Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье

Содержание
Введение
В предыдущем разделе было рассмотрено разложение периодических сигналов в ряд Фурье. Были приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также было введено понятие спектра периодического сигнала. Было показано, что спектр периодического сигнала представляет собой дискретную (линейчатую) функцию $S(\omega_n),$ определенную на сетке частот $\omega_n = \frac{2\pi}{T}\cdot n,$ $n =0, \pm 1, \pm 2, \ldots$
В данном разделе мы рассмотрим некоторые свойства спектров периодических сигналов. Как мы увидим позже, аналогичными свойствами обладают и преобразование Фурье непериодических сигналов, а также дискретное преобразование Фурье.
Свойство линейности
Пусть имеются два периодических сигнала $a(t)$ и $b(t)$, с равными периодами повторения $T,$ причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены рядом Фурье с коэффициентами разложения $A_n = A(\omega_n)$ и $B_n = B(\omega_n),$ где $\omega_n = \frac{2\pi}{T} \cdot n,$ $n = 0, \pm1, \pm2 , \ldots.$ Везде далее в этом разделе мы будем считать сигналы $a(t)$ и $b(t)$ периодическими с равными периодами повторения $T,$ причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле. Тогда сигнал $s(t) = a(t) + b(t)$ также является периодическим сигналом с периодом $T$ и он также может быть представлен рядом Фурье с коэффициентами:
$$ S_n = S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \big( a(t)+ b(t)\big) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \\ =\frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt + \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b(t) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = A(\omega_n) + B(\omega_n). $$
(1)
Таким образом, спектр суммы периодических сигналов равен сумме их спектров.
Следствием свойства линейности является свойство умножения на константу. Спектр сигнала $s(t) = \alpha \cdot a(t) $, $\alpha = \textrm{const}$ равен:
$$ S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \alpha \cdot a(t) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \\ =\alpha \cdot \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \alpha \cdot A(\omega_n). $$
(2)
Свойство циклического временного сдвига
Рассмотрим сигнал $s(t)$ как результат циклического временного сдвига сигнала $a(t)$ на величину $\tau$. Циклический временной сдвиг показан на рисунке 1 для положительных и отрицательных значений $\tau.$

