Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830
Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле
1805–1859
Леонард Эйлер
1707–1783

Преобразование Фурье непериодических сигналов

Содержание

Введение

Использование периодических функций для представления периодических сигналов выглядит вполне логичным и позволяет перевести анализ периодических сигналов в частотную область, заменив сигнал как функцию времени набором спектральных гармоник . Таким образом происходит замена сигнала как функции времени, набором спектральных гармоник путем разложения периодического сигнала в ряд Фурье:
(1)
где  — спектр периодического сигнала ,  — период повторения сигнала.
Подход основанный на представлении периодических сигналов в частотной области (1) оказался настолько удобным, что встал вопрос: а можем ли мы получить представление непериодических функций посредством разложения по системе периодических комплексных экспонент?
В данном разделе мы произведем переход от ряда Фурье (1) к интегральному преобразованию Фурье для непериодических сигналов .

Предельный переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье

Для начала рассмотрим, что будет происходить, если мы будем увеличивать период повторения периодического сигнала. На рисунке 1 показаны временные осциллограммы периодической последовательности прямоугольных импульсов , а также амплитудный спектр , при различном периоде повторения с, с и с.
Рисунок 1. Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при увеличении периода повторения
Из рисунка 1 видно, что при увеличении периода , гармоники спектра приближаются друг к другу, потому что расстояние между гармониками обратно пропорционально периоду . Амплитуды гармоник при этом уменьшаются из-за уменьшения средней мощности сигнала на одном периоде повторения.
При увеличении периода повторения до бесконечности, периодический сигнал становится непериодическим, потому что на любом ограниченном интервале времени может быть только один импульс, расстояние между гармониками уменьшатся до нуля (дискретные гармоники сольются в одну сплошную линию), а амплитуды гармоник уменьшатся до бесконечно-малых значений.
Подставим в уравнение (1) для сигнала выражение для коэффициентов ряда Фурье :
(2)
Непериодический сигнал можно получить как предельный переход периодического сигнала (2) при стремящимся к бесконечности:
(3)
Тогда
(4)
переходит в бесконечно-малое приращение частоты,
(5)
и (3) с учетом (4) и (5):
(6)
Сумма бесконечно-малых площадей, где  — основание прямоугольника переходит в интеграл, а переходит в непрерывную переменную :
(7)
Окончательно из выражения (7) можно выделить пару интегральных преобразований Фурье для непериодического сигнала
(8)
(9)
Уравнение (8) определяет прямое преобразование Фурье непериодического сигнала. Прямое преобразование Фурье обозначается оператором , ставит в соответствие сигналу непрерывную функцию частоты , которая носит название спектральной плотности сигнала .
Выражение (9) представляет собой обратное преобразование Фурье, которое обозначается оператором позволяет восстановить сигнал по его спектральной плотности .
В терминах частоты , выраженной в Гц, с учетом , уравнения (8) и (9) принимают вид:
(10)
(11)

Некоторые пояснения понятия спектральной плотности сигнала

Часто спектральную плотность непериодического сигала называют спектром, что не совсем корректно, потому что не определяет конечные амплитуды гармоник сигнала, как это было при разложении периодического сигнала в ряд Фурье, а задает распределение мощности сигнала по оси частот. Для пояснения отличия понятия спектра периодического сигнала от спектральной плотности непериодического сигнала рассмотрим следующую аналогию.
Пусть имеется стержень длины метров, единичной площади , который состоит из сегментов сплава меди и алюминия в различных пропорциях, как это показано на рисунке 2.
Рисунок 2. Стрежень состоящий из сегментов сплава меди и алюминия в различных пропорциях
Каждый сегмент имеет постоянную плотность , где , но различные сегменты имеют различную плотность. Масса стержня может быть представлена как сумма масс всех сегментов:
(12)
где  — конечные массы отдельных сегментов.
Также как стержень в приведенном примере состоит из отдельных сегментов конечных масс, так и периодический сигнал состоит из суммы дискретных гармоник конечной амплитуды, в соответствии с рядом Фурье.
Предположим теперь, что такой же стержень состоит не из сегментов, а представляет собой непрерывно-меняющийся по длине сплав меди и алюминия, как это показано на рисунке 3.
Рисунок 3. Стрежень состоящий из непрерывного по длине сплава меди и алюминия
Плотность такого стержня уменьшается по длине, и мы не можем выделить интервала постоянной плотности. Тогда массу такого стержня мы не можем представить как сумму дискретных масс, а только как интеграл плотности по длине стержня:
(13)
Другими словами, конечная масса состоит из бесконечного числа бесконечно-малых масс . Размерность плотности при постоянной площади стержня можно выразить в единицах кг/м.
Аналогично, спектральная плотность непериодического сигнала есть непрерывная функция частоты . При этом каждой бесконечно-малой полосе соответствует амплитуда , по аналогии бесконечно-малых масс из которых состоит полная масса стержня.
Единица измерения плотности в приведенном примере кг/м, тогда единица измерения равна Вc/рад если характеризует изменение напряжения, выраженное в Вольт. Таким образом, размерность спектральной плотности непериодического сигнала отличается от размерности спектра периодического сигнала и эти два термина нельзя отождествлять.

Условия существования преобразования Фурье

Мы осуществили передельный переход от периодического сигнала к непериодическому при устремлении периода повторения к бесконечности. При увеличении периода длительность сигнала не увеличивалась. Это можно видеть на рисунке 1, длительность импульса остается постоянной при увеличении периода повторения .
Таким образом мы можем утверждать, что преобразование Фурье (8) и (9) существует для всех ограниченных во времени сигналов , для которых выполняется условие Дирихле.
Представим теперь, что сигнал не является ограниченным, но является затухающим во времени настолько быстро, что выполняется условие:
(14)
Говорят, что  — абсолютно интегрируемая функция времени [1, стр. 510], если выполняется (14).
Рисунок 4. График функции
В качестве примера абсолютно интегрируемой функции можно привести , график которой показан на рисунке 4. Поскольку затухает достаточно быстро, то всегда найдется такое конечное , при котором ошибка представления в виде ряда Фурье функции на интервале (при отбрасывании «затухающих хвостов») будет меньше любой конечной величины. Другими словами, «затухающие хвосты» с ростом периода будут оказывать исчезающе слабое влияние.
Таким образом, функция может быть бесконечной, но носить затухающий характер и при соблюдении условия (14) абсолютной интегрируемости функции мы можем использовать преобразование Фурье для расчета спектральной плотности сигнала .
Можно заметить, что всякий ограниченный во времени сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле также является абсолютно-интегрируемым.
Приведенные рассуждения не являются строгим математическим доказательством условий существования преобразования Фурье, а скорее дают интуитивно-понятное разъяснение (14). Строгое доказательство условий (14) можно найти [2, стр. 199] или в [1, стр. 511].

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели предельных переход от периодического сигнала к непериодическому и получили выражения для прямого и обратного интегрального преобразования Фурье.
Мы отметили, что в отличии от спектра периодических сигналов, преобразование Фурье непериодического сигнала возвращает спектральную плотность сигнала, выраженную в единицах измерения сигнала, деленного на частоту. Были даны необходимые пояснения к понятию спектральной плотности. Также были рассмотрены условия существования преобразования Фурье.
В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965.

[2] Воробьев Н.Н. Теория рядов. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

[3] Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Высшая школа, 2000.

[4] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Сов. радио, 1977.

[5] Folland G.B. Fourier Analysis and its Applications Belmont, Wadsworth& Brooks, 1992.