Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье

Введение
В предыдущем разделе было рассмотрено разложение периодических сигналов в ряд Фурье. Были приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также было введено понятие спектра периодического сигнала. Было показано, что спектр периодического сигнала представляет собой дискретную (линейчатую) функцию определенную на сетке частот
В данном разделе мы рассмотрим некоторые свойства спектров периодических сигналов. Как мы увидим позже, аналогичными свойствами обладают и преобразование Фурье непериодических сигналов, а также дискретное преобразование Фурье.
Свойство линейности
Пусть имеются два периодических сигнала и с равными периодами повторения причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены рядом Фурье с коэффициентами разложения и где Везде далее в этом разделе мы будем считать сигналы и периодическими с равными периодами повторения причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле. Тогда сигнал также является периодическим сигналом с периодом и он также может быть представлен рядом Фурье с коэффициентами:
(1)
(1)
Таким образом, спектр суммы периодических сигналов равен сумме их спектров.
Следствием свойства линейности является свойство умножения на константу. Спектр сигнала , равен:
(2)
(2)



Свойство циклического временного сдвига
Рассмотрим сигнал как результат циклического временного сдвига сигнала на величину . Циклический временной сдвиг показан на рисунке 1 для положительных и отрицательных значений

Рисунок 1. Циклический временной сдвиг периодического сигнала
Спектр сигнала с циклическим временным сдвигом равен:
(3)
(3)
Таким образом, временной сдвиг периодического сигнал на величину приводит к умножению спектра на фазовый множитель .
Спектр циклической свертки сигналов
Пусть сигнал представляет собой периодическую свертку сигналов и
(4)
(4)
Тогда сигнал также представляет собой периодический сигнал с периодом и его спектр равен:
(5)
(5)
В выражении (5) использовалось рассмотренное выше свойство циклического временного сдвига.
Таким образом, спектр периодического сигнала (4) пропорционален произведению спектров и сигналов и . Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки сигналов в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов, произведением их спектров.
Спектр произведения сигналов
Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и Сигнал также представляет собой периодический сигнал с периодом и его спектр равен:
(6)
(6)
Подставим в (6) вместо сигнала его разложение в ряд Фурье:
(7)
(7)
Поменяем в (7) операции интегрирования и суммирования и получим:
(8)
(8)
Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен линейной свертке спектров этих сигналов.



Симметрия спектра вещественного сигнала
Пусть представляет собой вещественный периодический сигнал. Рассмотрим подробнее его спектр:
(9)
(9)
Амплитудный и фазовый спектр вещественного сигнала равен:
(10)
(10)
Анализируя выражение (10), можно обратить внимание, что т.е. амплитудный спектр вещественного периодического сигнала всегда симметричен относительно нулевой частоты, а фазовый спектр – антисимметричен.
Если же периодический сигнал комплексный, то симметрия спектра сигнала нарушается, что будет показано в следующем параграфе.
Свойство частотного сдвига
Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и комплексной экспоненты с частотой где произвольное целое число. Выбор частоты обеспечивает периодичность сигнала поскольку на одном периоде укладывается целое число оборотов комплексной экспоненты Таким образом, сигнал удовлетворяет условиям Дирихле, и его спектр равен:
(11)
(11)
Умножение сигнала на комплексную экспоненту переносит спектр сигнала на частоту При этом сигнал становится комплексным, а его спектр – несимметричным относительно нулевой частоты.
На рисунке 2 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении на комплексную экспоненту при рад/c (5 Гц).

Рисунок 2. Пример частотного сдвига периодической последовательности прямоугольных импульсов при умножении на комплексную экспоненту.
Из рисунка 2 можно видеть, что спектр смещенного по частоте сигнала есть смещенная на частоту копия спектра При этом важно отметить, что сам сигнал стал комплексным (на графике показана отдельно реальная и мнимая части сигнала), его амплитудный спектр при этом перестал быть симметричным, а фазовый – антисимметричным относительно нулевой частоты.
Рассмотрим теперь умножение сигнала не на комплексную экспоненту, а на гармоническое колебание где – произвольное целое число, произвольная начальная фаза. В этом случае мы также сохраняем периодичность сигнала и его спектр равен:
(12)
(12)
Таким образом, умножение сигнала на гармоническое колебание приводит к смещению спектра на частоты как в положительную, так и в отрицательную области частот, уменьшению амплитуды в положительной и отрицательной областях в два раза и добавлению фазового множителя. При этом заметим, что вещественный сигнал остается вещественным с симметричным амплитудным спектром.
На рисунке 3 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении на при рад/c (5 Гц), и рад.

Рисунок 3. Пример частотного сдвига периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Из рисунка 3 можно видеть, что спектр смещенного по частоте сигнала есть сумма смещенных на частоты спектров половинной амплитуды.



Равенство Парсеваля
Пусть имеется периодический сигнал , который представляет собой изменяющееся во времени значение тока или напряжения. Рассмотрим среднюю мощность выделяемую на сопротивлении 1 Ом сигналом
(13)
(13)
где сигнал, комплексно-сопряженный Подставим в (13) выражения ряда Фурье в комплексной форме:
(14)
(14)
Нетрудно показать, что для любых целых и интеграл в выражении (14) равен:
(15)
(15)
С учетом (15) в выражении (14) от двойной суммы остаются только члены при и (14) преобразуется к виду:
(16)
(16)
Приравнивая (16) и (13), получаем равенство Парсеваля, связывающее среднюю мощность периодического сигнала во временной и частотных областях:
(17)
(17)
Из (17) следует, что средняя мощность, выделяемая на сопротивлении 1 Ом за один период повторения сигнала равна сумме квадратов модулей спектральных составляющих этого сигнала.
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства спектров периодических сигналов: линейность, свойства временного и частотного сдвигов, спектр свертки и произведения сигналов. Мы также проанализировали свойство симметрии спектра вещественного сигнала и получили, что амплитудный спектр периодического сигнала является симметричным, а фазовый спектр – антисимметричным относительно нулевой частоты. Ну и наконец, мы рассмотрели равенство Парсеваля, которое устанавливает соотношение средней мощности сигнала во временной и частотной областях.
В следующем разделе мы проанализируем разложение непериодических сигналов по системе комплексных экспонент и получим непрерывное преобразование Фурье.



Список литературы
[1] Воробьев Н.Н. Теория рядов. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

[2] Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Высшая школа, 2000.

[3] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Сов. радио, 1977.

[4] Folland G.B. Fourier Analysis and its Applications Belmont, Wadsworth& Brooks, 1992.