Расчет аналогового нормированного фильтра нижних частот Чебышева первого рода

Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра
В предыдущем разделе был рассмотрена постановка задачи расчета передаточной характеристики аналогового фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ фильтра. В данном разделе мы рассмотрим расчет нормированного ФНЧ Чебышева первого рода по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.
Рисунок 1. Квадрат АЧХ аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода
Мы называем этот фильтр нормированным, потому что частота среза рад/c. Нормированный ФНЧ является прототипом из которого можно получить любой другой фильтр: ФНЧ, ФВЧ, полосовой или режекторный, путем частотных преобразований передаточной функции .
Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ:
(1)
(1)
Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева первого рода представляется в виде:
(2)
(2)
где – многочлен Чебышева.
Порядок нормированного ФНЧ Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения:
(3)
(3)
решение которого имеет вид:
(4)
(4)
где – арккосинус гиперболический.
Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены в предыдущих разделах. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при расчете нормированного ФНЧ Чебышева первого рода.
Исходными данными для расчета фильтра Чебышева первого рода служат: частота среза рад/с, переходная полоса, задаваемая , допустимое искажение в полосе пропускания и требуемое подавление в полосе заграждения .
Из выражения (1) рассчитываются параметры , , после чего производится расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4) при округлении до бо́льшего целого значения.
Для расчета передаточной функции необходимо найти выражения для нулей и полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода.
Нули и полюса нормированного ФНЧ Чебышева первого рода
Предварительно вспомним некоторые свойства тригонометрических функций комплексного переменного. Рассмотрим косинус комплексной переменной . Представим как косинус суммы и получим:
(5)
(5)
Учтем, что тригонометрические функции связаны с гиперболическими следующими соотношениями:
(6)
(6)
Тогда окончательно можно представить выражение (5), с учетом выражения (6):
(7)
(7)
Соотношение (7) мы будем широко использовать в дальнейшем.
Также вспомним следующее соотношение справедливое для произведения комплексно-сопряженных чисел:
(8)
(8)
Данное соотношение нам также очень пригодится.
Как и в случае с нормированным ФНЧ Баттерворта, для нормированного ФНЧ Чебышева мы рассчитаем нули и полюса квадрата модуля передаточной характеристики , выберем из них только те, что лежат в левой полуплоскости (с отрицательной реальной частью) для обеспечения физической реализуемости и устойчивости фильтра, и после представим передаточную функцию на основе биквадратной формы.
Из выражения (2) можно заключить, что нормированный ФНЧ Чебышева первого рода не имеет конечных нулей, так как ни при каких комплексных значениях квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева (2) не обращается в ноль. Для расчета полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода приравняем знаменатель (2) к нулю:
(9)
(9)
Комплексный коэффициент передачи есть сечение передаточной характеристики , плоскостью . Тогда и уравнение (9) перепишется к виду:
(10)
(10)
Учтем (8), тогда выражение (10) можно представить в виде произведения комплексно-сопряженных множителей:
(11)
(11)
Уравнение (11) можно переписать:
(12)
(12)
Для расчета полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода необходимо решить уравнение (12) относительно . Для этого введем обозначение
(13)
(13)
тогда
(14)
(14)
или с учетом соотношения (7) можно записать:
(15)
(15)
Приравняем реальные и мнимые слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим систему:
(16)
(16)
Рассмотрим систему подробнее. Гиперболический косинус никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (16) можно записать:
(17)
(17)
Из второго уравнения, с учетом (17) можно заметить, что и тогда
(18)
(18)
Таким образом, мы рассчитали значения и в выражении (13). Теперь необходимо решить уравнение (13) относительно :
(19)
(19)
откуда с учетом выражения (7) можно записать:
(20)
(20)
Тогда окончательно полюса квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно записать с учетом (17) и (18):
(21)
(21)
Для анализа расположения полюсов нормированного ФНЧ Чебышева рассмотрим соотношение:
(22)
(22)
Тогда вспомнив каноническое уравнение эллипса:
(23)
(23)
можно сделать вывод о том, что полюса нормированного ФНЧ Чебышева первого рода расположены на эллипсе с осями:
(24)
(24)
Графически это показано на рисунке 2 для нечетного и для четного порядков фильтра.
Рисунок 2. Расположение полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода при (слева) и (справа)
