Расчет аналогового фильтра. Постановка задачи и способы аппроксимации АЧХ нормированного ФНЧ

Типы фильтров. Параметры аппроксимации амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних частот
По форме амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) различают следующие типы фильтров:
  • фильтры нижних частот (ФНЧ);
  • фильтры верхних частот (ФВЧ);
  • полосовые фильтры (ПФ) или полосопропускающие фильтры;
  • режекторные фильтры (РФ) или полосозаграждающие фильры.
Примеры квадрата АЧХ для приведенных типов фильтров показаны на рисунке 1.
Рисунок 1. Примеры квадрта АЧХ различных типов фильтров
Рассмотрим постановку задачи расчета фильтра на примере ФНЧ. Мы бы хотели получить фильтр, который пропускает без искажений все частоты ниже и полностью подавляет все частоты выше . Такой ФНЧ называют идеальным, и он не реализуем на практике. Реализуемые ФНЧ всегда вносят искажения в полосе пропускания и не до конца подавляет в полосе заграждения. На рисунке 2 показан квадрат АЧХ идеального и реального ФНЧ. Красным показан квадрат АЧХ идеального фильтра, синим - реального.
Рисунок 2. Квадрт АЧХ идеального и реального фильтра нижних частот
Полоса частот от 0 до называется полосой пропускания ФНЧ, полоса частот выше называется полосой подавления или полосой заграждения. Полоса частот между и называется переходной полосой фильтра. Мы должны научится регулировать искажения сигнала и подавление при использовании ФНЧ.
Параметры
(1)
(1)
определяют максимальное искажение квадрата АЧХ в полосе пропускания и задают требуемое подавление в полосе заграждения соответсвенно.
Таким образом, получили такой «изогнутый коридор» в который должна поместиться АЧХ нашего фильтра. При этом, чем «коридор у́же», тем параметр меньше, а параметр больше.
Принято искажение в полосе пропускания и требуемое подавление фильтра в полосе заграждения выражать в децибелах, как и соответсвенно. Тогда:
(2)
(2)
Откуда можно выразить:
(3)
(3)
Для расчета фильтра достаточно задать «коридор АЧХ» путем задания вышеприведенных параметров.
Нам потребуется еще два параметра и , которые мы будем использовать в дальнейшем:
(4)
(4)
Параметр определяет переходную полосу фильтра. Если сужать переходную полосу, то будет стремиться к единице. С другой стороны параметр определяет степень подавления фильтра с учетом вносимых искажений. Так, если коэффициент подавления в полосе заграждения растет, то стремиться к нулю. Аналогично стремиться к нулю если коэффициент неравномерности в полосе пропускания стремится к нулю.
Порядок фильтра
Порядок фильтра можно определить как максимальное количество нулей и полюсов передаточной функции фильтра. Также можно сказать, что порядок фильтра задается максимальной степенью полинома числителя и знаменателя передаточной функции фильтра. Однако для расчета фильтра мы задаем параметры частотной характеристики, в которые должен укладываться наш фильтр, и мы не знаем какой порядок фильтра для этого потребуется.
Аппроксимация квадрата АЧХ фильтра нижних частот представляется в виде:
(5)
(5)
где – аппроксимирующая функция порядка .
Для того чтобы квадрат АЧХ фильтра разместился в заданном коридоре необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
(6)
(6)
Первое условие (6) будет выполнено, если
(7)
(7)
Чтобы выполнилось второе условие, необходимо обеспечить переходную полосу заданной ширины и с заданным подавлением, т.е.
(8)
(8)
откуда можно выразить:
(9)
(9)
Таким образом, мы получили уравнение (9), решая которое относительно можно рассчитать требуемый порядок фильтра, при котором АЧХ фильтра разместится в заданном коридоре. При этом рассчитанное значение округляется в бо́льшую сторону до ближайшего целого.
Необходимо отметить, что для сужения коридора АЧХ необходимо увеличивать порядок фильтра, однако при практической реализации от порядка фильтра зависит количество реактивных элементов (емкостей и индуктивностей) в его схеме. В результате, увеличение порядка фильтра приводит к усложнению самого фильтра, удорожанию и что самое важное, фильтр с увеличением порядка становится очень чувствительным к разбросу номиналов его компонент и требует точной прецизионной настройки.
Аппроксимация по Баттерворту
Аппроксимирующая функция фильтра Баттерворта порядка равна . Квадрат АЧХ фильтра задается выражением:
(10)
(10)
На рисунке 3 показаны аппроксимирующая функция и квадрат АЧХ при порядке фильтра .
Рисунок 3. Аппроксимирующая функция и квадрат АЧХ фильтра Баттерворта 4-го порядка
Аппроксимирующая функция приведена при различных масштабах оси ординат. Квадрат АЧХ показан в линейном и логарифмическом масштабе (дБ) по оси ординат. Ось абсцисс на всех графиках показана в логарифмическом масштабе.
Фильтры Баттерворта являются фильтрами с максимально-гладкой АЧХ. Скорость спада квадрата АЧХ составляет дБ/декада.
При аппроксимации по Баттервотру, очень часто задают параметр , и на частоте , квадрат АЧХ (–3 дБ). Тогда для расчета ФНЧ Баттерворта при задается только порядок фильтра. Остальные параметры, такие как неравномерность в полосе пропускания и уровень подавлениия в полосе заграждения не задаются.
Аппроксимация полиномами Чебышева первого рода
Аппроксимирующая функция фильтра Чебышева первого рода, где – многочлен Чебышева первого рода порядка . Тогда квадрат АЧХ фильтра Чебышева первого рода можно записать:
(11)
(11)
Параметр задает уровень пульсаций в полосе пропускания фильтра и рассчитывается исходя из заданной неравномерности АЧХ в полосе пропускания согласно выражению (3).
На рисунке 4 показаны аппроксимирующая функция и квадрат АЧХ фильтра Чебышева первого рода порядка при (неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания дБ).
Рисунок 4. Аппроксимирующая функция и квадрат АЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка
Хорошо видно, что в полосе пропускания квадрат АЧХ фильтра Чебышева первого рода совершает равноволновые колебания, в отличии от фильтра Баттерворта. При этом скорость спада АЧХ фильтра Чебышева первого рода за пределами полосы пропускания, выше чем у фильтра Баттерворта.
Аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсный фильтр Чебышева)
Ранее при аппроксимации АЧХ многочленами Чебышева задавалась допустимая неравномерность АЧХ фильтров в полосе пропускания при помощи параметра . Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра . Тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением , а квадрат АЧХ представляется в виде:
(12)
(12)
Как уже было сказано, задает уровень подавления в полосе заграждения фильтра согласно (3). На рисунке 5 показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода порядка при (уровень подавления в полосе заграждения дБ).
Рисунок 5. Аппроксимирующая функция и квадрат АЧХ фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка
Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте рад/c «пропускает» сигнал, т.к. близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте рад/c «подавляет» сигнал, т.к. . Фильтры Чебышева второго рода целесообразно использовать для расчета режекторных (полосозаграждающих) фильтров с заданным коэффициентом подавления.
Аппроксимация по Кауэру. Эллиптический фильтр
Можно заметить, что АЧХ фильтра Чебышева первого рода носит колебательный характер в полосе пропускания и максимально-гладкая в полосе заграждения, в то время как АЧХ фильтра Чебышева второго рода наоборот колеблется в полосе заграждения и максимально-гладкая в полосе пропускания. Однако есть еще один класс фильтров АЧХ которых носит колебательный характер как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. Это эллиптические фильтры, или как их еще называют фильтры Кауэра (в отечественной литературе часто их еще называют фильтрами Золотарева-Кауэра).
Аппроксимирующая функция фильтров Кауэра представляет собой эллиптическую дробно-рациональную функцию , зависящую от параметра , рассмотренного выше. Квадрат модуля АЧХ фильтра Кауэра представляет собой:
(13)
(13)
Квадрат аппроксимирующей функции эллиптического фильтра 4-го порядка и квадрат АЧХ показаны на рисунке 6.
