Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Введение
В предыдущих разделах мы рассмотрели разложение периодических сигналов в ряд Фурье, а также изучили некоторые свойства представления периодических сигналов рядом Фурье. Мы говорили, что периодические сигналы можно представить как ряд комплексных экспонент, отстоящих друг от друга на частоту рад/c, где – период повторения сигнала. В результате мы можем трактовать представление сигнала в виде ряда комплексных гармоник как комплексный спектр сигнала, который может быть разделен на амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала.
В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.
Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Единицы измерения амплитуды сигнала могут быть произвольными, в зависимости от того физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, измеряемое в Вольтах, сила тока в Амперах, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.
Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:
(1)
(1)
Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов представляет собой множество гармоник с огибающей вида .
Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов
Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:
(2)
(2)
Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя:
(3)
(3)
где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.
Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.
Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:
(4)
(4)
Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше , тогда решением уравнения будет
(5)
(5)
откуда
(6)
(6)
тогда огибающая обращается в ноль если
(7)
(7)
На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (красная кривая) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра (синий график). Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр .
Рисунок 2. Cпектра периодической последовательности прямоугольных импульсов
Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .
Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов
Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3 показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (синим цветом), а также непрерывные огибающие спектров (красным цветом).
Рисунок 3. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
при различном значении скважности
Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (красная кривая). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра , показанных синим цветом.
Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов
Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4.
Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Смещенный сигнал можно представить как сигнал , задержанный на половину длительности импульса . Спектр смещенного сигнала можно представить согласно свойству циклического временного сдвига как:
(8)
(8)
Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель . Амплитудный и фазовый спектры показаны на рисунке 5.
Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов
Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.
Выводы
В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.
Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.
Список литературы
[1] Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Высшая школа, 2000.

[2] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Сов. радио, 1977.

[3] Folland G.B. Fourier Analysis and its Applications Belmont, Wadsworth& Brooks, 1992.