Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge |
В данном разделе мы рассмотрим расчет передаточной функции аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (инверсный фильтр Чебышева) по заданным параметрам квадрата АЧХ , показанным на рисунке 1.
В отличие от фильтров Чебышева первого рода, инверсные фильтры Чебышева обладают гладкой АЧХ в полосе пропускания и обеспечивают равноволновые пульсации в полосе заграждения с амплитудой .
Также важно отметить, что нормированный ФНЧ Чебышева второго рода на частоте рад/с обеспечивает подавление сигнала в раз по мощности, в отличии от рассмотренных выше нормированных ФНЧ Баттерворта и Чебышева первого рода.
Основные соотношения связывающие параметры квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода приведены на рисунке 1.
Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода представляется в виде:
Порядок нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, как и порядок нормированного ФНЧ Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения
Исходными данными для расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода служат: частота среза , переходная полоса, задаваемая рад/с, допустимое искажение в полосе пропускания (дБ) и требуемое подавление в полосе заграждения (дБ).
На первом шаге рассчитываются параметры и , после чего производится оценка требуемого порядка фильтра согласно выражению (3) при округлении до бо́льшего целого значения. Для расчета передаточной функции необходимо найти выражения для нулей и полюсов квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.
В отличие от нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, нормированного ФНЧ Чебышева второго рода имеет нули, которые находятся из уравнения:
Для расчета полюсов квадрата модуля передаточной характеристики приравняем знаменатель (1) к нулю:
Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на комплексной плоскости представлено на рисунке 2 для фильтров 8-го (слева) и 9-го (справа) порядков при подавлении в полосе заграждения дБ.
Нули нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (обозначены кружками) расположены на мнимой оси , а полюсы (крестики) – на замкнутой параметрической кривой :
Параметрические кривые (21) показаны на рисунке 2 непрерывными и пунктирными линиями для различного уровня подавления от 20 до 80 дБ при фиксированном порядке фильтра (левые кривые для , правые для ).
Из анализа рисунка 2 можно заметить, что фильтра нечетного порядка имеет чисто вещественные полюсы, а все полюсы фильтра четного порядка образуют комплексно-сопряженные пары.
Для получения передаточной характеристики физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все ее нули и полюсы располагались в левой полуплоскости , или на мнимой оси . При этом нули и полюсы на мнимой оси должны быть простыми.
Тогда из всех нулей квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода необходимо выбрать различных нулей кратности один, а из полюсов необходимо выбрать только те, у которых . Тогда все полюсы нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить в виде:
Тогда для любого , где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить через биквадратную форму:
Из рисунка 3 хорошо видно, что квадрат АЧХ фильтра Чебышева второго рода имеет равноволновые колебания в полосе заграждения, обеспечивая тем самым заданный уровень подавления дБ. При этом можно заметить, что квадрат АЧХ при четном порядке фильтра при увеличении частоты стремится к значению , или дБ, а при нечетном порядке фильтра – к нулю (к бесконечному подавлению).
Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева второго рода исходя из следующих параметров квадрата АЧХ:
Шаг 1. Рассчитаем параметры и :
Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданным параметрам АЧХ согласно выражению (3):
Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (24). Для этого произведем предварительные расчеты.
Порядок фильтр , откуда , . Параметр равен:
Подставив в выражение (36) для передаточной характеристики , получим комплексный коэффициент передачи из которого можно рассчитать квадрат АЧХ , ФЧХ , групповую задержку и временну́ю импульсную характеристику фильтра.
На рисунке 4 показаны характеристики рассчитанного ФНЧ Чебышева второго рода.
В данном разделе мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.
Были получены выражения для нулей и полюсов передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости .
Приведено выражение для передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра.
Показан вид АЧХ фильтра Чебышева второго рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданным параметрам АЧХ.