Красными крестиками показаны полюса нормированного ФНЧ Чебышева. Зеленым показана окружность радиуса и полюса нормированного ФНЧ Баттерворта при и и неравномерности фильтра Баттерворта равной . Аналогично синим показана окружность радиуса и полюса нормированного ФНЧ Баттерворта при и и при неравномерности фильтра Баттерворта равной . Синими и зелеными линиями показано геометрическое расположение полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, относительно полюсов «большого» и «малого» фильтров Баттерворта.
Важно отметить, что если малую ось эллипса приближать к большой оси, то фильтр Чебышева будет приближаться к фильтру Баттерворта. Если эллипс на котором расположены полюса фильтра Чебышева превратить в окружность , то фильтр Чебышева автоматически переходит в фильтр Баттерворта:
(25)
(25)
Таким образом, при уменьшении неравномерности в полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода, его характеристики приближаются к характеристикам фильтра Баттерворта.
Передаточная характеристика фильтра Чебышева первого рода
Для получения передаточной характеристики физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все его нули и полюса располагались в левой полуплоскости . Тогда из всех полюсов квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева первого рода (21) необходимо выбрать только те, у которых , тогда все полюса нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно представить в виде:
(26)
(26)
Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Чебышева первого рода будет иметь вид:
(27)
(27)
Для представления передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка при получим некратный вещественный полюс (смотри рисунок 2). Остальные полюса будут образовывать комплексно-сопряженные пары.
Тогда для любого , где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно записать как:
(28)
(28)
Коэффициент передачи на нулевой частоте фильтра при равен:
(29)
(29)
Кроме того, при нормировке необходимо учесть, что при нечетных порядках фильтра, многочлен Чебышева и соответственно согласно выражению (2), а при четных порядках фильтра, многочлен Чебышева и соответственно .
Таким образом, при четном порядке фильтра , его коэффициент передачи на нулевой частоте должен быть меньше единицы и равен . С учетом этого, передаточная функция нормированного ФНЧ Чебышева первого рода для любого имеет вид:
(30)
(30)
На рисунке 3 показаны квадрат АЧХ , ФЧХ , групповая задержка и временн\'{а}я импульсная характеристика нормированных ФНЧ Чебышева первого рода 4-го (синий) и 5-го (красный) порядков с неравномерностью квадрата АЧХ в полосе пропускания 2 дБ.
Рисунок 3. Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода 4-го и 5-го порядков
Из графиков хорошо видно, что квадрат АЧХ фильтра Чебышева имеет равноволновые колебания в полосе пропускания и монотонно убывает в полосе заграждения.
Пример расчета фильтра Чебышева первого рода
Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева первого рода исходя из следующего коридора АЧХ:
(31)
(31)
Шаг 1. Из выражения (1) рассчитаем параметры коридора:
(32)
(32)
Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданному коридору согласно выражению (4):
(33)
(33)
Округляем в большую сторону, таким образом порядок фильтра .
Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (30). Для этого произведем предварительные расчеты.
Порядок фильтра , откуда , . Параметр равен:
(34)
(34)
Параметры , где принимает значения 1 или 2 равны:
(35)
(35)
Рассчитаем параметры и , а также рассчитаем :
(36)
(36)
Обратим внимание, что и рассчитывать параметр не требуется. Теперь можно рассчитать передаточную характеристику фильтра:
(37)
(37)
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим передаточную характеристику в окончательном виде:
(38)
(38)
На этом расчет нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно считать оконченным.
Подставив в выражение для передаточной характеристики получим комплексный коэффициент передачи , из которого можно получить АЧХ , ФЧХ , групповую задержку и временн\'{у}ю импульсную характеристику , графики которых показаны на рисунке 4.
Рисунок 4. Квадрат АЧХ, ФЧХ, групповая задержка и импульсная характеристика рассчитанного фильтра Чебышева первого рода
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода. Были получены выражения для нулей и полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости.
Приведено выражение для передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра. Показан вид АЧХ фильтра Чебышева первого рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.
Список литературы
[1] Лем Г. Аналоговые и цифровые фильтры Москва, Мир, 1982.

[2] Sophocles J. Orfanidis Introduction to Signal Processing Rutgers University, 2010. [PDF]

[3] Sophocles J. Orfanidis Lecture notes on elliptic filter design Rutgers University, 2006. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов Пер. с англ., Москва, Техносфера, 2006.

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов Санкт-Петербург, Питер, 2002.