Рисунок 1. Циклический временной сдвиг периодического сигнала $a(t)$
Спектр $S(\omega_n)$ сигнала $s(t)$ с циклическим временным сдвигом равен:
$$ S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t - \tau) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \left| \begin{matrix} t - \tau = x; \\ t = x + \tau; \\ dx = dt. \end{matrix} \right| = \\ =\frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(x) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot (x + \tau)\big) dx = \\ =\exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot \tau \big) \cdot \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(x) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot x \big) dx = \\ = A(\omega_n) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot \tau \big). $$
(3)
Таким образом, временной сдвиг периодического сигнал на величину $\tau$ приводит к умножению спектра на фазовый множитель $\exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot \tau \big)$.
Спектр циклической свертки сигналов
Пусть сигнал $s(t)$ представляет собой периодическую свертку сигналов $a(t)$ и $b(t):$
$$ s(t) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(\tau) \cdot b(t-\tau) d\tau. $$
(4)
Тогда сигнал $s(t)$ также представляет собой периодический сигнал с периодом $T$ и его спектр равен:
$$ S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(\tau) \cdot b(t-\tau) d\tau \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \\ \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(\tau) \cdot \underbrace{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b(t-\tau) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt}_{T \cdot B(\omega_n)\cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot \tau \big)} d\tau = \\ = T \cdot B(\omega_n) \cdot \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(\tau) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot \tau \big) d\tau = T \cdot B(\omega_n) \cdot A(\omega_n). $$
(5)
В выражении (5) использовалось рассмотренное выше свойство циклического временного сдвига.
Таким образом, спектр $S(\omega_n)$ периодического сигнала $s(t),$ который представляет собой циклическую свертку периодических сигналов $a(t)$ и $b(t)$ равен произведению спектров этих сигналов, умноженных на период повторения $T.$ Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки сигналов в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов, произведением их спектров.
Спектр произведения сигналов
Пусть сигнал $s(t) = a(t) \cdot b(t)$ представляет собой произведение сигналов $a(t)$ и $b(t).$ Сигнал $s(t)$ также представляет собой периодический сигнал с периодом $T$ и его спектр равен:
$$ S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot b(t) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt. $$
(6)
Подставим в (6) вместо сигнала $a(t)$ его разложение в ряд Фурье:
$$ S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left(\sum_{k = -\infty}^{\infty} A(\omega_k) \cdot \exp \big( j \cdot \omega_k \cdot t\big)\right) \cdot b(t) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt. $$
(7)
Поменяем в (7) операции интегрирования и суммирования и получим:
$$ S(\omega_n) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} A(\omega_k) \cdot \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \exp \big( j \cdot \omega_k \cdot t\big) \cdot b(t) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \\ = \sum_{k = -\infty}^{\infty} A(\omega_k) \cdot \underbrace{\frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b(t) \cdot \exp \big( - j \cdot (\omega_n - \omega_k) \cdot t\big) dt}_{B(\omega_n - \omega_k)} = \sum_{k = -\infty}^{\infty} A(\omega_k) \cdot B(\omega_n - \omega_k). $$
(8)
Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен линейной свертке спектров этих сигналов.
Симметрия спектра вещественного сигнала
Пусть $s(t)$ представляет собой вещественный периодический сигнал. Рассмотрим подробнее его спектр:
$$ S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) \cdot \exp \big( -j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \\ \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) \cdot \cos \big(\omega_n \cdot t\big) dt - j \cdot \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) \cdot \sin \big(\omega_n \cdot t\big) dt. $$
(9)
Амплитудный и фазовый спектр вещественного сигнала равен:
$$ \big| S(\omega_n) \big| = \sqrt{ \Bigg[\frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) \cdot \cos \big(\omega_n \cdot t\big) dt \Bigg]^2 + \Bigg[\frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) \cdot \sin \big(\omega_n \cdot t\big) dt \Bigg]^2};\\ {} \\ {} \\ \Phi_S(\omega_n) = \arctan \left( \displaystyle {\frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) \cdot \sin \big(\omega_n \cdot t\big) dt}\over \displaystyle {\frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) \cdot \cos \big(\omega_n \cdot t\big) dt}\right). $$
(10)
Анализируя выражение (10) можно обратить внимание, что $\big| S(\omega_n) \big| = \big| S(-\omega_n) \big|,$ т.е. амплитудный спектр вещественного периодического сигнала всегда симметричен относительно нулевой частоты, а фазовый спектр $\Phi_S(\omega_n) = - \Phi_S(\omega_n)$ антисимметричен.
Если же периодический сигнал $s(t) = \Re[s(t)] + j \cdot \Im[s(t)] - $ комплексный, то симметрия спектра сигнала нарушается, что будет показано в следующем параграфе.
Свойство частотного сдвига
Пусть сигнал $s(t) = a(t) \cdot \exp(j \cdot \omega_0 \cdot t)$ представляет собой произведение сигналов $a(t)$ и комплексной экспоненты с частотой $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\cdot k,$ где $k-$произвольное целое число. Выбор частоты $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\cdot k$ обеспечивает периодичность сигнала $s(t),$ поскольку на одном периоде $T$ укладывается целое число оборотов комплексной экспоненты $\exp(j \cdot \omega_0 \cdot t).$ Таким образом сигнал $s(t)$ удовлетворяет условиям Дирихле и его спектр равен:
$$ S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot \exp \big( j \cdot \omega_0 \cdot t\big) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \\ = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot \exp \big( - j \cdot (\omega_n - \omega_0) \cdot t\big) dt = A(\omega_n - \omega_0). $$
(11)
Умножение сигнала на комплексную экспоненту $\exp(j \cdot \omega_0 \cdot t)$ переносит спектр сигнала на частоту $\omega_0.$ При этом сигнал $s(t)$ становится комплексным, а его спектр несимметричным относительно нулевой частоты.
На рисунке 2 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении $a(t)$ на на комплексную экспоненту $\exp(j \cdot \omega_0 \cdot t)$ при $\omega_0 = 10\pi$ рад/c (5 Гц).

