Дельта-функция Дирака и ее свойства
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge |
При рассмотрении преобразования Фурье мы говорили, что условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала :
К счастью, в первой половине XX века в теоретической физике произошли большие перемены. Появилась теории относительности и квантовой механики, которые потребовали переосмыслить понятие функции в целом. В результате была разработана теория обобщенных функций, которые расширили область применения методов математического анализа, устранили некоторые неопределенности в физике, а также расширили применимость методов спектрального анализа на функции, для которых условие абсолютной интегрируемости не выполняется. Кроме того, использование аппарата обобщенных функций позволило сформулировать и обосновать переход от аналоговых непрерывных сигналов и систем к дискретным и цифровым.
Математическую теорию обобщенных функций можно найти в литературе [1, 2, 3, 4]. Нас будет особенно интересовать дельта-функция Дирака, свойства которой позволяют распространить преобразование Фурье на случай неинтегрируемых сигналов, а также находят широкое применение в теории обработки сигналов.
Семейство сигналов показано на рисунке 1 пунктирными и сплошной линиями для различного значения длительность .
Если мы устремим длительность импульса к нулю, то прямоугольный импульс перейдет в так называемую сингулярную функцию :
Впервые функция одновременно обладающая свойствами (4) и (5) была использована Полем Дираком [1, стр. 84–88], поэтому мы будем называть данную функцию дельта-функция Дирака.
Очевидно, что выражения (4) и (5) противоречат классическим определениям функции и интеграла, поэтому дельта-функция Дирака описывается в классе обобщенных функций. Использование данной функции внутри линейного интегрального оператора: интеграла свертки, скалярного произведения, или интеграла Фурье, открывает определенные возможности для анализа.
Представим интеграл (7) по определению Римана [5, стр. 301–302] в виде предела суммы площадей прямоугольных импульсов длительности , как это показано на рисунке 2.
Заметим, что отличен от нуля только для . В результате, от суммы (8) останется только одно слагаемое, соответствующее :
Мы получили важнейшее свойство дельта-функции Дирака: скалярное произведение сигнала и возвращает значение сигнала при .
Введем замену переменной , тогда , , пределы интегрирования не меняются, и выражение (10) принимает вид:
Выражение (11) является следствием свойства скалярного произведения и называется фильтрующим свойством дельта-функции [6, стр. 29]. Благодаря именно фильтрующему свойству, дельта-функция получила широкое распространение при описании дискретных систем.
Заметим, что равна нулю везде, за исключением . Тогда бесконечные пределы интегрирования (11) могут быть изменены на любой конечный интервал в окрестности , включающий данную точку:
Таким образом, свертка с дельта-функцией не искажает и не задерживает сигнал. Выражение (14) называют динамическим представлением сигнала [6, стр. 29].
Если мы вспомним, что интеграл свертки описывает реакцию некоторого линейного фильтра на входной сигнал , то можно сделать вывод, что представляет собой импульсную характеристику идеального бесконечно короткого проводника, который никак не искажает сигнал. Сдвинутая на дельта-функция описывает импульсную характеристику идеального элемента задержки на .
При в интервал интегрирования дельта-функция не попадает, поэтому можно сделать вывод, что при . Если , то дельта-функция попадает в интервал интегрирования и для всех . При получаем:
Функция вида (18) называется функцией включения, или функцией Хевисайда [6, стр. 25]. График показан на рисунке 3.
Интегрирование сдвинутой во времени дельта-функции возвращает сдвинутую во времени функцию Хевисайда:
Тогда можно заметить, что представляет собой безразмерную функцию, которая описывает импульсную характеристику идеального интегратора. Действительно, свертка сигнала с функцией Хевисайда имеет вид:
Таким образом мы показали, что представляет собой импульсную характеристику интегратора.
С другой стороны, использование аппарата обобщенных функций позволяет задать производную функции в точке разрыва , которая не существует в классическом понимании производной. Так, можно определить, что .
Используя взаимосвязь функции Хевисайда и дельта-функции можно определить производные некоторых негладких функций в точке разрыва. Например производную прямоугольно импульса единичной площади можно записать при помощи дельта-функций, если представить прямоугольный импульс в виде суммы двух функций Хевисайда как это показано на рисунке 4.
Тогда производная прямоугольного импульса равна:
Скалярное произведение сигнала и производной дельта-функции равно:
Соответственно скалярное произведение сдвинутой на производной дельта-функции и исходного сигнала возвращает :
По аналогии можно определить производную дельта-функции произвольного порядка . Скалярное произведение сигнала и производной дельта-функции порядка равно:
Рассмотрим преобразование Фурье дельта-функции Дирака:
Вспомним, что преобразование Фурье возвращает спектральную плотность, чья размерность равна размерности входного сигнала, деленную на единицу полосы. В случае преобразования Фурье дельта-функции получаем, что имеет размерность , т.е. является безразмерной величиной.
Также заметим, что спектральная плотность дельта-функции Дирака не убывает с ростом частоты , в отличии от спектральных плотностей абсолютно-интегрируемых сигналов, рассмотренных выше.
Чтобы понять этот эффект, необходимо снова обратиться к предельному переходу (4), и рассмотрим преобразование Фурье от левой и правой частей (4):
Тогда (33) принимает вид:
Из рисунка 6 видно, что при уменьшении параметра главный лепесток функции расширяется, и в пределе, при , главный лепесток становится бесконечно широким, а спектральная плотность дельта-функции постоянной для всех частот.
В данном разделе мы ввели понятие обобщенной дельта-функции Дирака, и рассмотрели ее некоторые свойтсва.
Также была показана связь дельта-функции Дирака и функции Хевисайда, а также показана возможность применения дельта-функции для задач дифференцирования негладких функций.
Мы рассмотрели понятие производной дельта-функции и некторые ее свойства.
Также было рассмотрено преобразование Фурье дельта-функции и показано, что не убывает с ростом частоты.
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов