Расчет аналогового нормированного фильтра нижних частот Чебышева второго рода

Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра
В предыдущем разделе был рассмотрена постановка задачи расчета передаточной характеристики аналогового фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ фильтра. В данном разделе мы рассмотрим расчет передаточной функции аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (инверсный фильтр Чебышева) по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.
Рисунок 1. Квадрат АЧХ аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
В отличие от фильтров Чебышева первого рода, инверсные фильтры Чебышева обладают гладкой АЧХ в полосе пропускания и обеспечивают равноволновые пульсации в полосе заграждения с амплитудой .
Также важно отметить, что нормированный ФНЧ Чебышева второго рода на частоте рад/с обеспечивает подавление сигнала в раз по мощности, в отличии от рассмотренных выше нормированных ФНЧ Баттерворта и Чебышева первого рода.
Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ:
(1)
(1)
Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода представляется в виде:
(2)
(2)
где – многочлен Чебышева порядка .
Порядок нормированного ФНЧ Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения:
(3)
(3)
решение которого имеет вид:
(4)
(4)
где – арккосинус гиперболический.
Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены в предыдущих разделах. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при расчете нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.
Исходными данными для расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода служат: частота среза , переходная полоса, задаваемая рад/с, допустимое искажение в полосе пропускания (дБ) и требуемое подавление в полосе заграждения (дБ).
Из выражения (1) рассчитываются параметры , , после чего производится расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4) при округлении до бо́льшего целого значения.
Для расчета передаточной функции необходимо найти выражения для нулей и полюсов нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.
Нули и полюса нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
Предварительно вспомним некоторые свойства тригонометрических функций комплексного переменного. Рассмотрим косинус комплексной переменной . Представим как косинус суммы и получим:
(5)
(5)
Учтем, что тригонометрические функции связаны с гиперболическими следующими соотношениями:
(6)
(6)
Тогда окончательно можно представить выражение (5), с учетом выражения (6), и:
(7)
(7)
Соотношение (7) мы будем широко использовать в дальнейшем.
Также вспомним свойство произведения комплексно-сопряженных чисел:
(8)
(8)
Порядок расчета нулей и полюсов передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода очень похож на тот, что мы использовали при расчете фильтра Чебышева первого рода.
Для нормированного ФНЧ Чебышева второго рода мы рассчитаем нули и полюса квадрата модуля передаточной характеристики , выберем из них только те, что лежат в левой полуплоскости (с отрицательной реальной частью) для обеспечения физической реализуемости и устойчивости фильтра, и после представим передаточную функцию нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на основе биквадратной формы.
В отличие от нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, нормированный ФНЧ Чебышева второго рода имеет нули, которые находятся из уравнения:
(9)
(9)
Комплексный коэффициент передачи есть сечение передаточной характеристики , плоскостью . Тогда и в уравнение (9) можно подставить :
(10)
(10)
Из (10}) можно получить выражение для нулей квадрата модуля нормированного ФНЧ Чебышева второго рода:
(11)
(11)
Нули нормированного ФНЧ Чебышева второго рода всегда чисто мнимые и по модулю больше единицы. Заметим, что в выражении (11) индексация ограничена , из-за периодичности функции косинуса. Кроме того из анализа (11) следует, что все нули квадрата модуля передаточной характеристики имеют кратность равную двум. Это означает, что среди нулей , имеется всего различных значений и каждый ноль повторяется два раза.
Для расчета полюсов квадрата модуля передаточной характеристики приравняем знаменатель (2) к нулю:
(12)
(12)
Учтем (8), тогда (12) можно представить в виде произведения комплексно-сопряженных выражений:
(13)
(13)
Уравнение (13) можно переписать:
(14)
(14)
Теперь необходимо решить уравнение (14) относительно . Для этого введем обозначение
(15)
(15)
тогда
(16)
(16)
или с учетом соотношения (7) можно записать:
(17)
(17)
Приравняем реальные и мнимые части в левой и правой частях уравнения (17) и получим систему:
(18)
(18)
Рассмотрим систему (18) подробнее. Гиперболический косинус никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (18) можно записать:
(19)
(19)
Из второго уравнения(18), с учетом (19) можно заметить, что и тогда
(20)
(20)
Таким образом, мы рассчитали значения и в выражении (15). Теперь необходимо решить уравнение (15) относительно :
(21)
(21)
откуда, с учетом выражения (7), можно записать:
(22)
(22)
Тогда окончательно полюса квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно записать с учетом (19) и (20):
(23)
(23)
Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на комплексной плоскости представлено на рисунке 2 для фильтров 8-го (слева) и 9-го (справа) порядков при подавлении в полосе заграждения дБ.
Нули нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (обозначены синими кружками) расположены на мнимой оси , а полюса (красные крестики) – на замкнутой параметрической кривой :
(24)
(24)
где – параметр кривой, а зависит от порядка фильтра и уровня подавления в полосе заграждения, определяемого параметром согласно (20). Параметрические кривые (24) показаны на рисунке 2 непрерывными линиями для различного уровня подавления от 20 до 100 дБ при фиксированном порядке фильтра (левые кривые для , правые для ).
Рисунок 2. Расположение нулей и полюсов нормированного ФНЧ Чебышева второго рода при (слева) и (справа)
Из анализа рисунка 2 можно заметить, что у фильтра нечетного порядка имеются чисто вещественные полюса, а у фильтра четного порядка все полюса образуют комплексно-сопряженные пары.
Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
Для получения передаточной характеристики физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все ее нули и полюса располагались в левой полуплоскости , или на мнимой оси . При этом нули и полюса на мнимой оси должны быть простыми. Тогда из всех нулей квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода необходимо выбрать различных нулей кратности один, а из полюсов (23) необходимо выбрать только те, у которых , тогда все полюса нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить в виде:
(25)
(25)
Передаточная характеристика может быть записана в виде:
(26)
(26)
Для представления передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка при , , получим некратный вещественный полюс . При остальных полюса будут комплексно-сопряженные. Тогда для любого , где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить через биквадратную форму:
(27)
(27)
где
(28)
(28)
Нормировочный коэффициент передачи на нулевой частоте фильтра при равен:
(29)
(29)
На рисунке 3 показаны квадрат АЧХ , ФЧХ , групповая задержка и временн\'{а}я импульсная характеристика нормированных ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (синие кривые) и 9-го (красные кривые) порядков, с подавлением в полосе заграждения дБ. Нули и полюса данных фильтров показаны на рисунке 2.
Рисунок 3. Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (синий) и 9-го (красный) порядков
Из рисунка 3 хорошо видно, что квадрат АЧХ фильтра Чебышева второго рода имеет равноволновые колебания в полосе заграждения, обеспечивая тем самым заданный уровень подавления дБ. При этом можно заметить, что квадрат АЧХ при четном порядке фильтра при увеличении частоты стремится к значению , или дБ, а при нечетном порядке фильтра -- к нулю (к бесконечному подавлению).
Пример расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева второго рода исходя из следующих параметров АЧХ:
(30)
(30)
Обратим внимание, что в спецификации (30) параметр , а рад/с.
Шаг 1. Из выражения (1) рассчитаем параметры и :
(31)
(31)
Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданным параметрам АЧХ согласно выражению (4):
(32)
(32)
Округляем в бо́льшую сторону, таким образом порядок фильтра .
Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (27). Для этого произведем предварительные расчеты.
Порядок фильтр , откуда , . Параметр равен:
(33)
(33)
Параметры , где принимает значения 1 или 2 равны:
(34)
(34)
Тогда свободные члены числителя передаточной функции равны:
(35)
(35)
Рассчитаем параметры и , а также рассчитаем :
(36)
(36)
Обратим внимание, что и требуется также рассчитать некратный вещественный полюс :
(37)
(37)
Рассчитаем нормировочный коэффициент согласно выражению (29):
(38)
(38)
Теперь можно рассчитать передаточную характеристику фильтра:
(39)
(39)
На этом расчет передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно считать оконченным.
Подставив в выражение (39) для передаточной характеристики , получим комплексный коэффициент передачи из которого можно рассчитать квадрат АЧХ , ФЧХ , групповую задержку и временну́ю импульсную характеристику фильтра.
На рисунке 4 показаны характеристики рассчитанного фильтра
Рисунок 4. Квадрат АЧХ, ФЧХ, групповая задержка и импульсная характеристика рассчитанного фильтра Чебышева второго рода
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.
Были получены выражения для нулей и полюсов передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости .
Приведено выражение для передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра.
Показан вид АЧХ фильтра Чебышева второго рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданным параметрам АЧХ.
Список литературы
[1] Лем Г. Аналоговые и цифровые фильтры Москва, Мир, 1982.

[2] Sophocles J. Orfanidis Introduction to Signal Processing Rutgers University, 2010. [PDF]

[3] Sophocles J. Orfanidis Lecture notes on elliptic filter design Rutgers University, 2006. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов Пер. с англ., Москва, Техносфера, 2006.

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов Санкт-Петербург, Питер, 2002.