Рисунок 2. Пример частотного сдвига периодической последовательности прямоугольных импульсов при умножении на комплексную экспоненту.
Из рисунка 2 можно видеть, что спектр $S(w_n)$ смещенного по частоте сигнала $s(t) = a(t) \cdot \exp(j \cdot \omega_0 \cdot t)$ есть смещенная на частоту $\omega_0$ копия спектра $A(\omega_n).$ При этом важно отметить, что сам сигнал $s(t)$ стал комплексным (на графике показана отдельно реальная $\Re\big[s(t)\big]$ и мнимая $\Im\big[s(t)\big]$ части сигнала), его амплитудный спектр при этом перестал быть симметричным, а фазовый – антисимметричными относительно нулевой частоты.
Рассмотрим теперь умножение сигнала $a(t)$ не на комплексную экспоненту, а на гармоническое колебание $\cos(\omega_0 \cdot t + \varphi_0),$ где $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\cdot k,$ $k-$произвольное целое число, $\varphi_0-$ произвольная начальная фаза. В этом случае мы также сохраняем периодичность сигнала $s(t) = a(t) \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$ и его спектр равен:
$$ S(\omega_n) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot \cos \big( \omega_0 \cdot t + \varphi_0 \big) \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \\ = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot \frac{\exp \big( j \cdot \left[\omega_0 \cdot t + \varphi_0 \right] \big) + \exp \big( -j \cdot \left[\omega_0 \cdot t + \varphi_0\right] \big)}{2} \cdot \exp \big( - j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt = \\ = \frac{1}{2 \cdot T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot \exp \big( -j \cdot \left[(\omega_n - \omega_0) \cdot t - \varphi_0 \right]\big) dt + \frac{1}{2 \cdot T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a(t) \cdot \exp \big( -j \cdot \left[(\omega_n + \omega_0) \cdot t + \varphi_0 \right]\big) dt=\\ = \frac{1}{2} \cdot A(\omega_n - \omega_0) \cdot \exp \big( j \cdot \varphi_0 \big) + \frac{1}{2} \cdot A(\omega_n + \omega_0) \cdot \exp \big( -j \cdot \varphi_0 \big). $$
(12)
Таким образом, умножение сигнала на гармоническое колебание приводит к смещению спектра на частоты $\pm\omega_0$ как в положительную, так и в отрицательную области частот, уменьшение амплитуды в положительной и отрицательной области в два раза и добавление фазового множителя. При этом заметим, что вещественный сигнал остается вещественным с симметричным амплитудным спектром.
На рисунке 3 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении $a(t)$ на $\cos(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$ при $\omega_0 = 10\pi$ рад/c (5 Гц), и $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$ рад.

