Преобразование Лапласа дискретного сигнала. Z-преобразование. Разностное уравнение дискретного фильтра

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите ctrl+enter

Введение

В предыдущих разделах мы подробно рассмотрели расчет аналоговых фильтров с заданными характеристиками. Пришло время переходить к анализу цифровых фильтров. Необходимо разделить понятия дискретного и цифрового фильтра.

Дискретным мы будем называть фильтр, импульсная характеристика которого является дискретной, а коэффициенты передаточной функции рассчитаны точно без ошибок округления.

Под цифровым фильтром мы будем понимать дискретный фильтр, коэффициенты передаточной характеристики которого рассчитаны не точно, а с ошибками округления вызванными конечной разрядностью представления числа.

На практике все рассчитанные фильтры являются цифровыми, так как разрядность представления числа ограничена. Однако использование компьютера позволяет производить операции с 64-битными числами с плавающей точкой, что минимизирует ошибки округления, поэтому можно предполагать, что рассчитанные с такой разрядностью фильтры «почти дискретные».

Важно понимать, что если есть устойчивый дискретный фильтр, то округление его коэффициентов (даже самое незначительное) может привести к неустойчивому цифровому фильтру. Поэтому при расчете фильтров, особенно фильтров высокого порядка всегда необходимо проверять их устойчивость.

Дискретные сигналы. Преобразование Лапласа дискретного сигнала

В цифровых системах сигналы представляют собой последовательности отсчетов, взятые, как правило, через равные промежутки времени . Рассмотрим дискретный сигнал :

(1)

Графически процесс дискретизации сигнала показан на рисунке 1.

Рисунок 1
Рисунок 1. Графическое представление дискретного сигнала

Рассмотрим преобразование Лапласа от дискретного сигнала которое равно:

(2)

При выводе (2) мы использовали фильтрующее свойство дельта-функции. Выражение (2) носит название дискретного преобразования Лапласа [1, стр 148].

Важное замечание. Если , то получаем дискретно-временное преобразование Фурье дискретного сигнала, при этом является периодической функцией частоты с периодом , кроме того, если , то

(3)

Это нетрудно доказать, подставив в выражение (2) , тогда получим:

(4)

Другими словами дискретное преобразование Лапласа на комплексной плоскости периодично по мнимой оси. Это наглядно показано на рисунке 2 для образа непрерывного сигнала и дискретного сигнала .

Кружочками условно показаны нули образа , а крестиками —полюсы.

Рисунок 2
Рисунок 2. Карта нулей и полюсов для непрерывного и дискретного преобразования Лапласа

Важно отметить, что периодичность дискретного преобразования Лапласа соответствует периодичности преобразования Фурье дискретного сигнала . Однако, как мы знаем из теории дискретного преобразования Фурье, на каждом периоде повторения спектр дискретного сигнала может быть искажен эффектом алиасинга, т.е. наложением «хвостов» исходной спектральной плотности из высших зон Найквиста (заполненная точками область на карте нулей и полюсов образа ).

В случае дискретного преобразования Лапласа эффект алиасинга сохраняется, и периодический образ на каждом периоде отличается от исходного образа . Так например мы можем наблюдать алиасинг полюсов из высших зон Найквиста при неверном выборе частоты дискретизации. Если все полюсы исходного образа попадают в первую зону Найквиста, то при дискретизации они периодически разможатся, как это показано на рисунке 2. При этом положение нулей дискретного преобразования Лапласа , как правило отличается от положения нулей исходного образа в результате эффекта алиасинга.

Фильтрация дискретного сигнала. Дискретный фильтр

Рассмотрим процесс фильтрации дискретного сигнала . Согласно свойству преобразования Лапласа, процесс фильтрации во временно́й области сводится к умножению образа исходного сигнала на передаточную характеристику фильтра , которая в свою очередь, представляет преобразование Лапласа импульсной характеристики фильтра . Тогда преобразование Лапласа сигнала на выходе фильтра можно записать:

(5)

Рассмотрим три случая:

Первый случай.  — образ дискретного сигнала, удовлетворяет (3), а  — передаточная характеристика непрерывного фильтра, и свойство (3) не выполняется, значит также не удовлетворяето (3). Тогда можно сделать вывод о том, что при прохождении дискретного сигнала через аналоговый фильтр, выходной сигнал получается аналоговым. Аналоговый фильтр производит восстановление непрерывного сигнала по имеющемуся дискретному.

Второй случай.  — образ дискретного сигнала, удовлетворяет  (3), а  — передаточная характеристика фильтра, которая также удовлетворяет (3) (импульсная характеристика фильтра является дискретной), причем интервалы дискретизации сигнала и фильтра одинаковые и равны . Тогда в результате произведения также удовлетворяет (3). Таким образом, при прохождении дискретного сигнала через дискретный фильтр, выходной сигнал получается дискретным, с той же частотой дискретизации.

