размерности , то дельта-функция в этом случае будет иметь размерность .

Интегрирование дельта-функции

Подадим на вход интегратора дельта-функцию и рассмотрим выходной сигнал:
(16)

При в интервал интегрирования дельта-функция не попадает, поэтому можно сделать вывод, что при . Если , то дельта-функция попадает в интервал интегрирования и для всех . При получаем:

(17)

Таким образом, окончательно можно записать в виде:

(18)

Функция вида (18) называется функцией включения, или функцией Хевисайда [6, стр. 25]. График показан на рисунке 3.

Рисунок 3
Рисунок 3. Интегрирование дельта-функции

Интегрирование сдвинутой во времени дельта-функции возвращает сдвинутую во времени функцию Хевисайда:

(19)

Тогда можно заметить, что представляет собой безразмерную функцию, которая описывает импульсную характеристику идеального интегратора. Действительно, свертка сигнала  с функцией Хевисайда имеет вид:

(20)
Поменяем порядок интегрирования, и применим свойство свертки с дельта-функцией. Тогда:
(21)

Рисунок 4
Рисунок 4. Прямоугольный импульс как сумма функций Хевисайда

Таким образом мы показали, что представляет собой импульсную характеристику интегратора.

С другой стороны, использование аппарата обобщенных функций позволяет задать производную функции в точке разрыва , которая не существует в классическом понимании производной. Так, можно определить, что .

Используя взаимосвязь функции Хевисайда и дельта-функции можно определить производные некоторых негладких функций в точке разрыва. Например производную прямоугольно импульса единичной площади можно записать при помощи дельта-функций, если представить прямоугольный импульс в виде суммы двух функций Хевисайда как это показано на рисунке 4.

Тогда производная прямоугольного импульса равна:

(22)

Дифференцирование дельта-функции Дирака

Аппарат обобщенных функций позволяет определить производную разрывных функций в точке разрыва. Но что еще более интересно, так это то, что мы можем использовать аппарат обобщенных функций для получения производной самой дельта-функции. Производную дельта-функции  можно определить по аналогии с дельта-функцией как предел производной прямоугольного импульса единичной площади :
(23)

Поменяем местами оператор предела и дифференцирования, а также учтем (22):

(24)

Из (24) следует, что производная дельта-функции является нечетной функцией, т.е. .

Скалярное произведение сигнала и производной дельта-функции равно:

(25)

Интегрирование ведется по переменной , тогда предел по параметру можно вынести из под интеграла:

(26)

Можно заметить, что предел в выражении (26) ничто иное, как значение производной при . Таким образом можно заключить, что скалярное произведение исходной функции и производной дельта-функции возвращает значение производной исходной функции при , взятое с отрицательным знаком:

(27)

Соответственно скалярное произведение сдвинутой на производной дельта-функции и исходного сигнала возвращает :

(28)
а свертка исходного сигнала с производной , с учетом нечетности последней, имеет вид:
(29)

Таким образом, производная дельта-функции описывает импульсную характеристику идеального дифференциатора.

По аналогии можно определить производную дельта-функции произвольного порядка . Скалярное произведение сигнала и производной дельта-функции порядка равно:

(30)
Выражение (30) легко доказывается, применяя правило интегрирования по частям.

Преобразование Фурье дельта-функции Дирака

Рассмотрим преобразование Фурье дельта-функции Дирака:

(31)
Используем фильтрующее свойство дельта-функции и получим:
(32)

Таким образом, спектральная плотность дельта-функции Дирака равна единицы для всех частот, как это показано на рисунке 5б.

Рисунок 5
Рисунок 5. Представление дельта-функции:
а — во временно́й области; б — спектральная плотность

Вспомним, что преобразование Фурье возвращает спектральную плотность, чья размерность равна размерности входного сигнала, деленную на единицу полосы. В случае преобразования Фурье дельта-функции получаем, что имеет размерность , т.е. является безразмерной величиной.

Также заметим, что спектральная плотность дельта-функции Дирака не убывает с ростом частоты , в отличии от спектральных плотностей абсолютно-интегрируемых сигналов, рассмотренных выше.

Чтобы понять этот эффект, необходимо снова обратиться к предельному переходу (4), и рассмотрим преобразование Фурье от левой и правой частей (4):

(33)

Вынесем оператор предела из под оператора преобразования Фурье (мы можем это делать ввиду свойства линейности преобразования Фурье), а также вспомним выражение для преобразования Фурье прямоугольного импульса рассмотренное в предыдущем разделе.

Тогда (33) принимает вид:

(34)

Таким образом, спектральная плотность дельта-функции получается как предел функции , при стремящимся к нулю. На рисунке 6 показаны функции при устремлении параметра к нулю.

Рисунок 6
Рисунок 6. Функции при устремлении параметра к нулю

Из рисунка 6 видно, что при уменьшении параметра главный лепесток функции расширяется, и в пределе, при , главный лепесток становится бесконечно широким, а спектральная плотность дельта-функции постоянной для всех частот.

Выводы

В данном разделе мы ввели понятие обобщенной дельта-функции Дирака, и рассмотрели ее некоторые свойтсва.

Также была показана связь дельта-функции Дирака и функции Хевисайда, а также показана возможность применения дельта-функции для задач дифференцирования негладких функций.

Мы рассмотрели понятие производной дельта-функции и некторые ее свойства.

Также было рассмотрено преобразование Фурье дельта-функции и показано, что не убывает с ростом частоты.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы

[1] Дирак, П.А.М. Принципы квантовой механики Москва, Наука, 1979, 480 c.

[2] Гельфанд, И.М. and Шилов, Г.Е. Обощенные функции и действия над ними. Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1959, 472 c.

[3] Владимиров С.В. Обобщенные функции в математической физике. Москва

[4] Дирак, П.А.М. Принципы квантовой механики Москва, Наука, 1979, 480 c.

[5] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[6] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[7] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[8] Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6