Рисунок 6. Аппроксимирующая функция и квадрат АЧХ эллиптического фильтра 4-го порядка
Параметр (неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания дБ), а параметр задает уровень подавления в полосе заграждения равный дБ.
Обратите внимание, что квадрат аппроксимирующей функция эллиптического фильтра показан в логарифмическом масштабе на нижнем графике.
Фильтр Баттерворта обладает самой широкой переходной полосой среди всех фильтров, но у него максимально-гладкая АЧХ. Внесение в АЧХ фильтра Баттерворта колебаний приводит к фильтрам Чебышева, переходная полоса которых Уже чем у фильтра Баттерворта. Так равноволновые колебания в полосе пропускания приводят к фильтрам Чебышева первого рода, а равноволновые колебания в полосе заграждения к фильтрам Чебышева второго рода. Внесение равноволновых колебаний как в полосу пропускания, так и в полосу заграждения АЧХ приводит к эллиптическому фильтру с минимальной переходной полосой.
Решение уравнения порядка фильтра.
Полученное ранее выражение (9) связывает параметры коридора АЧХ с порядком фильтра . В данном параграфе мы решим уравнение (9) относительно для рассмотренных выше аппроксимаций АЧХ фильтра.
Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:
(14)
(14)
Прологарифмируем правую и левую части уравнения и получим:
(15)
(15)
Порядок фильтра Чебышева как первого рода, так и второго рассчитывается из уравнения:
(16)
(16)
Откуда можно выразить:
(17)
(17)
Обратите внимание, что под арккосинусами оба отношения больше единицы, тогда арккосинус аргумента больше единицы возвращает комплексное значение. Известно, что арккосинус любого комплексного аргумента равен:
(18)
(18)
Тогда (17) с учетом (18) можно представить как:
(19)
(19)
где – арккосинус гиперболический.
Порядок эллиптического фильтра можно рассчитать из уравнения:
(20)
(20)
где и – полный и комплиментарный эллиптические интегралы, а и рассчитываются согласно (4).
В таблице 1 приведены порядки фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра для некоторых параметров коридора АЧХ.
Таблица 1. Порядки фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра для некоторых параметров коридора АЧХ
Из таблицы очень хорошо видно, что сужение переходной полосы, когда приближается к и уменьшение неравномерности в полосе пропускания с одновременным ростом подавления в полосе заграждения, приводит к очень резкому росту требуемого порядка фильтра Баттерворта. При этом порядок фильтра Чебышева растет медленнее, однако и ему далеко до эллиптического фильтра, который обеспечивает минимальный порядок при заданном коридоре АЧХ.
Переход от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева позволяет сократить порядок фильтра более чем в 5 раз, а использование эллиптического фильтра более чем в 10 раз! В результате, вместо фильтра Баттерворта 118 порядка можно поставить эллиптический фильтр всего 8-го порядка без ухудшения характеристик фильтра. Но это потребует более точной настройки параметров емкостей и индуктивностей при реализации фильтра.
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели постановку задачи расчета аналогового нормированного ФНЧ и произвели анализ различных способов аппроксимации АЧХ фильтра: аппроксимация по Баттерворту, по Чебышеву и по Кауэру.
Получили решения уравнения порядка фильтра при заданном коридоре АЧХ для всех перечисленных способов аппроксимации фильтра. Произведен сравнительный анализ порядоков фильтров Баттерворта, по Чебышева и по Кауэра (эллиптического) для некоторых коридоров АЧХ.
Показано, что при сужении коридора АЧХ (сужение переходной полосы, уменьшении неравномерностей в полосе пропускания и увеличении подавления в полосе заграждения) использование эллиптического фильтра приводит к наименьшему требуемому порядку фильтра.
Список литературы
[1] Лем Г. Аналоговые и цифровые фильтры Москва, Мир, 1982.

[2] Sophocles J. Orfanidis Introduction to Signal Processing Rutgers University, 2010. [PDF]

[3] Sophocles J. Orfanidis Lecture notes on elliptic filter design Rutgers University, 2006. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов Пер. с англ., Москва, Техносфера, 2006.

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов Санкт-Петербург, Питер, 2002.