Расчет аналогового нормированного фильтра нижних частот Баттерворта

Исходные данные для расчета нормированного ФНЧ Баттерворта
В предыдущем разделе был рассмотрена постановка задачи расчета передаточной характеристики аналогового фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ фильтра. В данном разделе мы рассмотрим расчет передаточной характеристики аналогового нормированного фильтра нижних частот (ФНЧ) Баттерворта по заданым праметрам квадрата АЧХ , показанным на рисунке 1.
Рисунок 1. Квадрат АЧХ аналогового нормированного ФНЧ Баттерворта
Мы называем этот фильтр нормированным, потому что частота среза рад/c. Нормированный ФНЧ является прототипом из которого можно получить любой другой фильтр: ФНЧ, ФВЧ, полосовой или режекторный, путем частотных преобразований передаточной функции .
Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ:
(1)
Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Баттерворта представляется в виде:
(2)
Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:
(3)
Прологарифмируем правую и левую части уравнения (3) и получим:
(4)
Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены в предыдущем разделе. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при расчете фильтра Баттерворта.
Исходными данными для расчета нормированного ФНЧ Баттерворта служат: частота среза рад/c, переходная полоса, задаваемая частотой , допустимое искажение в полосе пропускания (дБ) и требуемое подавление в полосе заграждения (дБ).
На основе исходных данных, мы можем рассчитать параметры , согласно (1), а также требуемый порядок фильтра согласно (4). Для расчета передаточной характеристики мы должны получить выражения для нулей и полюсов нормированного ФНЧ Баттерворта.
Нули и полюса аналогового нормированного ФНЧ Баттерворта
Квадрат АЧХ есть сечение квадрата модуля передаточной характеристики при . Для расчета нулей и полюсов подставим в выражение квадрата АЧХ (2) , тогда:
(5)
Очевидно, что ни при каких конечных комплексных выражение (5) не равно нулю, значит передаточная характеристика нормированного ФНЧ Баттерворта не имеет конечных нулей. Для расчета полюсов нормированного ФНЧ Баттерворта приравняем знаменатель к нулю:
(6)
Рассмотрим отдельно четные и нечетные порядки фильтра .
При четных имеем:
(7)
Представим в правой части через комплексную экспоненту , , тогда
(8)
Прологарифмируем левую и правую части уравнения (8) и получим:
(9)
Преобразуем:
(10)
тогда
(11)
и окончательно можно записать выражения для полюсов квадрата модуля передаточной функции при четных :
(12)
При нечетных из выражения (6) имеем:
(13)
Представим в правой части через комплексную экспоненту , , тогда
(14)
Прологарифмируем левую и правую части уравнения (14) и получим:
(15)
Преобразуем (15):
(16)
тогда:
(17)
И окончательно можно записать выражения для полюсов квадрата модуля предаточной функции при нечетных :
(18)
На рисунке 2 показано расположение полюсов квадрата модуля передаточной функции, заданной выражением (5) при четном (слева) и нечетном (справа) порядках фильтра Баттерворта.
Рисунок 2: Расположение полюсов квадрата модуля передаточной функции при четном и нечетном порядках фильтра Баттерворта
Все полюса квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Баттерворта расположены на окружности радиуса , и отстоят друг от друга на угол рад. При (т.е. дБ) все полюса расположены на окружности единичного радиуса.
Передаточная характеристика аналогового нормированного ФНЧ Баттерворта
В предыдущем параграфе мы получили выражения для полюсов квадрата модуля . Мы получили, что фильтра Баттерворта имеет полюсов, расположенных как в левой, так и в правой половинах комплексной плоскости .
Для получения устойчивого и физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все нули и полюса располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости, или на мнимой оси . Тогда для расчета передаточной функции фильтра Баттерворта необходимо из всех полюсов квадрата ее модуля выбрать только те, что лежат в левой полуплоскости. Все полюса расположенные в левой полуплоскости могут быть записаны как для четного, так и для нечетного порядка (смотри рисунок 2):
(19)
Или перепишем (19) в тригонометрической форме:
(20)
Таким образом мы задали все полюса передаточной функции нормированного ФНЧ Баттерворта порядка , расположенные в левой полуплоскости комплексной плоскости . Тогда передаточная функция нормированного ФНЧ Баттерворта может быть представлена:
(21)
Обратим внимание, что все полюса передаточной функции фильтра Баттерворта четного порядка (смотри рисунок 2) представляют собой комплексно-сопряженные пары, а у фильтра нечетного порядка есть один вещественный полюс. Тогда можно представить передаточную функцию нормированного ФНЧ Баттерворта при помощи биквадратной формы. Для четного :
(22)
Тогда окончательно можно записать:
(23)
В случае нечетного имеем дополнительный вещественный полюс . Тогда для нечетного можно представить передаточную функцию нормированного ФНЧ Баттерворта при помощи биквадратной формы как:
(24)
Окончательно можно объединить выражения (23) и (24). Для любого целого ( может принимать значения 0 или 1) передаточную функцию нормированного ФНЧ Баттерворта можно представить в виде:
(25)
Коэффициент передачи фильтра Баттерворта на нулевой частоте равен:
(26)
Для нормировки коэффициента передачи на нулевой частоте необходимо передаточную функцию нормированного ФНЧ Баттерворта (25) разделить на . Тогда получим:
(27)
Необходимо отметить, что при , и без нормировки. При этом соответствует и выражение для передаточной характеристики нормированного ФНЧ Баттерворта (27) преобразуется к виду:
(28)
Такая форма записи (28) передаточной характеристики получила широкое распространение ввиду того, что не требуется нормировки. Однако выражение (27) позволяет регулировать коэффициент передачи фильтра на частоте среза и является более общей.
Пример расчета аналогового нормированного ФНЧ Баттерворта
Рассчитаем нормированный ФНЧ Баттерворта при следующих параметрах:
(29)
Шаг 1
Рассчитываем все необходимые параметры исходя из выражения (1):
(30)
Шаг 2
Рассчитываем порядок фильтра согласно выражению (4):
(31)
Округляем в большую сторону и получаем порядок фильтра .
Шаг 3
Рассчитываем передаточную характеристику согласно выражению (27). При этом , значит , . Рассчитываем :
(32)
Рассчитываем значения . В нашем случае , поэтому будет только одно значение равное :
(33)
Тогда передаточную характеристику нормированного ФНЧ Баттерворта можно записать:
(34)
На этом расчет фильтра Баттерворта окончен. Комплексный коэффициент передачи полученного фильтра равен:
(35)
На рисунке 3 показаны квадрат АЧХ , ФЧХ , групповая задержка и импульсная характеристика рассчитанного фильтра Баттерворта.
Рисунок 3: Квадрат АЧХ, ФЧХ, групповая задержка и импульсная характеристика полученного фильтра
Обратите внимание, что по оси абсцисс частота представлена в логарифмическом масштабе.
Выводы
Таким образом, в данном разделе мы рассмотрели порядок расчета передаточной функции аналогового нормированного ФНЧ Баттерворта и привели пример расчета фильтра по заданным параметрам АЧХ.
Список литературы
[1] Лем Г. Аналоговые и цифровые фильтры Москва, Мир, 1982.

[2] Sophocles J. Orfanidis Introduction to Signal Processing Rutgers University, 2010. [PDF]

[3] Sophocles J. Orfanidis Lecture notes on elliptic filter design Rutgers University, 2006. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов Пер. с англ., Москва, Техносфера, 2006.

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов Санкт-Петербург, Питер, 2002.