Котельников Владимир Александрович
1908–2005
Клод Шеннон
1916–2001
Гарри Найквист
1889–1976
Эдмунд Тейлор Уиттекер
1873–1956

Теорема Котельникова

Содержание



DSPL-2.0 - свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Pаспространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Вводные замечания

В предыдущем разделе мы рассмотрели модель дискретного сигнала как результат произведения исходного аналогового сигнала и решетчатой функции . Мы также проанализировали спектральные свойства решетчатой функции и выяснили, что преобразование Фурье , где  — циклическая частота дискретизации.

Согласно результатам предыдущего параграфа, спектральная плотность

(1)



дискретного сигнала пропорциональна сумме копий спектральных плотностей исходного аналогового сигнала , отстоящих друг от друга на частоту дискретизации  рад/c.

Мы уже отмечали, что (1) справедливо вне зависимости от величины и формы спектральной плотности исходного сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим фундаментальную теорему, которая формулирует условия однозначного представления непрерывного сигнала набором равноотстоящих дискретных отсчетов, взятых с интервалом  с.

Дискретизация сигнала с ограниченной полосой

Пусть аналоговый видеосигнал[1] имеет спектральную плотность , ограниченную полосу рад/c, как это показано на рисунке 1а. Спектральная плотность сигнала с ограниченной полосой равна нулю, если . Для определенности будем полагать, что , т.е. на границах полосы  строго равна нулю.

Тогда спектральная плотность дискретного сигнала  при различном соотношении полосы исходного аналогового сигнала и частоты дискретизации , согласно (1), имеет вид как это показано на рисунке 1.

При (рисунок 1б) копии спектральной плотности  частично перекрываются по частоте, как это показано штриховкой, и смешиваются в результате суммирования копий при дискретизации сигнала.

Рисунок 1. Спектральная плотность дискретного сигнала при различном соотношении полосы сигнала и частоты дискретизации :



а — спектральная плотность исходного сигнала;

б — частота дискретизации меньше полосы ;

в — частота дискретизации равна полосе ;

г — частота дискретизации больше полосы


В результате, мы не можем выделить спектральную плотность исходного сигнала из из-за эффекта наложения смещенных копий , который носит название алиасинга. Мы еще будем детально анализировать эффект алиасинга в следующих разделах.

При (рисунок 1в) копии спектральной плотности перестают перекрываются по частоте, потому что мы потребовали . Тогда появляется возможность выделить исходную из спектральной плотности дискретного сигнала. Для этого достаточно умножить  на  в виде частотной характеристики идеального фильтра нижних частот:

(2)

показанной на рисунке 1в пунктирной линией.

При увеличении частоты дискретизации (рисунок 1г), копии , входящие в спектральную плотность дискретного сигнала, разносятся по частоте, и мы также можем выделить исходную путем умножения на вида (2).

Теорема Котельникова

Таким образом, рассмотрев различные соотношения полосы исходного сигнала и частоты дискретизации , мы можем окончательно сформулировать следующую теорему:

Теорема (Котельникова). Если спектральная плотность видеосигнала ограничена полосой  рад/c, т.е. при , тогда он может быть представлен своими равноотстоящими дискретными отсчетами , взятыми с периодом c, как:

(3)

Для доказательства данной теоремы перейдем во временну́ю область, взяв обратное преобразование Фурье для правой и левой частей выражения (2):

(4)

Учтем, что произведение спектральных плотностей в частотной области эквивалентно свертке сигналов во времени. Тогда (4) принимает вид:

(5)

где  — импульсная характеристика фильтра нижних частот .

Рассматривая спектральную плотность -функции в мы говорили, что

(6)

Тогда при получаем:

(7)



Подставим (7) в (5), а также учтем представление дискретного сигнала через решетчатую функцию, рассмотренное в предыдущем разделе. Тогда получим:

(8)



Поменяем операторы суммирования и интегрирования, а также используем фильтрующее свойство дельта-функции:

(9)

что и требовалось доказать.

Выражение представляет собой интерполяционную формулу, позволяющую восстановить аналоговый сигнал по его дискретным отсчетам, как это показано на рисунке 2.

Отсчеты исходного дискретного сигнала показаны на рисунке 2а. Интерполирующая функция показана на рисунке 2б. Данная функция равна единице при , и равна нулю во все остальные моменты дискретизации .

Рисунок 2. Восстановление непрерывного сигнала :

а —исходный дискретный сигнал; б — функция ;

в — интерполяция смещенными функциями ;

г — восстановленный аналоговый сигнал


В соответствии с (9), интерполирующая функция смещается на момент взятия каждого отсчета, и масштабируется по амплитуде как это показано на рисунке 2в. В результате суммирования всех смещенных во времени интерполирующих функций происходит восстановление исходного непрерывного сигнала (2г). При этом значения сигнала в моменты дискретизации , не меняются.

Краткая историческая справка

В русскоязычной литературе рассмотренная теорема носит имя В.А. Котельникова [1], однако в мировом сообществе она именуется в честь К. Шеннона [2], а также Г. Найквиста [3] , и Э. Уиттакера [4]. Часто теорему называют просто теоремой дискретизации или теоремой отсчетов[2], или используют именование содержащее несколько фамилий [5].