Третий случай. и  удовлетворяют (3), но интервал дискретизации сигнала равен , а интервал дискретизации импульсной характеристики фильтра (исходный сигнал и и имульсная характеристика фильтра дискретизированы с разной частотой). В этом случае , в частных случаях, может удовлетворять (3), но период дискретизации выходного сигнала , будет равен «наименьшему обещему кратному» периодов и . Заметим, что термин <наименьшее общее кратное» взят в кавычк, потому что и могут быть вещественными числами, в том числе и иррациональными. Тогда понимается как вещественное число, которое делится нацело как на , так и на . Например, если , а , то . Данный случай является экзотикой, и на практике не встречается.

Основное правило — для дискретных и цифровых фильтров интервалы дискретизации сигнала и фильтра должны быть равны.

Таким образом, для того чтобы на выходе фильтра получить дискретный сигнал, необходимо чтобы импульсная характеристика фильтра также была дискретной, а значит передаточная характеристика дискретного фильтра может быть представлена как :

(6)

На практике данная сумма может содержать как конечное, так и бесконечное количество коэффициентов .

Если у дискретного фильтра количество коэффициентов ограничено, то такой фильтр называют фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром)[1], а если количество коэффициентов бесконечно, то такой фильтр называют фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр)[2].

-преобразование

При переходе от аналогового фильтра к цифровому, происходит периодическое размножение передаточной характеристики вдоль оси . При этом, переменная в образах дискретного преобразования Лапласа всегда присутствует только в показателе экспоненты, для обеспечения периодичности передаточных характеристик дискретных систем [1, стр 155].

В результате периодизации также происходит периодическое размножение нулей и полюсов, что доставляет некоторые неудобства. Для облегчения анализа вводят переменную вида:

(7)

В результате введение переменной происходит отображение комплексной -плоскости в -плоскость, и дискретное преобразование Лапласа переходит в -преобразование:

(8)
где  — оператор -преобразования. Заметим, что при , мы можем оперировать только индексами дискретного времени .

Поскольку

(9)
то все бесконечные периодические повторения нулей и полюсов дискретного фильтра в плоскости преобразуются в одну точку в плоскости .

Рассмотрим подробнее свойства этого отображения.

Отображение не является комфорным, потому что множество точек плоскости отображается в одну точку плоскости .

Если , где , то для всех этих точек .

Если чисто вещественно, то и также вещественное, причем . Заметим, что при , , а при величина .

При , мнимая ось плоскости отображается в точку , расположенную на единичной окружности и повернутой на угол рад. Таким образом, вся мнимая ось плоскости отображается в единичную окружность плоскости .

Левая полуплоскость комплексной плоскости отображается внутрь единичной окружности плоскости . Действительно если , то представляет вектор длины повернутый на угол рад. При , длина вектора .

Правая полуплоскость комплексной плоскости отображается вне единичной окружности плоскости .

Графически отображение -плоскости в комплексную -плоскость показано на рисунке 3.

Рисунок 3
Рисунок 3. Отображение комплексной -плоскости в компелексную -плоскость

При переходе из комплексной -плоскости в комплексную -плоскость все бесконечно-повторяющиеся нули и полюса дискретного фильтра в -плоскости отображаются в конечное количество нулей и полюсов в -плоскости. Тогда выражение для передаточной характеристики дискретного фильтра может быть представлено при помощи подстановки (7) через конечное количество нулей и полюсов в -плоскости как:

(10)
где и  — отображение нулей и полюсов дискретного фильтра в -плоскости, а и  — коэффициенты дискретного фильтра, полученные путем раскрытия произведений нулей и полюсов и приведении подобных слагаемых.

Таким образом, главный вывод, который мы должны сделать заключается в следующем: при переходе от аналогового фильтра к дискретному, образ по Лапласу становится периодическим по мнимой оси, а количество нулей и полюсов фильтра бесконечным. Но при переходе в комплексную –плоскость мы получаем снова конечное количество нулей и полюсов, и соответственно конечное количество коэффициентов дискретного фильтра.

Свойства -преобразования

Рассмотрим некоторые свойства -преобразования.

Линейность. -образ суммы двух сигналов равен сумме -образов этих сигналов. Действительно, пусть есть два дискретных сигнала и , . Найдем -преобразование их суммы :

(11)

Свойство задержки. Пусть дан исходный дискретный сигнал , . Найдем -преобразование сигнала , задержанного на отсчетов:

(12)

При выводе (12) была введена переменная , тогда , индекс суммирования изменили с на и учли, что при . В результате задержка исходного сигнала на отсчетов добавляет множитель к -преобразованию сигнала.

Задержка на один отсчет соответствует умножению образа на . Данное обозначение широко используется для обозначения элемента задержки на один отсчет в цифровых устройствах.

Теорема о циклическая свертке. Пусть дано два сигнала ограниченной длительности и , . Найдем -преобразование их циклическая свертки :

(13)

При выводе было использовано свойство задержки -преобразования. Таким образом циклическая свертка сигналов соответствует произведению их -образов.

