Дискретно-временное преобразование Фурье

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Вводные замечания
Прямое дискретно-временное преобразование Фурье
Обратное дискретно-временное преобразование Фурье
Ограничение выборки входного сигнала
Выводы
Примечания
Список литературы

Вводные замечания

При рассмотрении дискретных сигналов мы уже говорили, что их спектральная плотность является периодической функцией непрерывной частоты , которая получается как результат бесконечного копирования по частоте спектральной плотности исходного сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим как рассчитать эту периодическую спектральную плотность по имеющимся отсчетам дискретного сигнала (прямое дискретно-временное преобразование Фурье), а также как восстановить отсчеты исходного сигнала по имеющейся периодической спектральной плотности сигнала (обратное дискретно-временное преобразование).

Результаты данного раздела крайне важны для перехода к дискретному преобразованию Фурье, оперирующему с дискретными отсчетами как самого сигнала, так и его спектра.

В англоязычной литературе [1] данные преобразование носит название Discrete-Time Fourier Trasform (DTFT) и Inverse Discrete-Time Fourier Transform (IDTFT).

Прямое дискретно-временное преобразование Фурье

Рассмотрим дискретный сигнал  как результат умножения непрерывного сигнала на решетчатую функцию :

(1)
где  –– дельта-функция Дирака,  — интервал дискретизации.

Вычислим преобразование Фурье дискретного сигнала , для этого подставим  (1) в выражение для преобразования Фурье :

(2)
Поменяем местами операции суммирования и интегрирования:
(3)
Используем в (3) фильтрующее свойство дельта-функции и получим:

(4)

Таким образом, мы избавились от интегрирования в бесконечных пределах, заменив его суммированием комплексных экспонент, которые являются периодическими функциями с периодом:

(5)
где  — частота дискретизации сигнала (Гц).

Необходимо отметить, что  исключено из выражения  (5), так как при  комплексная экспонента равна единице.

Максимальный период повторения спектральной плотности  будет при , в этом случае он равен циклической частоте дискретизации:

(6)

Таким образом, спектральная плотность  дискретного сигнала , есть –периодическая функция циклической частоты , определенная как (4).

Если задать частоту дискретизации  Гц, то (4) переходит к выражению дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ).

(7)

ДВПФ использует только индексы отсчетов входного сигнала  при частоте дискретизации  Гц. В результате ДВПФ мы получим -периодическую спектральную плотность  .

Обратное дискретно-временное преобразование Фурье

ДВПФ ставит в соответствие дискретному сигналу -периодическую спектральную плотность , которую можно разложить в ряд Фурье:

(8)
где  имеет смысл временных моментов, потому что мы раскладываем в ряд Фурье функцию частоты , а коэффициенты ряда Фурье  равны:
(9)

Подставим в (9) выражение (4) для  и получим:

(10)
Поменяем местами операторы интегрирования и суммирования и объединим показатели экспонент:
(11)

Можно заметить, что интеграл в (11) представляет собой интеграл от комплексной экспоненты, включающий целое число периодов комплексной экспоненты. Это значит, что:

(12)

Таким образом, от суммы (11) останется только одно слагаемое при  и , или можно также записать[1] . Тогда из выражения (9) можно получить обратное дискретно-временное преобразование Фурье (ОДВПФ):

(13)

При оперировании только индексами отсчетов входного сигнала при  c, получим  и выражение для ОДВПФ имеет вид:

(14)

Ограничение выборки входного сигнала

Обратим внимание, что в выражениях (4) и (7), индексация  производится от минус бесконечности до бесконечности, таким образом ДВПФ, в общем случае, справедливо для бесконечных во времени дискретных сигналов. Если выборка сигнала ограничена  отсчетами сигнала, то задав  при  и  выражение для ДВПФ принимает вид:

(15)

Выражение для ОДВПФ при ограничении выборки входного сигнала не меняется. Но при расчете  с индексами  или  результат интегрирования будет равен нулю.

В практических приложениях мы не можем работать с выборками сигнала бесконечной длины, поэтому выражение (15) имеет большое практическое значение.

В качестве примера на рисунке 1а приведен ограниченный по времени дискретный сигнал, содержащий 5 ненулевых отсчетов.

Рисунок 1
Рисунок 1. ДВПФ ограниченного во времени дискретного сигнала:
a — отсчеты сигнала; б — модуль ДВПФ

Результат ДВПФ является комплексной функцией, на рисунке 1б показан модуль 

Выводы

Итак мы рассмотрели дискретно-временное преобразование Фурье и получили выражения для прямого и обратного ДВПФ. В следующем разделе мы сделаем еще один переход к дискретному преобразованию Фурье дискретного сигнала, ограниченного по времени (имеющего конечное число ненулевых отсчетов).

Примечания

[1] Полученное выражение полностью повторяет свойство двойственности преобразования Фурье, рассмотренное в параграфе «Свойства преобразования Фурье»

Список литературы

[1] Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

[2] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[3] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.