Рисунок 3. Пример частотного сдвига периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Из рисунка 3 можно видеть, что спектр $S(w_n)$ смещенного по частоте сигнала $s(t)$ есть сумма смещенных на частоты $\pm \omega_0$ спектров $A(\omega_n)$ половинной амплитуды.
Равенство Парсеваля
Пусть имеется периодический сигнал $s(t)$, который представляет собой изменяющееся во времени значение тока или напряжения. Рассмотрим среднюю мощность $P_{\textrm{cp}}$ выделяемую на сопротивлении 1 Ом сигналом $s(t):$
$$ P_{\textrm{cp}} = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} |s(t)|^2 dt = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) \cdot s^{*}(t) dt, $$
(13)
где $s^{*}(t) -$ сигнал, комплексно-сопряженный $s(t).$ Подставим в (13) выражения ряда Фурье в комплексной форме:
$$ P_{\textrm{cp}} = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left(\sum_{k = -\infty}^{\infty} S(\omega_k) \cdot \exp \big( j \cdot \omega_k \cdot t\big)\right) \cdot \left(\sum_{n = -\infty}^{\infty} S(\omega_n) \cdot \exp \big( j \cdot \omega_n \cdot t\big)\right)^{*} dt = \\ = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left(\sum_{k = -\infty}^{\infty} S(\omega_k) \cdot \exp \big( j \cdot \omega_k \cdot t\big)\right) \cdot \left(\sum_{n = -\infty}^{\infty} S^{*}(\omega_n) \cdot \exp \big( -j \cdot \omega_n \cdot t\big)\right) dt =\\ =\sum_{k = -\infty}^{\infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} S(\omega_k) \cdot S^{*}(\omega_n) \cdot \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \exp \big( j \cdot \omega_k \cdot t\big) \cdot \exp \big( -j \cdot \omega_n \cdot t\big) dt =\\ =\sum_{k = -\infty}^{\infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} S(\omega_k) \cdot S^{*}(\omega_n) \cdot \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \exp \big( j \cdot (\omega_k - \omega_n) \cdot t\big) dt =\\ =\sum_{k = -\infty}^{\infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} S(\omega_k) \cdot S^{*}(\omega_n) \cdot \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \exp \left( j \cdot \left(\frac{2\pi}{T} \cdot k - \frac{2\pi}{T} \cdot n \right) \cdot t\right) dt =\\ =\sum_{k = -\infty}^{\infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} S(\omega_k) \cdot S^{*}(\omega_n) \cdot \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \exp \left( j \cdot \frac{2\pi}{T} \cdot (k - n) \cdot t\right) dt. $$
(14)
Нетрудно показать, что для любых целых $n$ и $k,$ интеграл в выражении (14) равен:
$$ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \exp \left( j \cdot \frac{2\pi}{T} \cdot (k - n) \cdot t\right) dt = \begin{cases} T, & \text{если $n=k$}; \\ 0, & \text{если $n \neq k$}. \end{cases} $$
(15)
С учетом (15),в выражении (14) от двойной суммы остаются только члены при $n=k$ и (14) преобразуется к виду:
$$ P_{\textrm{cp}} = \sum_{n = -\infty}^{\infty} S(\omega_n) \cdot S^{*}(\omega_n) \cdot \frac{1}{T} \cdot T = \sum_{n = -\infty}^{\infty} |S(\omega_n)|^2. $$
(16)
Приравнивая (16) и (13) получаем равенство Парсеваля, связывающее среднюю мощность периодического сигнала во временной и частотных областях:
$$ \frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} |s(t)|^2 dt = \sum_{n = -\infty}^{\infty} |S(\omega_n)|^2. $$
(17)
Из (17) следует, что средняя мощность, выделяемая на сопротивлении 1 Ом за один период повторения сигнала $s(t)$ равна сумме квадратов модулей спектральных составляющих этого сигнала.
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства спектров периодических сигналов: линейность, свойства временного и частотного сдвигов, спектр свертки и произведения сигналов. Мы также проанализировали свойство симметрии спектра вещественного сигнала и получили, что амплитудный спектр периодического сигнала является симметричным, а фазовый спектр антисимметричен относительно нулевой частоты. Ну и наконец мы рассмотрели равенство Парсеваля, которое устанавливает соотношение средней мощности сигнала во временной и частотной областях.
В следующем разделе мы проанализируем разложение непериодических сигналов по системе комплексных экспонент и получим непрерывное преобразование Фурье.
Список литературы
[1] Воробьев Н.Н. Теория рядов. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

[2] Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Высшая школа, 2000.

[3] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Сов. радио, 1977.

[4] Folland G.B. Fourier Analysis and its Applications Belmont, Wadsworth& Brooks, 1992.


Oбнаружили ошибку в тексте? Выделите ее мышкой и нажмите