Разностное уравнение дискретного фильтра

Ранее мы говорили о том, что пассивные аналоговые цепи описываются интегро-дифференциальными уравнениями непрерывного времени . При этом математический аппарат преобразования Лапласа позволяет перейти к алгебраическим уравнениям комплексной переменной при описании характеристик комплексных сопротивлений двухполюсников и передаточных функций четырехполюсников.

Ограничение количества пассивных элементов аналогового фильтра приводит к ограничению порядков интегро-дифференциальных уравнений и, соответсвенно, полиномов переменной при описании передаточных характеристик.

Прохождение сигнала через аналоговый фильтр описывается интегралом свертки входного сигнала и непрерывной импульсной характеристики , которая в свою очередь не может иметь произвольную форму при ограничении порядка аналогового фильтра, потому что является результатом решения интегро-дифференциальных уравнений ограниченного порядка.

Дискретные системы в, свою очередь, описываются разностными уравнениями дискретного времени . По аналогии с аналоговыми фильтрами, мы не можем требововать бесконечных порядков разностных уравнений, потому что это потеребует бесконечных вычислительных ресурсов. Таким образом, мы должны ограничить порядки разностных уравнений, которые связывают выходной сигнал дискретного фильтра с входным сигналом , а также со значениями выходного сигнала в на предыдущих тактах .

Таким образом, общее разностное уравнение линейного цифрового фильтра имеет вид:

(14)

В выражении (14) коэффициенты задают связь выхода фильтра от последних отсчетов входного сигнала , коэффициенты определят связь выходного сигнала от значений выхода фильтра в предыдущие тактов.

Рассмотрим -преобразования разностного уравнения (14). Тогда -образ выходного сигнала равен:

(15)

Вторую сумму (15) можно перенести в левую часть уравнения:

(16)
откуда отношение -образов выходного и входного сигналов равно:
(17)

Функция является передаточной характеристикой цифрового фильтра, задаваемого разностным уравнением (14).

Рекурсивные (БИХ) и нерекурсивные (КИХ) фильтры

Согласно разностному уравнению дискретного фильтра (14) очередной выходной отсчет рассчитывается на основе предыдущих выходных отсчетов. Таким образом получается рекурсия и фильтр называется рекурсивным или фильтром с бесконечной импульсной характеристикой.

Рассмотрим пример. Пусть имеется БИХ-фильтр первого порядка с передаточной функцией:

(18)
Очевидно, что и .

Разностное уравнение данного фильтра с передаточной характеристикой (18) имеет вид:

(19)

Рассчитаем импульсную характеристику данного фильтра. Для этого необходимо подать на вход сигнал дельта-импульс вида:

(20)

Заметим, что цифровой дельта-импульс отличается от обобщенной дельта-функции значением в нуле. Цифровой дельта-импульс равен единице при . Чтобы избежать путаницы в обозначениях, мы будем аргумент цифрового дельта-импульса записывать в квадратных скобках.

Тогда импульсная характеристика с передаточной характеристикой (18) может быть записана в виде:

(21)

Импульсная характеристика данного фильтра представлена на рисунке для .

Рисунок 4
Рисунок 4. ОИмпульсная характеристика БИХ-фильтра первого порядка при

Видно, что значения импульсной характеристики убывают с ростом , но при этом никогда не достигают нуля (отсюда и название бесконечная импульсная характеристика). При наблюдаются знакопеременные осцилляции , в то время как при импульсная характеристика монотонно убывает.

Рассмотрим теперь передаточную характеристику , у которой , а все остальные коэффициенты знаменателя равны нулю. Такая передаточная характеристика соответсвует фильтру, выходные отсчеты которого , зависят только от входных отсчетов :

(22)

Такой фильтр называется нерекурсивным или фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром). Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра полностью совпадают с коэффициентами , и при импульсная характеристика КИХ фильтра равна нулю. Важно также отметить, что передаточная характеристика КИХ фильтра имеет в знаменателе только и все полюсы КИХ фильтра стянуты в ноль.

Выводы

Таким образом мы рассмотрели преобразование Лапласа дискретного сигнала и показали, что оно периодично по мнимой оси, а дискретный фильтр имеет бесконечное множество полюсов в плоскости . После мы осуществили отображение комплексной плоскости в комплексную -плоскость и перешли от преобразования Лапласа к -преобразованию, при этом количество нулей и полюсов дискретного фильтра в -плоскости стало конечным. Рассмотрев свойства -преобразования мы получили передаточную характеристику дискретного фильтра, на основе которой вывели разностное уравнение дискретного фильтра. В конце мы рассмотрели различия КИХ и БИХ-фильтров.

Примечания

[1] в англоязычной литературе — FIR (finite impulse response)

[2] в англоязычной литературе — IIR (infinite impulse response)

Список литературы

[1] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[2] Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. Москва, Радио и связь, 1985.

[3] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[4] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[5] Orfanidis S.J. Introduction to Signal Processing. Rutgers University, 2010. [PDF]


Последнее изменение страницы: 02.06.2020 (19:20:29)