Прошло без малого сто лет с опубликованной В.А. Котельниковым работы, а споры вокруг первенства доказательства не утихают. Приведем историческую справку.

В 1915 году Э. Уиттакер опубликовал работу [4], в которой вводил интерполяционный ряд вида (3), названный им кардинальным рядом. Однако он не ставил цели найти однозначного представления функций при помощи дискретных отсчетов, а стремился заменить «плохие», с точки зрения анализа функции (имеющие бесконечные разрывы или быстрые осцилляции), рядом (3).

В своей работе Уиттакер пишет: «Заметим, что мы можем построить бесконечное множество интерполяционных рядов проходящих через заданные точки . . . Но данные функции не удовлетворяют свойству кардинальной функции, в частности полного подавления периодических компонент с периодом меньшим . Между тем все эти функции являются решением задачи "Найти аналитическое выражение для функции, имеющей равные значения для аргумента , , , ": которая является фундаментальной задачей теории интерполяции».[3]

Таким образом, Э. Уиттакер вводит интерполяционный ряд, но не приводит теоремы об однозначном представлении функции рядом (3), а напротив, говорит, что интерполяционных рядов может быть бесконечно много.

Другой работой, которую можно считать предвестником теоремы Котельникова является статья Г. Найквиста [3], опубликованная в 1928 году. В своей работе, Найквист рассматривает вопрос безошибочной передачи телеграфного сигнала по узкополосному каналу связи с возможностью исключения межсимвольной интерференции. Главный вывод, который делает Найквист: «Частотный диапазон, который должен быть передан для определения одной полосы численно равен сигнальной скорости передачи»[4]. Найквист также не формулирует никаких теорем о представлении сигналов дискретными отсчетами.

В 1933 году В.А. Котельников опубликовал свою статью [1], в которой впервые появляется теорема:

Любую функцию , состоящую из частот от 0 до периодов в секунду, можно представить рядом

(10)

где  — целое число; ;  — постоянные, зависящие от .

И наоборот, любая функция , представленная рядом (10), состоит лишь из частот от 0 до периодов в секунду.

К сожалению, работа В.А. Котельникова не была переведена на английский язык, и широкая научная дискуссия началась только после публикации К. Шеннона [6], в результате чего, в англоязычной литературе принято называть данную теорему именем К. Шеннона.

Мы же называем данную теорему именем В.А. Котельникова по праву первенства формулировки и доказательства[5], что, впрочем, не умоляет заслуг К. Шеннона внесшего фундаментальный вклад в развитие теории передачи информации.



Выводы

В данном разделе мы ввели рассмотрели фундаментальную теорему теории цифровой обработки сигналов: теорему Котельникова.

Мы рассмотрели спектральную плотность дискретного сигнала и условия, при которых возможно восстановление аналогового сигнала по имеющимся дискретным отсчетам.

В следующем разделе мы рассмотрим некоторые эффекты практической дискретизации сигналов и некоторые обобщения теоремы Котельникова.

Смотри также
Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы






Примечания

[1] Напомним, что видеосигналом называется вещественный или комплексный сигнал , чья спектральная плотность  сосредоточена в области нижних частот в окрестности .

[2] Sampling theorem

[3] «We may remark in passing that it is possible to construct an infinite number of functions cotabular with . . . But this function does not possess the property characteristic of the cardinal function, namely, that periodic constituents of period less than are absent. Such functions are, however, all of thein solutions of the problem "To find an analytical expression for a function when we know the values which it has for the values , , , of its argument": which is essentially the fundamental problem of the theory of interpolation»

[4] «The frequency range which must be transmitted to specify one band is numerically equal to the speed of signaling»

[5] В своей статье [7], профессор Ганс Дитер Люке пишет: «Вероятно, В.А. Котельников был первым ученым, давшим точную формулировку и доказательство теоремы дискретизации».

Список литературы

[1] Котельников В.А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи. Материалы к 1 Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности,1933, Всесоюзный энергетический комитет.

[2] Shannon C. E. A mathematical theory of communication The Bell System Technical Journal, Oct. 1948, Vol. 27, Num. 4, pp. 623–656. doi 10.1002/j.1538-7305.1948.tb00917.x

[3] Nyquist H. Certain topics in telegraph transmission theory Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Apr. 1928, Vol. 47, Num. 2, 617–644, doi 10.1109/T-AIEE.1928.5055024

[4] Whittaker E. XVIII.— On the Functions which are represented by the Expansions of the Interpolation Theory. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 1915, Vol. 35, pp. 181 – 194. doi 10.1017/S0370164600017806

[5] Джерри А. Дж. Теорема отсчётов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. ТИИЭР, 1977, № 11, т. 65, стр. 53--89.

[6] Shannon C. E. A mathematical theory of communication The Bell System Technical Journal, Oct. 1948, Vol. 27, Num. 4, pp. 623–656. doi 10.1002/j.1538-7305.1948.tb00917.x

[7] Luke H. D. The origins of the sampling theorem. IEEE Communications Magazine, Apr. 1999, Vol. 37, Num. 4, pp. 106-108, doi 10.1109/35.755459

[8] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[9] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[10] Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6